Matrices y estructuras algebraicas: síntesis y desafíos

Resumen

Esta clase cierra la unidad sobre las matrices y las estructuras algebraicas. Reúne en una cadena deductiva lo logrado en sus siete clases: el producto de matrices, nacido de la composición de sustituciones lineales; la resolución completa de los sistemas lineales por el método de Gauss-Jordan y el teorema de Rouché-Frobenius; el determinante como área orientada y como criterio de unicidad; la matriz inversa y las condiciones equivalentes a la invertibilidad; la lectura de las matrices como transformaciones del plano; la copia de los números complejos dentro de las matrices; y las nociones de grupo, anillo, cuerpo e isomorfismo, que dan nombre a lo común de todos esos cálculos. Explica cómo la unidad recoge resultados de las unidades anteriores y del curso Álgebra y Geometría I, qué quedó admitido sin demostración y cómo prepara la unidad siguiente, sobre la geometría analítica del espacio, y el curso de Cálculo I. Termina con diez desafíos de mayor dificultad que los problemas de las clases, que combinan varias de ellas.

Objetivos de aprendizaje

Reconstruir la cadena de definiciones y teoremas de la unidad, desde el producto de matrices hasta los isomorfismos, explicando qué resultado se apoya en cuál.
Relacionar los resultados de la unidad con los de las unidades anteriores y del curso I, en particular con los sistemas lineales, los vectores, la rotación de ejes, la forma polar y la aritmética de los restos, distinguir lo demostrado de lo admitido y anticipar su uso en la geometría del espacio.
Resolver problemas que combinan determinantes, inversas, transformaciones, matrices de complejos y estructuras algebraicas, eligiendo en cada caso la herramienta adecuada.
Trasladar un problema de una estructura a otra mediante una correspondencia que conserva las operaciones, y usar los invariantes de un isomorfismo para decidir si dos grupos son el mismo.

Lo logrado en la unidad

El álgebra de las matrices y los sistemas lineales

El punto de partida fue una observación sobre las sustituciones lineales. En la clase sobre matrices y operaciones con matrices, la tabla de la sustitución compuesta se obtuvo multiplicando fila por columna las tablas de las dos sustituciones, y esa regla se tomó como definición del producto. De ella se siguieron la asociatividad, mediante el intercambio del orden de dos sumas, la distributividad y el carácter neutro de la identidad; y, en sentido contrario, se vio que el producto no es conmutativo, que admite divisores de cero y que hay matrices no nulas con alguna potencia nula. La traspuesta invierte el orden de los factores, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ , y la traza no distingue el orden, $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , de donde la ecuación $AB - BA = I$ no tiene solución en ningún orden.

Con el producto, todo sistema lineal se escribió como una sola ecuación $AX = B$ . La clase sobre sistemas lineales y el método de Gauss-Jordan demostró que las operaciones elementales de fila conservan las soluciones y que toda matriz se reduce a una forma escalonada reducida; demostró, por inducción sobre el número de columnas, que esa forma es única, de donde el rango no depende del camino de la eliminación, y probó el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , y en tal caso sus soluciones dependen de $n - r$ parámetros libres. De ello se siguió que un sistema lineal nunca tiene exactamente dos soluciones, y que un sistema homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas tiene soluciones no triviales.

El determinante y la inversa

Ahora bien, para los sistemas cuadrados interesa decidir la unicidad sin recorrer toda la eliminación. La clase sobre determinantes, propiedades y regla de Cramer interpretó el determinante de orden dos como un área orientada, lo definió en cualquier orden por recurrencia, demostró por inducción sobre el orden sus seis propiedades, y las usó para calcularlo por reducción. Si esto es así, cada operación elemental multiplica el determinante por un número no nulo, y de ello se siguió que $\det A \neq 0$ si y solo si $\operatorname{rg}(A) = n$ . El teorema del producto, $\det(AB) = \det A \det B$ , se demostró allí en orden dos por cálculo directo, y la regla de Cramer, demostrada en todo orden con los cofactores de una columna, expresó cada incógnita como un cociente de determinantes.

La clase sobre la matriz inversa cerró esta parte. Demostró que la inversa es única, que existe si y solo si el determinante no es nulo, y que es la adjunta dividida entre el determinante; que la inversa de un producto invierte el orden de los factores; y que cada operación elemental es el producto por una matriz elemental, de donde el método de Gauss-Jordan transforma $\left( A, I \right)$ en $\left( I, A^{-1} \right)$ sin calcular determinantes. Todo ello se reunió en un solo teorema de equivalencias, que enlaza las cuatro clases anteriores; de él se dedujo que basta comprobar uno de los dos productos de la definición, y con las matrices elementales se demostró en cualquier orden el teorema del producto de los determinantes:

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{rg}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

La geometría de las matrices

La clase sobre matrices como transformaciones del plano dio a ese cálculo un significado geométrico. Por el teorema de las columnas, las matrices de orden dos son exactamente las transformaciones lineales del plano, y cada una queda determinada por las imágenes de los dos vectores básicos; con ese principio se obtuvieron las matrices de los giros, de las proyecciones, de las reflexiones, de las homotecias y de las cizallas. Componer transformaciones resultó ser multiplicar sus matrices, de donde $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ y $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ ; el determinante resultó ser el factor por el que se multiplican las áreas, con signo negativo si se invierte la orientación; y la rotación de ejes de la ecuación de segundo grado se escribió como el paso de $M$ a $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , con la traza y el determinante como invariantes.

La clase sobre los números complejos como matrices aplicó esa lectura a la multiplicación por un complejo. La correspondencia $M(a + bi) = aI + bJ$ es inyectiva y conserva la suma y el producto; en ella el módulo al cuadrado es el determinante, el conjugado es la traspuesta, el inverso es la inversa y la forma polar es un giro seguido de una homotecia, $M(z) = r R_\theta$ . De ello se siguió que las fórmulas de Euler y de De Moivre son la regla de composición de los giros, que las matrices de los complejos son exactamente las que conmutan con $J$ , y que los cuaterniones de Hamilton admiten también una representación por matrices, cuyo producto ya no conmuta.

Las estructuras

Por último, la clase sobre estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos aisló lo común. Un grupo es un conjunto con una operación asociativa, con neutro y con inversos; en todo grupo, el neutro y los inversos son únicos, vale la cancelación y $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , sin usar la conmutatividad. Los subgrupos cíclicos y las clases laterales condujeron al teorema de Lagrange: el orden de un subgrupo divide al orden del grupo. Los anillos y los cuerpos añadieron una segunda operación, y, a partir del teorema de los restos invertibles de la clase del curso I sobre las congruencias, se demostró que $\mathbb{Z}_n$ es un cuerpo si y solo si $n$ es primo. Los isomorfismos, finalmente, precisaron la idea de que dos sistemas con la misma tabla de operaciones son el mismo sistema.

Por tanto, la unidad forma una cadena: la composición motiva el producto; el producto permite escribir los sistemas como ecuaciones $AX = B$ ; la eliminación los resuelve y el rango los clasifica; el determinante decide la unicidad y la inversa la expresa; la composición de transformaciones devuelve al producto su sentido geométrico; los complejos aparecen como una familia de transformaciones cerrada bajo la suma y la composición; y la noción de grupo muestra que la unicidad del inverso de una matriz, la del inverso de un número y la del giro que deshace otro son un solo teorema. La figura siguiente reúne los cuatro tramos en una sola cadena. Cada nudo de la columna es una definición o un teorema, numerado según el orden lógico y unido por un arco a los eslabones anteriores que su demostración usa; alrededor flotan los apoyos, es decir, los principios y los instrumentos a los que la cadena recurre una y otra vez, cada uno unido con un trazo firme a los eslabones que se apoyan en él y con uno punteado al eslabón donde se establece, salvo los que se admiten sin demostración o proceden de unidades anteriores o del curso I, que se dibujan como anillos. Al pulsar un apoyo se destacan todos los eslabones que lo usan, y cada eslabón remite a la clase en que se demuestra.

Apoyos de la cadena

AInducción. Si una propiedad se verifica para el primer caso y pasa de cada caso al siguiente, se verifica en todos; demostrada en la unidad 1 del curso I, sirve aquí para las sumas dobles, la eliminación, las potencias y los giros. Se admite sin demostración en esta unidad.
BAsociatividad del producto. Se cumple $(AB)C = A(BC)$ siempre que los productos estén definidos, de modo que un producto de varias matrices se agrupa a conveniencia sin alterar el orden de los factores. Se establece en: 2. Propiedades del producto.
CTeorema de las columnas. Toda transformación lineal del plano es la de una única matriz, cuyas columnas son las imágenes de $\vec{e}_1$ y de $\vec{e}_2$ . Se establece en: 16. Las columnas de la matriz.
DFórmulas de suma. El seno y el coseno de una suma, de una diferencia y del ángulo doble, demostrados en la unidad 2, sobre la trigonometría analítica. Se admite sin demostración en esta unidad.
EVectores del plano. La distancia de un punto a una recta, la proyección ortogonal y el criterio de paralelismo, demostrados en la unidad 4 del curso I, sobre la geometría analítica del plano. Se admite sin demostración en esta unidad.
FRestos y congruencias. La división con resto, la congruencia módulo $n$ , su compatibilidad con la suma y el producto, las clases de restos y el teorema de los restos invertibles, según el cual $a$ tiene inverso módulo $n$ si y solo si $\operatorname{mcd}(a, n) = 1$ , demostrados en la unidad 1 del curso I, en las clases sobre la divisibilidad y sobre las congruencias. Se admite sin demostración en esta unidad.

Tramo 1 El álgebra de las matrices y los sistemas lineales
- Definir el producto de matrices a partir de la composición de sustituciones lineales y escribir todo sistema lineal como una ecuación $AX = B$ .
- Demostrar la asociatividad, la distributividad y el carácter neutro de la identidad, y reconocer que el producto no es conmutativo y admite divisores de cero.
- Probar que la traspuesta invierte el orden de los factores y que la traza no distingue el orden.
- Demostrar que la forma escalonada reducida es única y definir con ella el rango.
- Resolver todo sistema lineal por el método de Gauss-Jordan y clasificarlo con el teorema de Rouché-Frobenius.
1. Producto de matrices. La entrada $(i, j)$ de $AB$ es la suma de los productos de la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$ ; así se obtiene la tabla de la composición de dos sustituciones lineales, y todo sistema lineal se escribe como $AX = B$ .
  Se demuestra en: Matrices y operaciones con matrices.
2. Propiedades del producto. Por el intercambio del orden de dos sumas, el producto de matrices es asociativo y distributivo respecto de la suma, y las identidades son su neutro; en cambio, no es conmutativo y admite divisores de cero y matrices nilpotentes. Además, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ y $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , de donde la ecuación $AB - BA = I$ no tiene solución.
  Usa: 1. Producto de matrices. Se apoya en: A (Inducción). Se demuestra en: Matrices y operaciones con matrices.
3. Método de Gauss-Jordan. Las operaciones elementales de fila transforman un sistema en otro equivalente, y toda matriz se reduce con ellas, en un número finito de pasos, a una forma escalonada reducida.
  Usa: 1. Producto de matrices. Se apoya en: A (Inducción). Se demuestra en: Sistemas lineales y el método de Gauss-Jordan.
4. Unicidad de la forma reducida. Dos formas escalonadas reducidas a las que se llega desde una misma matriz son iguales, porque sus sistemas homogéneos tienen las mismas soluciones; por tanto, el rango, número de filas no nulas de cualquier forma escalonada, no depende de las operaciones elegidas.
  Usa: 3. Método de Gauss-Jordan. Se apoya en: A (Inducción). Se demuestra en: Sistemas lineales y el método de Gauss-Jordan.
5. Rouché-Frobenius. El sistema $AX = B$ , de matriz ampliada $M$ y $n$ incógnitas, es compatible si y solo si $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , y entonces es determinado si el rango es $n$ y depende de $n - r$ parámetros libres si es $r < n$ ; en particular, $AX = 0$ tiene soluciones no triviales si y solo si $\operatorname{rg}(A) < n$ .
  Usa: 3. Método de Gauss-Jordan, 4. Unicidad de la forma reducida. Se demuestra en: Sistemas lineales y el método de Gauss-Jordan.
Tramo 2 El determinante y la inversa
- Interpretar el determinante de orden dos como un área orientada y definirlo en cualquier orden por recurrencia.
- Demostrar por inducción sobre el orden las propiedades del determinante, calcularlo por reducción y decidir con él la unicidad de las soluciones.
- Caracterizar las matrices invertibles y calcular la inversa por la adjunta y por el método de Gauss-Jordan.
- Reunir en un solo teorema las condiciones equivalentes a la invertibilidad, y deducir de él la inversa lateral y el teorema del producto de los determinantes.
1. Área orientada. El valor absoluto del determinante de la matriz de columnas $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es el área del paralelogramo que determinan, y su signo indica si el giro de $\vec{u}$ a $\vec{v}$ es antihorario u horario.
  Se apoya en: E (Vectores del plano), D (Fórmulas de suma). Se demuestra en: Determinantes: propiedades y regla de Cramer.
2. Propiedades del determinante. Por inducción sobre el orden, a partir del desarrollo por la primera fila, el determinante es lineal en cada fila, cambia de signo al intercambiar dos filas, se anula si una fila es nula o si dos son iguales, no cambia al sumar a una fila un múltiplo de otra ni al trasponer, vale el producto de la diagonal en una matriz triangular y se desarrolla por cualquier fila o columna.
  Se apoya en: A (Inducción). Se demuestra en: Determinantes: propiedades y regla de Cramer.
3. Determinante y rango. Una matriz cuadrada de orden $n$ tiene determinante no nulo, es decir, es regular, si y solo si su rango es $n$ ; por tanto, $AX = 0$ tiene soluciones no nulas si y solo si $A$ es singular, es decir, si $\det A = 0$ .
  Usa: 3. Método de Gauss-Jordan, 4. Unicidad de la forma reducida, 5. Rouché-Frobenius, 7. Propiedades del determinante. Se demuestra en: Determinantes: propiedades y regla de Cramer.
4. Regla de Cramer. Si $D = \det A \neq 0$ , el sistema $AX = B$ de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas tiene una única solución, $x_k = \frac{D_k}{D}$ , donde $D_k$ resulta de sustituir la columna $k$ por la de los términos independientes; se demuestra en todo orden con los cofactores de la columna $k$ .
  Usa: 2. Propiedades del producto, 5. Rouché-Frobenius, 7. Propiedades del determinante, 8. Determinante y rango. Se demuestra en: Determinantes: propiedades y regla de Cramer.
5. Unicidad de la inversa. Una matriz cuadrada tiene a lo sumo una inversa: si $AB = BA = I$ y $AD = DA = I$ , entonces $B = D$ .
  Se apoya en: B (Asociatividad del producto). Se demuestra en: La matriz inversa.
6. Determinante e invertibilidad. Una matriz cuadrada $A$ es invertible si y solo si $\det A \neq 0$ , es decir, si es regular, y entonces su inversa es la adjunta dividida entre el determinante; la necesidad se obtiene por el rango, sin usar el determinante de un producto, y la suficiencia, por el lema de los cofactores ajenos.
  Usa: 5. Rouché-Frobenius, 7. Propiedades del determinante, 8. Determinante y rango. Se apoya en: B (Asociatividad del producto). Se demuestra en: La matriz inversa.
7. Propiedades de la inversa. Si $A$ y $B$ son invertibles, también lo son $AB$ , $A^{\mathsf{T}}$ , $cA$ con $c \neq 0$ y $A^m$ , y en particular $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ .
  Usa: 2. Propiedades del producto, 10. Unicidad de la inversa. Se apoya en: B (Asociatividad del producto), A (Inducción). Se demuestra en: La matriz inversa.
8. Inversa por Gauss-Jordan. Cada operación elemental es el producto por una matriz elemental invertible; si la forma escalonada reducida de $A$ es $I$ , las operaciones transforman $\left( A, I \right)$ en $\left( I, A^{-1} \right)$ y $A$ es un producto de matrices elementales, y si no lo es, $A$ no es invertible.
  Usa: 3. Método de Gauss-Jordan, 4. Unicidad de la forma reducida, 12. Propiedades de la inversa. Se apoya en: B (Asociatividad del producto). Se demuestra en: La matriz inversa.
9. Caracterizaciones e inversa lateral. Para una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ son equivalentes: que sea invertible, que $\det A \neq 0$ , que cada sistema $AX = D$ tenga solución única, que $AX = 0$ solo tenga la solución trivial, que $\operatorname{rg}(A) = n$ y que su forma escalonada reducida sea la identidad. De ello se sigue que, si $AB = I$ o $BA = I$ , entonces $B = A^{-1}$ .
  Usa: 5. Rouché-Frobenius, 4. Unicidad de la forma reducida, 11. Determinante e invertibilidad, 13. Inversa por Gauss-Jordan. Se apoya en: B (Asociatividad del producto). Se demuestra en: La matriz inversa.
10. Determinante del producto. Para todas las matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo orden se cumple $\det(AB) = \det A \det B$ : se demuestra con las matrices elementales si $A$ es invertible, y por el rango si no lo es.
  Usa: 7. Propiedades del determinante, 8. Determinante y rango, 13. Inversa por Gauss-Jordan, 14. Caracterizaciones e inversa lateral. Se apoya en: A (Inducción). Se demuestra en: La matriz inversa.
Tramo 3 La geometría de las matrices
- Identificar las matrices de orden dos con las transformaciones lineales del plano y obtener las matrices de los giros, las proyecciones y las reflexiones.
- Traducir la composición de transformaciones en el producto de matrices, y el determinante en el factor de las áreas.
- Escribir la rotación de ejes en forma matricial, con la traza y el determinante como invariantes.
- Representar los números complejos como matrices, con el módulo, el conjugado, el inverso y la forma polar.
1. Las columnas de la matriz. Toda transformación de matriz es lineal, y toda transformación lineal del plano es la de una única matriz, la que tiene por columnas $T(\vec{e}_1)$ y $T(\vec{e}_2)$ .
  Usa: 2. Propiedades del producto. Se demuestra en: Las matrices como transformaciones del plano.
2. Giros, proyecciones y reflexiones. La rotación de ángulo $\theta$ alrededor del origen, la proyección sobre una recta que pasa por el origen y la reflexión en ella son transformaciones lineales, de matrices $R_\theta$ , $P_\alpha$ y $S_\alpha$ .
  Se apoya en: C (Teorema de las columnas), D (Fórmulas de suma), E (Vectores del plano). Se demuestra en: Las matrices como transformaciones del plano.
3. Composición y producto. Si $T$ es la transformación de matriz $A$ y $U$ la de matriz $B$ , la composición $T \circ U$ es la transformación de matriz $AB$ .
  Se apoya en: B (Asociatividad del producto), C (Teorema de las columnas). Se demuestra en: Las matrices como transformaciones del plano.
4. Composición de giros y reflexiones. Se cumplen $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ , $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ , $R_\theta^n = R_{n\theta}$ y $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ .
  Usa: 17. Giros, proyecciones y reflexiones, 18. Composición y producto. Se apoya en: D (Fórmulas de suma), A (Inducción). Se demuestra en: Las matrices como transformaciones del plano.
5. Determinante como factor de área. La transformación de matriz $A$ lleva el cuadrado unidad al paralelogramo de sus columnas y multiplica las áreas por $\abs{\det A}$ , cosa que se admite para las regiones generales; conserva la orientación si $\det A > 0$ y la invierte si $\det A < 0$ .
  Usa: 6. Área orientada. Se apoya en: C (Teorema de las columnas). Se demuestra en: Las matrices como transformaciones del plano.
6. Transformaciones invertibles. La transformación de matriz $A$ es biyectiva si y solo si $\det A \neq 0$ , y entonces su inversa es la de matriz $A^{-1}$ ; si $\det A = 0$ , su imagen está contenida en una recta que pasa por el origen.
  Usa: 11. Determinante e invertibilidad, 18. Composición y producto. Se apoya en: E (Vectores del plano). Se demuestra en: Las matrices como transformaciones del plano.
7. Rotación de ejes matricial. Al girar los ejes en el ángulo $\theta$ , la matriz simétrica $M$ de una forma cuadrática pasa a ser $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , que tiene la misma traza y el mismo determinante que $M$ .
  Usa: 2. Propiedades del producto, 7. Propiedades del determinante, 15. Determinante del producto, 19. Composición de giros y reflexiones. Se demuestra en: Las matrices como transformaciones del plano.
8. Complejos como matrices. La correspondencia $M(a + bi) = aI + bJ$ es inyectiva y conserva la suma y el producto, y $J$ , la matriz de $i$ , es el giro de un cuarto de vuelta, cuyo cuadrado es $-I$ .
  Usa: 1. Producto de matrices, 17. Giros, proyecciones y reflexiones. Se demuestra en: Los números complejos como matrices.
9. Módulo, conjugado e inverso. El determinante de $M(z)$ es $\abs{z}^2$ , la matriz del conjugado es la traspuesta de $M(z)$ y, si $z \neq 0$ , la matriz de $z^{-1}$ es la inversa de $M(z)$ .
  Usa: 10. Unicidad de la inversa, 20. Determinante como factor de área, 23. Complejos como matrices. Se demuestra en: Los números complejos como matrices.
10. Forma polar y De Moivre. Si $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , entonces $M(z) = r R_\theta$ , un giro seguido de una homotecia; y de $R_\theta^n = R_{n\theta}$ se sigue la fórmula de De Moivre para todo exponente entero.
  Usa: 19. Composición de giros y reflexiones, 23. Complejos como matrices, 24. Módulo, conjugado e inverso. Se apoya en: A (Inducción). Se demuestra en: Los números complejos como matrices.
Tramo 4 Las estructuras
- Definir los grupos y demostrar sus propiedades elementales sin usar la conmutatividad.
- Estudiar los subgrupos cíclicos y demostrar el teorema de Lagrange.
- Definir los anillos y los cuerpos y decidir cuándo los restos $\mathbb{Z}_n$ forman un cuerpo.
- Precisar con los isomorfismos cuándo dos grupos son la misma estructura.
1. Propiedades de los grupos. En todo grupo el neutro y el inverso de cada elemento son únicos, vale la cancelación por cada lado y $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , sin usar la conmutatividad.
  Se demuestra en: Estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos.
2. Subgrupo cíclico. En un grupo finito, todo elemento $g$ tiene un orden $k$ , se cumple $g^m = e$ si y solo si $k$ divide a $m$ , y las potencias $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ forman un subgrupo de $k$ elementos.
  Usa: 26. Propiedades de los grupos. Se apoya en: F (Restos y congruencias). Se demuestra en: Estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos.
3. Teorema de Lagrange. El orden de un subgrupo de un grupo finito divide al orden del grupo, porque el grupo se reparte en clases laterales disjuntas con tantos elementos como el subgrupo.
  Usa: 26. Propiedades de los grupos. Se demuestra en: Estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos.
4. Los restos forman un cuerpo. Para $n \geq 2$ , los restos $\mathbb{Z}_n$ forman un cuerpo si $n$ es primo, porque por el teorema de los restos invertibles todo resto no nulo tiene inverso; si $n$ es compuesto, tienen divisores de cero y no lo forman.
  Se apoya en: F (Restos y congruencias). Se demuestra en: Estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos.
5. Lo que conserva un isomorfismo. Un isomorfismo de grupos lleva el neutro al neutro, el inverso de cada elemento al inverso de su imagen y cada elemento a otro del mismo orden, y conserva la conmutatividad.
  Usa: 26. Propiedades de los grupos, 27. Subgrupo cíclico. Se apoya en: A (Inducción). Se demuestra en: Estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos.

Hacia la geometría del espacio. La cadena no se detiene aquí: en la unidad siguiente, el determinante de orden tres da el producto vectorial, el producto mixto y el volumen de un paralelepípedo, y el rango y la matriz inversa deciden y calculan las intersecciones de rectas y planos, de modo que el álgebra de esta unidad se convierte en el instrumento de la geometría del espacio.