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Topos Uranos
Français

Produit vectoriel et produit mixte

Résumé

Cette leçon définit le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace par leurs coordonnées, comme un déterminant formel avec les vecteurs i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} et k⃗\vec{k}, et démontre avec les propriétés des déterminants qu’il est anticommutatif et bilinéaire, mais non associatif. Elle démontre que le produit vectoriel est orthogonal à ses deux facteurs, l’identité de Lagrange et, à partir d’elle, que sa norme est l’aire du parallélogramme que déterminent les facteurs et qu’il s’annule exactement lorsqu’ils sont colinéaires. Elle établit la formule du double produit vectoriel et l’identité de Jacobi, définit le produit mixte comme un déterminant d’ordre trois, prouve sa propriété cyclique et l’interprète comme le volume d’un parallélépipède et d’un tétraèdre, avec le critère de coplanarité et l’expression du volume au moyen des produits scalaires. Elle indique avec précision ce qui, dans la règle de la main droite, se démontre et ce qui relève d’une convention, montre que le produit vectoriel est la partie vectorielle du produit de deux quaternions purs et l’applique au moment d’une force, à la force magnétique sur une charge en mouvement, à l’aire d’un triangle de l’espace et aux normales de l’infographie.

Objectifs d’apprentissage

  1. Calculer des produits vectoriels et des produits mixtes par les coordonnées et au moyen de déterminants, et les manipuler en utilisant l’anticommutativité, la bilinéarité, la propriété cyclique et la formule du double produit vectoriel.
  2. Démontrer l’orthogonalité du produit vectoriel à ses facteurs, l’identité de Lagrange, le critère de colinéarité, la formule du double produit vectoriel et le critère de coplanarité.
  3. Calculer des aires de parallélogrammes et de triangles de l’espace et des volumes de parallélépipèdes et de tétraèdres, et décider si quatre points sont coplanaires.
  4. Distinguer, dans la règle de la main droite, ce qui se démontre de ce qui se convient, et modéliser avec le produit vectoriel le moment d’une force, la force magnétique et l’orientation des surfaces en infographie.

Le produit vectoriel

Dans la leçon sur les vecteurs de l’espace et le produit scalaire, les vecteurs de R3\mathbb{R}^3 ont été écrits comme des triplets u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right), et le produit scalaire u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 a permis de mesurer des longueurs et des angles, de décider de l’orthogonalité et de projeter un vecteur sur un autre. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Or, beaucoup de problèmes de l’espace demandent un vecteur : la direction perpendiculaire à une surface plane, l’axe autour duquel une force fait tourner un corps, la direction dans laquelle un champ magnétique dévie une charge. Dans le plan, chaque direction n’a qu’une perpendiculaire ; dans l’espace, les perpendiculaires à une direction remplissent un plan entier, et il faut deux directions non colinéaires pour fixer une perpendiculaire commune. S’il en est ainsi, la question naturelle est celle-ci : étant donnés deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, quel vecteur x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right) vérifie u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0 et v⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0 ?

Ce sont deux équations linéaires à trois inconnues. Si l’on multiplie la première, u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0, par v1v_1, la seconde par u1u_1, et qu’on les soustrait, x1x_1 disparaît et il reste (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0, qui est vérifiée avec x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 et x3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 ; en raisonnant de même avec les autres inconnues apparaît x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2. Les trois expressions sont des déterminants d’ordre deux formés avec les composantes de u⃗\vec{u} et de v⃗\vec{v}, comme ceux de la leçon sur les déterminants. Cette recherche suggère la définition ; la section « La géométrie du produit vectoriel » démontre que le vecteur ainsi formé est, en effet, orthogonal aux deux facteurs.

Soient u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) et v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) des vecteurs de R3\mathbb{R}^3. Leur produit vectoriel est le vecteur u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right).

La définition a une régularité qu’il convient de retenir. Chaque composante s’obtient de celle qui la précède en décalant circulairement les numéros, 1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1 : la première est u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2 ; en ajoutant 11 à chaque numéro, en comptant 3+13 + 1 comme 11, on obtient u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3, qui est la deuxième, et en recommençant on obtient la troisième. Pour l’écrire de mémoire, on utilise les vecteurs de la base canonique, i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right), j⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right) et k⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right), avec lesquels tout vecteur s’écrit u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k}, et un déterminant formel : un tableau d’ordre trois dont la première ligne contient les vecteurs i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} et k⃗\vec{k}, et que l’on développe selon cette ligne comme dans la leçon sur les déterminants.

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

Le déterminant est formel parce que ses coefficients ne sont pas tous des nombres, et on ne lui applique aucune propriété des déterminants : il ne fait que résumer la formule du développement selon la première ligne. Le signe moins du deuxième terme reproduit la deuxième composante, car −(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3. En revanche, chaque composante est un véritable déterminant d’ordre deux, formé par deux colonnes de la matrice de lignes u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ; les propriétés de la section « Les propriétés algébriques » reposent sur cette observation.

ExempleUn produit vectoriel et les produits de la base canonique

Calculer u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} pour u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right) et v⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right), ainsi que les produits des vecteurs de la base canonique entre eux.

Démonstration

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    Première composante : nous supprimons la colonne des premières composantes et calculons le déterminant d’ordre deux qui reste.

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    Deuxième composante : nous supprimons la colonne centrale et changeons le signe du déterminant.

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    Troisième composante : nous supprimons la dernière colonne.

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    Nous réunissons les trois composantes. La figure dessine les trois vecteurs avec une origine commune ; u⃗\vec{u} est dans le plan horizontal, et u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} pointe vers le haut.

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    Par la définition, i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right), et de même avec les autres couples. Chaque vecteur de la base, multiplié par celui qui vient après lui dans l’ordre circulaire i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}, donne le troisième ; dans l’ordre contraire, son opposé.

Les propriétés algébriques

Les propriétés du produit vectoriel se lisent sur ses composantes. Appelons D1D_1, D2D_2 et D3D_3 les trois déterminants d’ordre deux qui les forment, avec les colonnes dans l’ordre circulaire : D1D_1 utilise la deuxième et la troisième colonne de la matrice de lignes u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ; D2D_2, la troisième et la première, dans cet ordre ; et D3D_3, la première et la deuxième.

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
ThéorèmePropriétés algébriques du produit vectoriel

Pour tous vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} de R3\mathbb{R}^3 et tous réels ss et tt : le produit vectoriel est anticommutatif, v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v} ; il est bilinéaire, c’est-à-dire linéaire par rapport à chaque facteur, (su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v} et v⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w} ; et u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}.

Les trois propriétés se ramènent à celles des déterminants d’ordre deux, appliquées à chacune des trois composantes : le lemme de l’échange de deux lignes et le lemme de la linéarité par rapport à chaque ligne, démontrés dans la leçon sur les déterminants pour tout ordre. La figure reprend l’exemple « Un produit vectoriel et les produits de la base canonique ».

Démonstration

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    Chaque composante DmD_m est le déterminant d’une matrice d’ordre deux dont la première ligne provient de u⃗\vec{u} et dont la seconde ligne provient de v⃗\vec{v}, avec les deux mêmes colonnes.

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    Si l’on échange u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, on échange les deux lignes de chaque déterminant, et par le lemme de l’échange chaque composante change de signe. Sur la figure, v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right) pointe vers le bas.

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    Si le premier facteur est su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w}, la première ligne de chaque déterminant est ss fois la ligne prise de u⃗\vec{u} plus tt fois celle prise de w⃗\vec{w}. Par le lemme de la linéarité, chaque composante se décompose de la même manière.

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    La linéarité par rapport au second facteur se déduit des deux propriétés déjà démontrées : nous changeons l’ordre, appliquons la linéarité par rapport au premier facteur et changeons de nouveau l’ordre.

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    Si les deux facteurs coïncident, chaque déterminant a deux lignes égales et il est nul. En particulier, i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}.

Grâce à la bilinéarité, le produit vectoriel se calcule aussi en distribuant, comme un produit de sommes, et en utilisant les produits de la base canonique. Par exemple, (i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i}. L’anticommutativité dit que l’ordre des facteurs importe, comme dans le produit des matrices, bien que d’une manière très particulière : l’inverser ne fait que changer le signe.

ExempleLe produit vectoriel n’est pas associatif

Comparer (i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} avec i⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right).

Démonstration

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    Par le théorème, le produit d’un vecteur par lui-même est nul, et par la bilinéarité le produit du vecteur nul par n’importe quel autre l’est aussi.

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    Dans l’autre groupement, le produit entre parenthèses est k⃗\vec{k}, par l’exemple de la base canonique.

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    Par l’anticommutativité, i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k} est l’opposé de k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}.

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    Les deux résultats sont différents : le produit vectoriel n’est pas associatif, et une expression comme u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w}, sans parenthèses, n’a pas de sens.

Il n’y a pas non plus d’élément neutre : aucun vecteur e⃗\vec{e} ne vérifie e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u} pour tout u⃗\vec{u}, car e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0} imposerait e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0}, et alors e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0} pour tout u⃗\vec{u}. Le produit vectoriel n’a donc aucune des propriétés des produits de nombres, sauf la distributivité. La section « Le double produit vectoriel » donnera la règle exacte qui remplace l’associativité.