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Topos Uranos
Français

Distances, angles et volumes dans l’espace

Résumé

Cette leçon réunit les instruments des trois dernières leçons, le produit scalaire, le produit vectoriel et le produit mixte, avec les équations de droites et de plans, pour mesurer dans l’espace. Elle définit la distance d’un point à un ensemble et démontre, en projetant sur la normale, la formule de la distance d’un point à un plan et, avec le produit vectoriel, celle de la distance d’un point à une droite, toutes deux avec le pied de la perpendiculaire comme unique point le plus proche. Elle en déduit les distances entre plans parallèles et entre droites parallèles, et démontre que deux droites non coplanaires ont une unique perpendiculaire commune, que l’on trouve en résolvant un système de deux équations et dont la longueur est un produit mixte divisé par une norme. Elle définit et calcule les angles entre deux droites, entre une droite et un plan et entre deux plans, et démontre qu’ils coïncident avec les angles de la géométrie élémentaire ; elle construit le plan médiateur d’un segment et les symétriques d’un point par rapport à un plan et à une droite ; elle démontre que l’aire de la projection d’un polygone plan est son aire multipliée par le cosinus de l’angle dièdre, et elle étudie la sphère, son équation, son intersection avec un plan et son plan tangent. Les applications sont les plans d’un cristal et leurs indices de Miller, et le positionnement par satellite ; les problèmes portent sur le tétraèdre régulier, sur les points équidistants de trois points, sur l’ombre d’un panneau solaire, sur les plans tangents à une sphère qui contiennent une droite et sur deux avions dont les routes sont non coplanaires.

Objectifs d’apprentissage

  1. Calculer la distance d’un point à un plan et à une droite, entre plans parallèles, entre droites parallèles et entre droites non coplanaires, en démontrant chaque formule et en trouvant les points où elle est atteinte.
  2. Trouver la perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires et démontrer qu’elle est unique.
  3. Calculer des angles entre droites, entre une droite et un plan et entre deux plans, et démontrer qu’ils coïncident avec les angles géométriques qu’ils définissent.
  4. Construire le plan médiateur d’un segment et les symétriques d’un point par rapport à un plan et à une droite.
  5. Calculer des aires et des volumes avec les produits vectoriel et mixte, et démontrer et appliquer la relation entre l’aire d’un polygone plan et celle de sa projection.
  6. Obtenir le centre et le rayon d’une sphère à partir de son équation, décider de sa position par rapport à un plan, trouver le cercle d’intersection et le plan tangent, et modéliser avec ces outils des problèmes de cristallographie, d’énergie solaire, de navigation aérienne et de positionnement par satellite.

La distance d’un point à un plan et à une droite

La leçon sur les vecteurs du plan a obtenu la distance d’un point à une droite du plan en projetant sur le vecteur normal. Dans l’espace, la leçon sur les droites et les plans de l’espace a écrit le plan qui passe par P0P_0 de vecteur normal n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) non nul comme l’ensemble des points XX tels que n⃗⋅P0X⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 X} = 0, c’est-à-dire avec une équation ax+by+cz=dax + by + cz = d, et la droite qui passe par AA de vecteur directeur u⃗\vec{u} comme l’ensemble des points A+tu⃗A + t \vec{u}, avec tt réel. S’il en est ainsi, l’idée du plan vaut sans changement pour les plans de l’espace ; pour les droites, en revanche, la normale n’est plus une seule direction, et le produit vectoriel de la leçon sur le produit vectoriel et le produit mixte prend sa place. Les faits de la géométrie euclidienne de l’espace que l’on utilise sont ceux qui ont été admis dans la leçon sur les vecteurs de l’espace et le produit scalaire.

Soient FF un ensemble non vide de points de l’espace et PP un point. Si, parmi les distances de PP aux points de FF, il y en a une qui est inférieure ou égale à toutes les autres, ce nombre est la distance de PP à FF, et on la note d⁡(P,F)\operatorname{d}(P, F). De même, si, parmi les distances des points d’un ensemble FF à ceux d’un autre ensemble GG, il y en a une inférieure ou égale à toutes, ce nombre est la distance entre FF et GG, d⁡(F,G)\operatorname{d}(F, G).

La définition ne garantit pas que la distance existe : parmi une infinité de distances, il peut ne pas y en avoir une plus petite. C’est pourquoi les théorèmes qui viennent ne se bornent pas à donner une formule ; ils démontrent qu’il existe un point le plus proche, et qu’il est unique.

ThéorèmeDistance d’un point à un plan

Soient π\pi le plan ax+by+cz=dax + by + cz = d, avec n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) non nul, et P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0). Le point H=P−λn⃗H = P - \lambda \vec{n}, avec λ=ax0+by0+cz0−d∥n⃗∥2\lambda = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{{\norma{\vec{n}}}^2}, appartient à π\pi, HP⃗\vec{HP} est normal à π\pi, et HH est l’unique point de π\pi le plus proche de PP. Par conséquent :

d⁡(P,π)=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

On projette sur la normale le vecteur qui va d’un point quelconque du plan à PP, comme dans le plan ; la minimalité est le théorème de Pythagore. La figure utilise le plan 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4 et le point P=(2,3,3)P = (2, 3, 3).

Démonstration

  1. p⃗=QP⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}

    On choisit un point Q=(q1,q2,q3)Q = (q_1, q_2, q_3) de π\pi et on projette QP⃗\vec{QP} sur n⃗\vec{n} avec le théorème du projeté orthogonal de la leçon sur les vecteurs de l’espace. Sur la figure, Q=(2,0,0)Q = (2, 0, 0).

  2. QP⃗⋅n⃗=ax0+by0+cz0−(aq1+bq2+cq3)=ax0+by0+cz0−d\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}

    Comme QQ appartient à π\pi, aq1+bq2+cq3=da q_1 + b q_2 + c q_3 = d, et le produit scalaire du numérateur est le premier membre de l’équation évalué en PP, moins dd.

  3. QH⃗=QP⃗−λn⃗,n⃗⋅QH⃗=0→H∈π\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}

    Par conséquent, p⃗=λn⃗\vec{p} = \lambda \vec{n} et H=P−p⃗H = P - \vec{p}. Le vecteur QH⃗=QP⃗−p⃗\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p} est la composante orthogonale de la projection, orthogonale à n⃗\vec{n} ; par l’équation normale du plan, HH appartient à π\pi.

  4. ∥PX⃗∥2=∥PH⃗∥2+∥HX⃗∥2≥∥PH⃗∥2{\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2

    Soit XX un point quelconque de π\pi. Par la relation de Chasles, PX⃗=PH⃗+HX⃗\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX} ; le premier terme est un multiple de n⃗\vec{n} et le second joint deux points de π\pi, de sorte qu’ils sont orthogonaux, et l’égalité de Pythagore s’applique.

  5. d⁡(P,π)=∥p⃗∥=∣QP⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

    L’égalité n’a lieu que si HX⃗=0⃗\vec{HX} = \vec{0}, c’est-à-dire si X=HX = H : le pied de la perpendiculaire est l’unique point le plus proche, et la distance est la norme de la projection.

  6. d⁡(P,π)=∣2⋅2+3+2⋅3−4∣4+1+4=93=3\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    Sur la figure, QP⃗=(0,3,3)\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right), QP⃗⋅n⃗=9\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9 et ∥n⃗∥=3\norma{\vec{n}} = 3, de sorte que λ=1\lambda = 1, le pied est H=(0,2,1)H = (0, 2, 1) et la distance vaut 33.

Le signe du nombre ax0+by0+cz0−da x_0 + b y_0 + c z_0 - d, que la formule cache avec la valeur absolue, a lui aussi un sens. Comme P=H+λn⃗P = H + \lambda \vec{n}, il est strictement positif quand on atteint PP depuis le plan en se déplaçant dans le sens de n⃗\vec{n}, et strictement négatif quand on l’atteint dans le sens contraire. Les points tels que ax+by+cz>dax + by + cz > d forment l’un des deux demi-espaces que le plan détermine, et les points tels que ax+by+cz<dax + by + cz < d forment l’autre ; deux points sont du même côté du plan si et seulement si l’expression a le même signe en chacun d’eux. Ainsi, l’origine et le point (2,3,3)(2, 3, 3) sont de part et d’autre du plan 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4, car 0−4<0<90 - 4 < 0 < 9.

ThéorèmeDistance d’un point à une droite

Soient rr la droite A+tu⃗A + t \vec{u}, avec u⃗\vec{u} non nul, et PP un point. Le point H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u}, avec t0=AP⃗⋅u⃗∥u⃗∥2t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{{\norma{\vec{u}}}^2}, est l’unique point de rr le plus proche de PP, HP⃗\vec{HP} est orthogonal à u⃗\vec{u}, et :

d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

On décompose AP⃗\vec{AP} en son projeté sur u⃗\vec{u} et sa composante orthogonale ; la norme de cette dernière s’exprime avec l’identité de Lagrange. La figure utilise la droite qui passe par A=(0,0,1)A = (0, 0, 1) de vecteur directeur u⃗=(1,2,2)\vec{u} = \left( 1, 2, 2 \right) et le point P=(3,3,1)P = (3, 3, 1).

Démonstration

  1. AP⃗=t0u⃗+w⃗,w⃗⋅u⃗=0\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0

    Par le théorème du projeté orthogonal, AP⃗\vec{AP} est la somme de son projeté t0u⃗t_0 \vec{u} sur u⃗\vec{u} et d’un vecteur w⃗\vec{w} orthogonal à u⃗\vec{u}. Le point H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u} appartient à rr et HP⃗=w⃗\vec{HP} = \vec{w}.

  2. XP⃗=w⃗+(t0−t)u⃗,∥XP⃗∥2=∥w⃗∥2+(t0−t)2∥u⃗∥2≥∥w⃗∥2\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2

    Pour un point quelconque X=A+tu⃗X = A + t \vec{u} de rr, le vecteur XP⃗\vec{XP} est w⃗\vec{w} plus un multiple de u⃗\vec{u} ; les deux termes sont orthogonaux et l’égalité de Pythagore s’applique.

  3. d⁡(P,r)2=∥w⃗∥2=∥AP⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2=∥AP⃗∥2∥u⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2{\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}

    L’égalité n’a lieu que si t=t0t = t_0 : HH est l’unique point le plus proche et la distance est la norme de w⃗\vec{w}, dont le carré est donné par l’égalité de Pythagore de la projection.

  4. d⁡(P,r)2=∥AP⃗×u⃗∥2∥u⃗∥2→d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥{\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

    Par l’identité de Lagrange de la leçon sur le produit vectoriel, le numérateur est le carré de la norme de AP⃗×u⃗\vec{AP} \times \vec{u} ; on extrait la racine.

  5. AP⃗×u⃗=(6,−6,3),d⁡(P,r)=93=3\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    Sur la figure, AP⃗=(3,3,0)\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right) et AP⃗⋅u⃗=9\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9, de sorte que t0=1t_0 = 1, H=(1,2,3)H = (1, 2, 3) et w⃗=(2,1,−2)\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right), de norme 33. Le produit vectoriel donne le même résultat.

La formule a une lecture géométrique directe : ∥AP⃗×u⃗∥\norma{\vec{AP} \times \vec{u}} est l’aire du parallélogramme de côtés AP⃗\vec{AP} et u⃗\vec{u}, et ∥u⃗∥\norma{\vec{u}} est la longueur de sa base sur la droite ; le quotient est la hauteur, qui est la distance cherchée. Quand seule la distance importe, le produit vectoriel évite de calculer le pied de la perpendiculaire.