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Topos Uranos
Français

Droites et plans de l’espace

Résumé

Cette leçon transporte dans l’espace la droite donnée par un point et un vecteur directeur, et décrit le plan sous forme vectorielle et paramétrique, par un point et deux vecteurs directeurs, et sous forme cartésienne, par une équation ax+by+cz=dax + by + cz = d dont les coefficients forment un vecteur normal. Le produit vectoriel relie les deux formes, et l’on démontre que tout plan possède une équation cartésienne, unique à un facteur près. Les positions relatives de plans et de droites se traduisent en systèmes linéaires et se classent grâce au théorème de Rouché-Fontené (appelé théorème de Rouché-Frobenius dans le monde hispanophone) ; le produit mixte décide si deux droites sont sécantes ou non coplanaires. La leçon se termine par le faisceau de plans et par des problèmes sur des trajectoires d’avions, l’inclinaison d’un terrain et des tétraèdres.

Objectifs d’apprentissage

  1. Écrire une droite de l’espace sous forme vectorielle, paramétrique et symétrique, y compris lorsqu’une coordonnée du vecteur directeur est nulle, et démontrer que par deux points distincts passe une seule droite.
  2. Écrire un plan sous forme vectorielle, paramétrique et cartésienne, passer d’une forme à l’autre grâce au produit vectoriel et construire le plan qui passe par trois points non alignés.
  3. Démontrer que tout plan possède une équation cartésienne, unique à un facteur non nul près, et que toute équation linéaire en xx, yy et zz ayant un coefficient non nul décrit un plan.
  4. Déterminer la position relative de deux ou de trois plans, d’une droite et d’un plan et de deux droites au moyen des rangs d’un système linéaire et du produit mixte, y compris lorsque les données dépendent d’un paramètre.
  5. Construire au moyen du faisceau de plans le plan qui contient une droite et vérifie une autre condition, et modéliser avec des droites et des plans des situations de la navigation aérienne, de la construction et du design.

La droite dans l’espace

Dans la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les vecteurs du plan et les équations paramétriques de la droite, la droite du plan, connue comme courbe représentative d’une équation du premier degré depuis la leçon sur l’équation de la droite, a été décrite comme P0+td⃗P_0 + t \vec{d}. Dans l’espace il n’y a pas de pente, et une équation du premier degré en xx, yy et zz décrit, comme on le verra, un plan. S’il en est ainsi, il convient d’inverser l’ordre : la description vectorielle sera la définition, et l’on en déduira les autres formes.

Les vecteurs de l’espace et leur produit scalaire ont été étudiés dans la leçon sur les vecteurs de l’espace et le produit scalaire ; le produit vectoriel et le produit mixte, dans la leçon sur le produit vectoriel et le produit mixte. Comme dans le plan, Q=P+v⃗Q = P + \vec{v} signifie PQ⃗=v⃗\vec{PQ} = \vec{v}, et deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsque l’un est multiple de l’autre. Sur les figures, l’axe des yy est dirigé vers la droite, l’axe des zz vers le haut et l’axe des xx vers l’observateur.

Soient AA un point et v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) un vecteur non nul. La droite qui passe par AA et de vecteur directeur v⃗\vec{v} est l’ensemble des points PP pour lesquels il existe un nombre réel tt tel que P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} ; le nombre tt s’appelle le paramètre de PP.
P=A+tv⃗,t∈RP = A + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}

Le paramètre de chaque point est unique : si A+tv⃗=A+sv⃗A + t \vec{v} = A + s \vec{v}, alors (t−s)v⃗=0⃗\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0}, et comme v⃗\vec{v} n’est pas nul, t=st = s. Pour A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) et P=(x,y,z)P = (x, y, z), l’équation vectorielle, écrite coordonnée par coordonnée, donne les équations paramétriques de la droite :

{x=x0+tv1y=y0+tv2z=z0+tv3\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}

Si le paramètre est le temps, ces équations décrivent un mouvement uniforme de vecteur vitesse v⃗\vec{v}, comme dans le plan. Une même droite admet beaucoup de points de départ et beaucoup de vecteurs directeurs ; le théorème ci-dessous montre que deux de ses points la déterminent.

ThéorèmeLa droite qui passe par deux points

Par deux points distincts AA et BB passe une seule droite, celle d’équation P=A+tAB⃗P = A + t \vec{AB}. Par conséquent, les équations P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} et P=C+sw⃗P = C + s \vec{w} décrivent la même droite si et seulement si CC appartient à la première et w⃗\vec{w} est colinéaire à v⃗\vec{v}.

Sur la figure, A=(2,0,1)A = (2, 0, 1) et B=(1,2,2)B = (1, 2, 2), de sorte que AB⃗=(−1,2,1)\vec{AB} = \left( -1, 2, 1 \right), et l’autre droite passe par C=(0,4,3)C = (0, 4, 3) avec le vecteur directeur v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = \left( 1, -2, -1 \right).

Démonstration

  1. A+0⋅AB⃗=A,A+1⋅AB⃗=BA + \resaltar{0} \cdot \vec{AB} = A, \qquad A + \resaltar{1} \cdot \vec{AB} = B

    Existence : le vecteur AB⃗\vec{AB} n’est pas nul, car A≠BA \neq B, et la droite qui passe par AA avec ce vecteur directeur contient AA, de paramètre 00, et BB, de paramètre 11.

  2. A=C+t1v⃗,B=C+t2v⃗\dato{ab}{A = C + t_1 \vec{v}, \qquad B = C + t_2 \vec{v}}

    Unicité : soit rr une droite quelconque, P=C+tv⃗P = C + t \vec{v}, qui contienne AA et BB, et soient t1t_1 et t2t_2 leurs paramètres. Sur la figure, t1=2t_1 = 2 et t2=1t_2 = 1.

  3. AB⃗=t2v⃗−t1v⃗=(t2−t1)v⃗\vec{AB} = t_2 \vec{v} - t_1 \vec{v} = \dato{d}{\resaltar{\left( t_2 - t_1 \right)} \vec{v}}

    D’après la relation de Chasles, AB⃗=CB⃗−CA⃗\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}. Les paramètres sont distincts, car A≠BA \neq B ; donc AB⃗\vec{AB} est colinéaire à v⃗\vec{v}. Sur la figure, AB⃗=−v⃗\vec{AB} = -\vec{v}.

  4. C+tv⃗=A+(t−t1)v⃗=A+t−t1t2−t1AB⃗C + t \vec{v} = A + \left( t - t_1 \right) \vec{v} = A + \resaltar{\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}} \vec{AB}

    Tout point de rr appartient à la droite ABAB : nous partons de AA au lieu de CC et remplaçons v⃗\vec{v} par son expression en fonction de AB⃗\vec{AB}. Sur la figure, le point de rr de paramètre 12\frac{1}{2} est le point de la droite ABAB de paramètre 32\frac{3}{2}.

  5. A+sAB⃗=A+s(t2−t1)v⃗=C+(t1+s(t2−t1))v⃗A + s \vec{AB} = A + s \left( t_2 - t_1 \right) \vec{v} = C + \resaltar{\left( t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) \right)} \vec{v}

    Réciproquement, le point de paramètre ss de la droite ABAB est celui de paramètre t1+s(t2−t1)t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) sur rr : les deux droites ont les mêmes points. Pour la seconde affirmation : si les équations décrivent la même droite, CC et C+w⃗C + \vec{w} lui appartiennent, et d’après le troisième pas w⃗\vec{w} est multiple de v⃗\vec{v} ; si CC appartient à la première et w⃗=kv⃗\vec{w} = k \vec{v}, la première contient CC et C+w⃗C + \vec{w}, et c’est la droite qui passe par eux.

On en déduit que deux droites distinctes ont au plus un point commun : si elles en partageaient deux, chacune serait l’unique droite qui passe par eux. Trois points sont alignés lorsqu’une droite les contient. Si A≠BA \neq B, le point CC est aligné avec eux si et seulement si C=A+tAB⃗C = A + t \vec{AB} pour un certain tt, c’est-à-dire si et seulement si AC⃗\vec{AC} est multiple de AB⃗\vec{AB}.

Les équations symétriques

En isolant le paramètre et en égalant les résultats, on obtient des équations sans paramètre, avec précaution pour les coordonnées nulles du vecteur directeur.

PropositionÉquations symétriques de la droite

Soit rr la droite qui passe par A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) et de vecteur directeur v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right). Si les trois coordonnées de v⃗\vec{v} sont différentes de zéro, un point (x,y,z)(x, y, z) appartient à rr si et seulement si les égalités ci-dessous sont vérifiées. Si seule v2v_2 est nulle, la condition est x−x0v1=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{z - z_0}{v_3} et y=y0y = y_0 ; si v2v_2 et v3v_3 sont nulles, la condition est y=y0y = y_0 et z=z0z = z_0. Les cas où d’autres coordonnées s’annulent s’obtiennent en échangeant les rôles des coordonnées.

x−x0v1=y−y0v2=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

Sur la figure, A=(1,2,−1)A = (1, 2, -1) et v⃗=(2,0,4)\vec{v} = \left( 2, 0, 4 \right), le vecteur qui va de AA à B=(3,2,3)B = (3, 2, 3).

Démonstration

  1. x−x0v1=t,y−y0v2=t,z−z0v3=t\frac{x - x_0}{v_1} = \resaltar{t}, \quad \frac{y - y_0}{v_2} = \resaltar{t}, \quad \frac{z - z_0}{v_3} = \resaltar{t}

    Si les trois coordonnées sont différentes de zéro et P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}, nous isolons tt dans chaque équation paramétrique : les trois quotients valent tt.

  2. x=x0+tv1,y=y0+tv2,z=z0+tv3x = x_0 + \resaltar{t} v_1, \quad y = y_0 + \resaltar{t} v_2, \quad z = z_0 + \resaltar{t} v_3

    Réciproquement, si les trois quotients sont égaux, nous appelons tt leur valeur commune ; en multipliant chaque égalité par son dénominateur, on retrouve les équations paramétriques, et P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} appartient à rr.

  3. x−12=z+14,y=2\frac{x - 1}{2} = \frac{z + 1}{4}, \quad \resaltar{y = 2}

    Si seule v2v_2 est nulle, la deuxième équation est y=y0y = y_0 pour tout tt, et on l’écrit à côté des autres, car diviser par 00 n’a pas de sens. Sur la figure, la droite est contenue dans le plan y=2y = 2.

  4. y=2,z=−1\resaltar{y = 2}, \quad \resaltar{z = -1}

    Si v2v_2 et v3v_3 sont nulles, les deux dernières équations fixent yy et zz, et pour chaque xx le paramètre t=x−x0v1t = \frac{x - x_0}{v_1} donne le point : la droite est la parallèle à l’axe des xx menée par AA, qui apparaît à l’arrière-plan de la figure.

  5. 4−12=5+14=32,2−12≠2+14\frac{4 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{2 - 1}{2} \neq \frac{2 + 1}{4}

    Vérification sur la figure : C=(4,2,5)C = (4, 2, 5) appartient à la droite, de paramètre 32\frac{3}{2}, et D=(2,2,2)D = (2, 2, 2) ne lui appartient pas, bien qu’il vérifie y=2y = 2.

Chaque égalité des équations symétriques est une équation du premier degré : la droite de la figure est l’ensemble des solutions de 2x−z=32x - z = 3 et y=2y = 2. Quand on aura vu qu’une telle équation décrit un plan, cela dira que la droite est l’intersection de deux plans, sa forme implicite.