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Topos Uranos
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Las matrices como transformaciones del plano

Resumen

Esta clase interpreta cada matriz de dos filas y dos columnas como una transformación del plano, la que lleva cada v⃗\vec{v}, escrito como columna, al vector Av⃗A\vec{v}. Demuestra que estas transformaciones son exactamente las lineales y que cada una queda determinada por las imágenes de los dos vectores básicos, que son las columnas de su matriz. Con ese principio obtiene las matrices de las rotaciones, de las proyecciones y de las reflexiones sobre rectas que pasan por el origen, de las homotecias y de las cizallas. Demuestra que componer transformaciones equivale a multiplicar sus matrices, de donde se siguen la suma de los ángulos de dos rotaciones, el hecho de que dos reflexiones compuestas forman una rotación del doble del ángulo entre sus rectas y el de que las reflexiones no conmutan en general. Interpreta el determinante como el factor por el que la transformación multiplica las áreas, con signo negativo cuando invierte la orientación, y caracteriza las transformaciones biyectivas como las de determinante no nulo. Termina reescribiendo en forma matricial la rotación de ejes de la ecuación general de segundo grado.

Objetivos de aprendizaje

  1. Reconocer una matriz como transformación lineal del plano y obtener la matriz de una transformación a partir de las imágenes de los vectores básicos.
  2. Escribir y deducir las matrices de las rotaciones, proyecciones, reflexiones, homotecias y cizallas, y describir geométricamente el efecto de una matriz dada.
  3. Demostrar que la composición de transformaciones corresponde al producto de matrices y aplicarlo a la composición de rotaciones y de reflexiones.
  4. Interpretar el determinante como factor de área y de orientación, decidir cuándo una transformación es invertible y expresar la rotación de ejes de una ecuación de segundo grado con matrices.

Las matrices como transformaciones

En la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre los vectores en el plano un vector se definió como un par ordenado de números reales, y en la clase sobre las matrices y sus operaciones se definió el producto de una matriz por otra, fila por columna. Si el par (x,y)(x, y) se escribe como una columna, es decir, como una matriz de dos filas y una columna, una matriz AA de dos filas y dos columnas puede multiplicarlo, y el resultado es otra columna de dos entradas, es decir, otro vector. De este modo cada matriz mueve los puntos del plano, y el álgebra de las matrices adquiere un significado geométrico. En lo que sigue identificamos el par (x,y)(x, y) con la columna de entradas xx e yy, y llamamos e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = (1, 0) y e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = (0, 1) a los vectores básicos, de modo que todo vector se escribe v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2.

Una transformación del plano es una función que asigna a cada vector del plano otro vector del plano. Si AA es una matriz de dos filas y dos columnas, la transformación de matriz AA es la que asigna a cada v⃗\vec{v} el producto Av⃗A\vec{v}.
T(v⃗)=Av⃗=(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy)T(\vec{v}) = A\vec{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

Por ejemplo, la matriz de entradas 22, 00, 00 y 33 lleva el punto (x,y)(x, y) al punto (2x,3y)(2x, 3y): estira el plano al doble en la dirección horizontal y al triple en la vertical. Las transformaciones de matriz tienen una propiedad que las distingue de las demás funciones del plano, y que se expresa con la definición siguiente.

Una transformación TT del plano es lineal si conserva la suma de vectores y el producto de un vector por un número: para todos los u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} del plano y todo número real tt se cumplen las dos igualdades siguientes.
T(u⃗+v⃗)=T(u⃗)+T(v⃗),T(tv⃗)=tT(v⃗)T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v}), \qquad T(t\vec{v}) = tT(\vec{v})
TeoremaLas columnas de la matriz

Toda transformación de matriz es lineal, y las columnas de su matriz son las imágenes de los vectores básicos: la primera es la imagen de e⃗1\vec{e}_1 y la segunda la de e⃗2\vec{e}_2. Recíprocamente, toda transformación lineal del plano es la transformación de una única matriz, a saber, la que tiene por columnas T(e⃗1)T(\vec{e}_1) y T(e⃗2)T(\vec{e}_2).

Se usan la distributividad del producto de matrices y su compatibilidad con el producto por un número, demostradas en la clase sobre las matrices y sus operaciones. La figura sigue la transformación de matriz AA de columnas (2,1)(2, 1) y (−1,1)(-1, 1).

Demostración

  1. T(u⃗+v⃗)=A⋅(u⃗+v⃗)=Au⃗+Av⃗,T(tv⃗)=A⋅(tv⃗)=tAv⃗T(\vec{u} + \vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( \vec{u} + \vec{v} \right)} = \resaltar{A\vec{u} + A\vec{v}}, \qquad T(t\vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( t\vec{v} \right)} = \resaltar{tA\vec{v}}

    Sea AA una matriz y TT su transformación. La distributividad y la compatibilidad con el producto por un número dan las dos condiciones de la linealidad; en la figura, el paralelogramo que forman u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} va a parar al que forman sus imágenes.

  2. T(e⃗1)=(abcd)(10)=(ac)T(\vec{e}_1) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = \dato{c1}{\resaltar{\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}}}

    Calculamos la imagen de e⃗1\vec{e}_1: al multiplicar fila por columna, de cada fila de AA solo cuenta la primera entrada.

  3. T(e⃗2)=(abcd)(01)=(bd)T(\vec{e}_2) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = \dato{c2}{\resaltar{\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}}}

    Del mismo modo, en la imagen de e⃗2\vec{e}_2 solo cuenta la segunda entrada de cada fila.

  4. T(v⃗)=T(xe⃗1+ye⃗2)=xT(e⃗1)+yT(e⃗2)=xAe⃗1+yAe⃗2=Av⃗T(\vec{v}) = \resaltar{T(x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2)} = xT(\vec{e}_1) + yT(\vec{e}_2) = \resaltar{xA\vec{e}_1 + yA\vec{e}_2} = A\vec{v}

    Sea ahora TT una transformación lineal cualquiera, y sea AA la matriz cuyas columnas son T(e⃗1)T(\vec{e}_1) y T(e⃗2)T(\vec{e}_2). Escribimos v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 y aplicamos la linealidad; por los dos pasos anteriores, T(e⃗1)=Ae⃗1T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1 y T(e⃗2)=Ae⃗2T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2. En la figura, la cuadrícula del plano va a parar a una cuadrícula de paralelogramos.

  5. Be⃗1=T(e⃗1)=Ae⃗1,Be⃗2=T(e⃗2)=Ae⃗2→B=AB\vec{e}_1 = T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1, \quad B\vec{e}_2 = T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2 \rightarrow B = A

    Si otra matriz BB cumpliera también T(v⃗)=Bv⃗T(\vec{v}) = B\vec{v} para todo v⃗\vec{v}, las columnas de BB, que son Be⃗1B\vec{e}_1 y Be⃗2B\vec{e}_2, coincidirían con las de AA; la matriz es única.

El teorema reduce el estudio de una transformación lineal al de dos vectores: para conocer la matriz basta saber adónde van e⃗1\vec{e}_1 y e⃗2\vec{e}_2, y para saber qué hace una matriz basta leer sus columnas. De la linealidad se siguen además varias propiedades geométricas. El origen queda fijo, porque A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0}; por eso las traslaciones, que mueven el origen, no son lineales. La recta de ecuación vectorial p⃗+td⃗\vec{p} + t\vec{d}, estudiada en la clase del curso I sobre los vectores, va a parar al conjunto de los puntos Ap⃗+tAd⃗A\vec{p} + tA\vec{d}, que es una recta si Ad⃗A\vec{d} no es nulo y un solo punto si lo es. Del mismo modo, un segmento va a parar a un segmento o a un punto, rectas paralelas van a parar a rectas paralelas o a puntos, y el cuadrado de vértices 0⃗\vec{0}, e⃗1\vec{e}_1, e⃗1+e⃗2\vec{e}_1 + \vec{e}_2 y e⃗2\vec{e}_2, que llamaremos cuadrado unidad, va a parar al paralelogramo, quizá aplastado, que forman las dos columnas de la matriz.