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Topos Uranos
Français

Vecteurs de l’espace et produit scalaire

Résumé

Cette leçon transporte dans l’espace à trois dimensions les vecteurs que la leçon sur les vecteurs du plan a étudiés avec deux coordonnées. Elle fixe un repère de trois axes perpendiculaires d’orientation directe, énonce les faits de la géométrie euclidienne de l’espace qui sont admis et, en appliquant deux fois le théorème de Pythagore, obtient la distance entre deux points. Elle définit les vecteurs comme des triplets de nombres réels, avec leur somme, leur produit par un réel, la base canonique et l’unicité des coordonnées ; elle définit la norme et le produit scalaire, démontre leurs propriétés, l’inégalité de Cauchy-Schwarz par le discriminant et l’inégalité triangulaire, et définit avec elles l’angle de deux vecteurs, qui coïncide avec celui de la géométrie élémentaire. Elle étudie ensuite l’orthogonalité, le projeté orthogonal, les cosinus directeurs et l’écriture du produit scalaire comme produit d’une ligne par une colonne, dont il découle que les matrices à colonnes unitaires et perpendiculaires conservent les longueurs et les angles. Les applications sont le travail d’une force, la loi des cosinus dans l’espace et l’angle de la molécule de méthane ; les problèmes portent sur les diagonales du cube et du parallélépipède, sur les vecteurs orthogonaux à deux vecteurs donnés, sur les tensions de trois câbles et sur les tétraèdres dont les arêtes opposées sont perpendiculaires.

Objectifs d’apprentissage

  1. Placer des points dans un repère cartésien de l’espace, reconnaître leur octant et calculer des distances, en justifiant la formule par le théorème de Pythagore.
  2. Opérer sur les vecteurs de l’espace, les exprimer dans la base canonique et démontrer avec eux des propriétés des parallélogrammes, des parallélépipèdes et des tétraèdres.
  3. Calculer des normes, des produits scalaires, des angles, des projetés orthogonaux et des cosinus directeurs, et démontrer les inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire dans l’espace.
  4. Écrire le produit scalaire comme un produit de matrices et décider grâce à lui si une matrice conserve les longueurs et les angles.
  5. Modéliser avec le produit scalaire le travail d’une force, l’équilibre de forces concourantes et les angles d’une molécule.

Le repère de l’espace

Dans la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les vecteurs du plan, chaque point du plan a été identifié à un couple de nombres et chaque déplacement à un autre couple, et la géométrie des droites, des angles et des distances s’est traduite en calculs sur ces couples. Le monde physique, cependant, a trois dimensions : la position d’un avion, celle d’un atome dans une molécule ou celle d’une lampe suspendue au plafond exigent trois nombres. S’il en est ainsi, il convient de refaire la construction avec des triplets. L’essentiel de ce qui a été démontré dans le plan s’étend sans changement, car les démonstrations opéraient coordonnée par coordonnée ou n’utilisaient que les propriétés algébriques du produit scalaire ; dans ces cas, cette leçon renvoie à celle du plan. Ce qui demande du soin, c’est la géométrie : dans l’espace, on ne dispose pas d’une figure plane qui contienne tout, et l’angle de deux vecteurs, par exemple, doit être défini avant d’être calculé.

Les faits de la géométrie euclidienne de l’espace qui sont admis

La géométrie analytique de l’espace traduit la géométrie des solides, qu’Euclide a exposée dans les livres XI à XIII des Éléments. Sa construction axiomatique dépasse ce cours, comme ce fut le cas pour celle du plan dans la leçon sur l’équation de la droite, où les faits de la géométrie plane qui sont admis ont été réunis dans une liste. De même, les faits de l’espace que cette unité utilise sont admis sans démonstration et réunis dans la liste ci-dessous ; chaque fois qu’une leçon de l’unité recourt à l’un d’eux, elle renvoie à cette liste.

  1. Plans. Par trois points non alignés passe un unique plan, et si deux points d’une droite sont dans un plan, toute la droite est dans ce plan. Dans chaque plan de l’espace valent les faits de la géométrie plane admis dans la leçon sur l’équation de la droite ; en particulier, le théorème de Pythagore et sa réciproque, et la liberté d’y choisir un repère.
  2. Droites et plans perpendiculaires. Par chaque point passe un unique plan perpendiculaire à une droite donnée, et ce plan coupe la droite en un unique point. Une droite perpendiculaire à un plan est perpendiculaire à toutes les droites du plan qui passent par le point où elle le coupe.
  3. Axes. Trois droites qui passent par un point OO et sont perpendiculaires deux à deux, munies chacune d’un sens positif et de la même échelle de longueur, forment un système d’axes. Les distances, les angles et les figures ne dépendent pas de ce choix.
  4. Coordonnées. Un système d’axes étant fixé, les plans perpendiculaires aux trois axes menés par un point PP les coupent aux points d’abscisses xx, yy et zz, et réciproquement, pour chaque triplet de nombres, ces trois plans se coupent en un unique point. Les points de troisième coordonnée égale à cc forment un plan perpendiculaire à l’axe zz, dans lequel les deux premières coordonnées sont des coordonnées cartésiennes du plan avec la même échelle ; les points dont les premières coordonnées sont fixées forment une droite parallèle à l’axe zz, perpendiculaire à ce plan, sur laquelle la troisième coordonnée mesure la position avec la même échelle. Il en va de même en permutant les axes.

Le quatrième fait est une conséquence des trois premiers, que la géométrie des solides démontre avec les propriétés des droites parallèles et des plans parallèles ; on l’énonce à part parce que c’est sous cette forme qu’il servira.

Un repère cartésien de l’espace est un système d’axes, appelés axe xx, axe yy et axe zz, qui se coupent en l’origine OO. Chaque point PP est identifié au triplet de ses coordonnées, P=(x,y,z)P = (x, y, z), appelées abscisse, ordonnée et cote. Les trois plans de coordonnées sont le plan xyxy, d’équation z=0z = 0 ; le plan yzyz, d’équation x=0x = 0 ; et le plan xzxz, d’équation y=0y = 0.

Les plans de coordonnées partagent l’espace en huit régions, appelées octants, selon le signe de chaque coordonnée ; le premier octant est celui des points dont les trois coordonnées sont strictement positives, et les autres sont désignés par le triplet de leurs signes, par exemple l’octant (+,−,+)(+, -, +). Dans le plan, deux axes perpendiculaires peuvent être disposés de deux manières essentiellement différentes : le second axe s’obtient en tournant le premier d’un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, ou dans le sens des aiguilles d’une montre. Dans l’espace, il en va de même avec les trois axes, et la distinction porte un nom.

Un repère de l’espace est d’orientation directe lorsque, vu du côté positif de l’axe zz, le quart de tour qui amène le demi-axe positif xx sur le demi-axe positif yy apparaît dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. De façon équivalente, la règle de la main droite est satisfaite : si les doigts de la main droite se replient du demi-axe positif xx vers le demi-axe positif yy, le pouce indique le demi-axe positif zz.

Si l’on renverse le sens de l’un des axes, l’orientation change ; si l’on en renverse deux, elle se conserve. Quand on permute les axes de manière circulaire, de xx, yy, zz à yy, zz, xx, l’orientation ne change pas non plus, de sorte que dans un repère direct, vu depuis le demi-axe positif xx, la rotation de yy vers zz se fait elle aussi dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Désormais, tous les repères sont directs. Les figures les dessinent en perspective cavalière : l’axe yy vers la droite, l’axe zz vers le haut et l’axe xx vers l’observateur, tracé en diagonale et avec des longueurs réduites de moitié. L’orientation n’intervient pas dans cette leçon ; elle sera essentielle dans celle qui vient, sur le produit vectoriel et le produit mixte.

ExemplePlacer un point dans l’espace

Placer le point P=(3,4,2)P = (3, 4, 2) en parcourant les axes, indiquer son octant et placer le point P1=(3,4,−2)P_1 = (3, 4, -2).

Démonstration

  1. O=(0,0,0)O = \left( 0, 0, 0 \right)

    On dessine les trois axes en orientation directe : vu d’en haut, le quart de tour du demi-axe positif xx au demi-axe positif yy se fait dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

  2. A=(3,0,0)A = \left( \resaltar{3}, 0, 0 \right)

    On avance d’une longueur 33 le long de l’axe xx.

  3. B=(3,4,0)B = \left( 3, \resaltar{4}, 0 \right)

    Depuis AA, on avance d’une longueur 44 dans la direction de l’axe yy, sans sortir du plan xyxy.

  4. P=(3,4,2)P = \left( 3, 4, \resaltar{2} \right)

    Depuis BB, on monte d’une longueur 22 dans la direction de l’axe zz. Les trois coordonnées sont strictement positives : PP est dans le premier octant, et c’est le sommet opposé à OO de la boîte d’arêtes 33, 44 et 22.

  5. P1=(3,4,−2)P_1 = \left( 3, 4, \resaltar{-2} \right)

    Si depuis BB on descend d’une longueur 22, on arrive en P1P_1, dans l’octant (+,+,−)(+, +, -). Le plan xyxy coupe perpendiculairement le segment PP1P P_1 en son milieu, BB : P1P_1 est le symétrique de PP par rapport à ce plan.

La distance entre deux points

Dans le plan, la distance entre deux points s’est obtenue en appliquant une fois le théorème de Pythagore à un triangle dont les côtés de l’angle droit sont parallèles aux axes. Dans l’espace, il faut l’appliquer deux fois : d’abord dans un plan horizontal, puis dans un plan vertical.

ThéorèmeDistance entre deux points

La distance entre les points P=(x1,y1,z1)P = (x_1, y_1, z_1) et Q=(x2,y2,z2)Q = (x_2, y_2, z_2) est donnée par la formule ci-dessous.

d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}

On introduit un point auxiliaire RR, à la hauteur de PP et à la verticale de QQ. La figure utilise P=(1,2,1)P = (1, 2, 1) et Q=(3,5,7)Q = (3, 5, 7).

Démonstration

  1. R=(x2,y2,z1)R = \left( x_2, y_2, \resaltar{z_1} \right)

    Soit RR le point ayant les deux premières coordonnées de QQ et la cote de PP. Les points PP et RR sont dans le plan de cote z1z_1, et RR et QQ sur la droite parallèle à l’axe zz formée des points de premières coordonnées x2x_2 et y2y_2.

  2. d⁡(P,R)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2{\operatorname{d}(P, R)}^2 = \dato{pr}{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}

    D’après le fait sur les coordonnées, dans le plan de cote z1z_1 les deux premières coordonnées sont cartésiennes, et la formule de la distance dans le plan, de la leçon sur l’équation de la droite, donne la longueur de PRPR. Sur la figure, 4+9=134 + 9 = 13.

  3. d⁡(R,Q)=∣z2−z1∣\operatorname{d}(R, Q) = \dato{rq}{\abs{z_2 - z_1}}

    Sur la droite verticale qui contient RR et QQ, la cote mesure la position : la longueur de RQRQ est la valeur absolue de la différence des cotes. Sur la figure, 7−1=67 - 1 = 6.

  4. d⁡(P,Q)2=d⁡(P,R)2+d⁡(R,Q)2{\operatorname{d}(P, Q)}^2 = \resaltar{{\operatorname{d}(P, R)}^2} + \resaltar{{\operatorname{d}(R, Q)}^2}

    La droite RQRQ est perpendiculaire au plan de cote z1z_1 et, d’après le deuxième fait admis, à la droite PRPR, qui est dans ce plan et passe par RR. Le triangle PRQPRQ est rectangle en RR et, d’après le premier fait, le théorème de Pythagore vaut dans le plan qui le contient.

  5. d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,13+36=7\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\resaltar{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2} + \resaltar{\left( z_2 - z_1 \right)^2}}, \qquad \sqrt{13 + 36} = 7

    On substitue et on extrait la racine carrée. Si P=RP = R ou R=QR = Q, il n’y a pas de triangle, mais la formule se réduit à celle d’une seule des deux distances et reste vraie. Sur la figure, la distance vaut 77.

En particulier, la distance de P=(x,y,z)P = (x, y, z) à l’origine est x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, la longueur de la diagonale de la boîte d’arêtes ∣x∣\abs{x}, ∣y∣\abs{y} et ∣z∣\abs{z}. Par exemple, la diagonale d’un cube d’arête aa mesure a2+a2+a2=a3\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3}.