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Topos Uranos
Español

Vectores en el espacio y producto escalar

Resumen

Esta clase traslada al espacio de tres dimensiones los vectores que la clase sobre los vectores en el plano estudió con dos coordenadas. Fija un sistema de tres ejes perpendiculares con orientación positiva, declara los hechos de la geometría euclídea del espacio que se admiten y, aplicando dos veces el teorema de Pitágoras, obtiene la distancia entre dos puntos. Define los vectores como ternas de números reales, con su suma, su producto por un número, la base canónica y la unicidad de las coordenadas; define la norma y el producto escalar, demuestra sus propiedades, la desigualdad de Cauchy-Schwarz por el discriminante y la desigualdad triangular, y con ellas define el ángulo entre dos vectores, que coincide con el de la geometría elemental. Estudia después la ortogonalidad, la proyección ortogonal, los cosenos directores y la escritura del producto escalar como producto de una fila por una columna, de la que se sigue que las matrices de columnas unitarias y perpendiculares conservan longitudes y ángulos. Las aplicaciones son el trabajo de una fuerza, el teorema del coseno en el espacio y el ángulo de la molécula de metano; los problemas tratan de las diagonales del cubo y del paralelepípedo, de los vectores perpendiculares a dos dados, de las tensiones de tres cables y de los tetraedros con aristas opuestas perpendiculares.

Objetivos de aprendizaje

  1. Situar puntos en un sistema de coordenadas cartesianas del espacio, reconocer su octante y calcular distancias, justificando la fórmula con el teorema de Pitágoras.
  2. Operar con vectores del espacio, expresarlos en la base canónica y demostrar con ellos propiedades de paralelogramos, paralelepípedos y tetraedros.
  3. Calcular normas, productos escalares, ángulos, proyecciones ortogonales y cosenos directores, y demostrar las desigualdades de Cauchy-Schwarz y triangular en el espacio.
  4. Escribir el producto escalar como producto de matrices y decidir con él si una matriz conserva longitudes y ángulos.
  5. Modelar con el producto escalar el trabajo de una fuerza, el equilibrio de fuerzas concurrentes y los ángulos de una molécula.

El sistema de coordenadas del espacio

En la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre los vectores en el plano, cada punto del plano se identificó con un par de números y cada desplazamiento con otro par, y la geometría de rectas, ángulos y distancias se tradujo en cálculos con esos pares. El mundo físico, sin embargo, tiene tres dimensiones: la posición de un avión, la de un átomo en una molécula o la de una lámpara colgada del techo exigen tres números. Si esto es así, conviene repetir la construcción con ternas. La mayor parte de lo que se demostró en el plano se extiende sin cambios, porque las demostraciones operaban componente a componente o usaban solo las propiedades algebraicas del producto punto; en esos casos esta clase remite a la del plano. Lo que exige cuidado es la geometría: en el espacio no se dispone de una figura plana que lo contenga todo, y el ángulo entre dos vectores, por ejemplo, debe definirse antes de calcularse.

Los hechos de la geometría euclídea del espacio que se admiten

La geometría analítica del espacio traduce la geometría de los sólidos, que Euclides expuso en los libros XI a XIII de los Elementos. Su construcción axiomática excede este curso, como ocurrió con la del plano en la clase sobre la ecuación de la recta, donde se reunieron en una lista los hechos de la geometría plana que se admiten. Del mismo modo, los hechos del espacio que esta unidad usa se admiten sin demostración y se reúnen en la lista siguiente; cada vez que una clase de la unidad recurre a uno de ellos, remite a ella.

  1. Planos. Por tres puntos no alineados pasa un único plano, y si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está en él. En cada plano del espacio valen los hechos de la geometría plana admitidos en la clase sobre la ecuación de la recta; en particular, el teorema de Pitágoras y su recíproco, y la libertad de elegir en él un sistema de ejes.
  2. Rectas y planos perpendiculares. Por cada punto pasa un único plano perpendicular a una recta dada, y ese plano corta a la recta en un único punto. Una recta perpendicular a un plano es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto en que lo corta.
  3. Ejes. Tres rectas que pasan por un punto OO y son perpendiculares dos a dos, con un sentido positivo en cada una y la misma unidad de longitud, forman un sistema de ejes. Las distancias, los ángulos y las figuras no dependen de esa elección.
  4. Coordenadas. Fijado un sistema de ejes, los planos perpendiculares a los tres ejes trazados por un punto PP los cortan en los puntos de abscisas xx, yy y zz, y recíprocamente, para cada terna de números esos tres planos se cortan en un único punto. Los puntos de tercera coordenada igual a cc forman un plano perpendicular al eje zz, en el que las dos primeras coordenadas son coordenadas cartesianas del plano con la misma unidad; los puntos de primeras coordenadas fijas forman una recta paralela al eje zz, perpendicular a ese plano, sobre la cual la tercera coordenada mide la posición con la misma unidad. Lo mismo vale con los ejes permutados.

El cuarto hecho es una consecuencia de los tres primeros que la geometría de los sólidos demuestra con las propiedades de las rectas paralelas y de los planos paralelos; se enuncia por separado porque es la forma en que se usará.

Un sistema de coordenadas cartesianas del espacio es un sistema de ejes, llamados eje xx, eje yy y eje zz, que se cortan en el origen OO. Cada punto PP se identifica con la terna de sus coordenadas, P=(x,y,z)P = (x, y, z), que se llaman abscisa, ordenada y cota. Los tres planos coordenados son el plano xyxy, de ecuación z=0z = 0; el plano yzyz, de ecuación x=0x = 0; y el plano xzxz, de ecuación y=0y = 0.

Los planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones, llamadas octantes, según el signo de cada coordenada; el primer octante es el de los puntos con las tres coordenadas positivas, y los demás se nombran por la terna de sus signos, por ejemplo el octante (+,−,+)(+, -, +). En el plano, dos ejes perpendiculares pueden disponerse de dos maneras esencialmente distintas: el segundo eje se obtiene girando el primero un cuarto de vuelta en sentido antihorario, o en sentido horario. En el espacio ocurre lo mismo con los tres ejes, y la distinción tiene nombre.

Un sistema de coordenadas del espacio tiene orientación positiva cuando, mirado desde la parte positiva del eje zz, el cuarto de vuelta que lleva el semieje positivo xx al semieje positivo yy se ve en sentido antihorario. Equivalentemente, se cumple la regla de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha se curvan del semieje positivo xx hacia el semieje positivo yy, el pulgar señala el semieje positivo zz.

Si se invierte el sentido de uno de los ejes, la orientación cambia; si se invierten dos, se conserva. Al permutar los ejes de manera cíclica, de xx, yy, zz a yy, zz, xx, la orientación tampoco cambia, de modo que en un sistema positivo, mirado desde el semieje positivo xx, el giro de yy a zz también es antihorario. En lo que sigue todos los sistemas tienen orientación positiva. Las figuras los dibujan en perspectiva caballera: el eje yy hacia la derecha, el eje zz hacia arriba y el eje xx hacia el observador, trazado en diagonal y con las longitudes reducidas a la mitad. La orientación no interviene en esta clase; será esencial en la siguiente, sobre el producto vectorial y el producto mixto.

EjemploSituar un punto en el espacio

Situar el punto P=(3,4,2)P = (3, 4, 2) recorriendo los ejes, indicar su octante y situar el punto P1=(3,4,−2)P_1 = (3, 4, -2).

Demostración

  1. O=(0,0,0)O = \left( 0, 0, 0 \right)

    Dibujamos los tres ejes con orientación positiva: mirado desde arriba, el cuarto de vuelta del semieje positivo xx al semieje positivo yy es antihorario.

  2. A=(3,0,0)A = \left( \resaltar{3}, 0, 0 \right)

    Avanzamos 33 unidades por el eje xx.

  3. B=(3,4,0)B = \left( 3, \resaltar{4}, 0 \right)

    Desde AA, avanzamos 44 unidades en la dirección del eje yy, sin salir del plano xyxy.

  4. P=(3,4,2)P = \left( 3, 4, \resaltar{2} \right)

    Desde BB, subimos 22 unidades en la dirección del eje zz. Las tres coordenadas son positivas: PP está en el primer octante, y es el vértice opuesto a OO de la caja de aristas 33, 44 y 22.

  5. P1=(3,4,−2)P_1 = \left( 3, 4, \resaltar{-2} \right)

    Si desde BB se baja 22 unidades se llega a P1P_1, en el octante (+,+,−)(+, +, -). El plano xyxy corta perpendicularmente al segmento PP1P P_1 en su punto medio, BB: P1P_1 es el simétrico de PP respecto de ese plano.

La distancia entre dos puntos

En el plano, la distancia entre dos puntos se obtuvo aplicando una vez el teorema de Pitágoras a un triángulo de catetos paralelos a los ejes. En el espacio hace falta aplicarlo dos veces: primero en un plano horizontal y después en un plano vertical.

TeoremaDistancia entre dos puntos

La distancia entre los puntos P=(x1,y1,z1)P = (x_1, y_1, z_1) y Q=(x2,y2,z2)Q = (x_2, y_2, z_2) es la siguiente.

d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}

Se introduce un punto auxiliar RR, a la altura de PP y en la vertical de QQ. La figura usa P=(1,2,1)P = (1, 2, 1) y Q=(3,5,7)Q = (3, 5, 7).

Demostración

  1. R=(x2,y2,z1)R = \left( x_2, y_2, \resaltar{z_1} \right)

    Sea RR el punto con las dos primeras coordenadas de QQ y la cota de PP. Los puntos PP y RR están en el plano de cota z1z_1, y RR y QQ en la recta paralela al eje zz formada por los puntos de primeras coordenadas x2x_2 e y2y_2.

  2. d⁡(P,R)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2{\operatorname{d}(P, R)}^2 = \dato{pr}{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}

    Por el hecho de las coordenadas, en el plano de cota z1z_1 las dos primeras coordenadas son cartesianas, y la fórmula de la distancia en el plano, de la clase sobre la ecuación de la recta, da la longitud de PRPR. En la figura, 4+9=134 + 9 = 13.

  3. d⁡(R,Q)=∣z2−z1∣\operatorname{d}(R, Q) = \dato{rq}{\abs{z_2 - z_1}}

    Sobre la recta vertical que contiene a RR y a QQ, la cota mide la posición: la longitud de RQRQ es la diferencia de las cotas en valor absoluto. En la figura, 7−1=67 - 1 = 6.

  4. d⁡(P,Q)2=d⁡(P,R)2+d⁡(R,Q)2{\operatorname{d}(P, Q)}^2 = \resaltar{{\operatorname{d}(P, R)}^2} + \resaltar{{\operatorname{d}(R, Q)}^2}

    La recta RQRQ es perpendicular al plano de cota z1z_1 y, por el segundo hecho admitido, a la recta PRPR, que está en ese plano y pasa por RR. El triángulo PRQPRQ es rectángulo en RR y, por el primer hecho, el teorema de Pitágoras vale en el plano que lo contiene.

  5. d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,13+36=7\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\resaltar{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2} + \resaltar{\left( z_2 - z_1 \right)^2}}, \qquad \sqrt{13 + 36} = 7

    Sustituimos y extraemos la raíz cuadrada. Si P=RP = R o R=QR = Q, no hay triángulo, pero la fórmula se reduce a la de una sola de las dos distancias y sigue siendo cierta. En la figura, la distancia es 77.

En particular, la distancia de P=(x,y,z)P = (x, y, z) al origen es x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, la longitud de la diagonal de la caja de aristas ∣x∣\abs{x}, ∣y∣\abs{y} y ∣z∣\abs{z}. Por ejemplo, la diagonal de un cubo de arista aa mide a2+a2+a2=a3\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3}.