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Topos Uranos
Español

Geometría analítica del espacio: introducción

Resumen

Esta clase abre la quinta y última unidad del curso, dedicada a la geometría analítica del espacio. Presenta las cuatro clases que la componen y el hilo que las une: los vectores del plano, estudiados en el curso I, se convierten en ternas de números con un producto escalar que mide longitudes y ángulos; el determinante de orden tres de la unidad anterior da un producto nuevo, el vectorial, y con él el producto mixto, que mide áreas y volúmenes; las rectas y los planos se describen con ecuaciones lineales, y sus posiciones relativas se deciden con el rango y el teorema de Rouché-Frobenius; y todo ello se reúne para medir distancias y ángulos entre puntos, rectas y planos. Recorre el trasfondo histórico de esas ideas, desde las coordenadas de Descartes y de Fermat, que en el siglo XVII apenas salieron del plano, hasta el cálculo vectorial de Gibbs y de Heaviside y la cristalografía; formula con precisión, mediante dos túneles de una red de metro, el problema que les dio origen, el de decidir si dos rectas del espacio se cortan y medir cuánto se separan cuando no lo hacen; y señala dónde vuelven a usarse en este curso, en otros cursos del sitio y en la ciencia y la técnica.

Objetivos de aprendizaje

  1. Describir la secuencia de clases de la unidad y explicar qué instrumento aporta cada una y cuáles toma de la unidad sobre las matrices y de la geometría del plano del curso I.
  2. Situar en su contexto histórico las coordenadas del espacio, el producto escalar, el producto vectorial y el cálculo vectorial, nombrando el problema que cada idea vino a resolver.
  3. Plantear como un sistema lineal la pregunta de si dos rectas del espacio se cortan, decidirla con el rango de la matriz ampliada y calcular la menor distancia entre dos rectas que se cruzan.
  4. Identificar usos de la geometría analítica del espacio en la física, los gráficos por computador, la robótica, la geodesia, el posicionamiento por satélites y la química.

Evaluación de entrada

Antes de recorrer la unidad conviene medir el punto de partida. Las ocho primeras preguntas tocan, dos a dos, las cuatro clases de la unidad, y la novena es un problema de modelación, que pide plantear con la distancia de un punto a una recta una situación en contexto; las mismas destrezas se vuelven a medir al final, en la clase de síntesis. Las tres últimas comprueban lo que la unidad da por sabido de la unidad sobre las matrices y del curso I. Esta autoevaluación no califica: sirve para saber qué se domina y dónde detenerse.

Evaluación de entrada

Antes de comenzar la unidad, mide tu punto de partida. Es una autoevaluación breve: no se califica y su resultado se guarda solo en tu navegador.

  1. Pregunta 1Calcular la distancia entre los puntos P=(1,−2,3)P = (1, -2, 3) y Q=(3,1,9)Q = (3, 1, 9).

  2. Pregunta 2¿Qué ángulo forman los vectores u⃗=(1,1,0)\vec{u} = \left( 1, 1, 0 \right) y v⃗=(1,0,1)\vec{v} = \left( 1, 0, 1 \right)?

  3. Pregunta 3Calcular (1,2,0)×(0,1,3)\left( 1, 2, 0 \right) \times \left( 0, 1, 3 \right).

  4. Pregunta 4Calcular el volumen del tetraedro de vértices O=(0,0,0)O = (0, 0, 0), A=(1,2,0)A = (1, 2, 0), B=(0,1,3)B = (0, 1, 3) y C=(2,0,1)C = (2, 0, 1).

  5. Pregunta 5¿Cuál es la ecuación del plano que pasa por A=(1,0,0)A = (1, 0, 0), B=(0,2,0)B = (0, 2, 0) y C=(0,0,2)C = (0, 0, 2)?

  6. Pregunta 6¿Cuál es la posición relativa de las rectas (1,0,0)+t(1,1,0)\left( 1, 0, 0 \right) + t \left( 1, 1, 0 \right) y (0,1,1)+s(1,−1,0)\left( 0, 1, 1 \right) + s \left( 1, -1, 0 \right)?

  7. Pregunta 7Calcular la distancia del punto P=(1,2,3)P = (1, 2, 3) al plano 2x−y+2z=12x - y + 2z = 1.

  8. Pregunta 8¿Qué ángulo forma la recta de vector director (1,0,1)\left( 1, 0, 1 \right) con el plano x+y=0x + y = 0?

  9. Pregunta 9Un dron despega del punto O=(0,0,0)O = (0, 0, 0) de un parque y asciende en línea recta en la dirección del vector (2,2,1)\left( 2, 2, 1 \right), con las distancias en metros. En el punto P=(12,6,0)P = (12, 6, 0) del suelo hay una persona sentada. ¿A qué distancia mínima de ella pasa el dron, en metros?

  10. Pregunta 10De unidades anterioresCalcular el determinante de la matriz de filas (1,2,0)\left( 1, 2, 0 \right), (3,1,2)\left( 3, 1, 2 \right) y (0,1,1)\left( 0, 1, 1 \right).

  11. Pregunta 11De unidades anterioresUn sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene una matriz de coeficientes de rango 22 y una matriz ampliada de rango 33. ¿Cuántas soluciones tiene?

  12. Pregunta 12De unidades anteriores¿Para qué valor de kk son perpendiculares los vectores (3,−1)\left( 3, -1 \right) y (2,k)\left( 2, k \right) del plano?