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Topos Uranos
Español

La matriz inversa

Resumen

Esta clase estudia la matriz inversa, que hace con las matrices cuadradas lo que el inverso hace con los números no nulos. Demuestra que la inversa, cuando existe, es única; que una matriz es invertible si y solo si su determinante no es nulo, y que en ese caso la inversa es la matriz adjunta, formada por los cofactores, dividida entre el determinante; de ahí obtiene la fórmula de la inversa de orden dos. Demuestra las propiedades de la inversa del producto, de la traspuesta y de las potencias, traduce cada operación elemental de filas en el producto por una matriz elemental y deduce de ello el método de Gauss-Jordan, que obtiene la inversa transformando la matriz (A,I)\left( A, I \right) en (I,A−1)\left( I, A^{-1} \right). Por último, resuelve las ecuaciones matriciales y reúne en un solo teorema las condiciones equivalentes a la invertibilidad, que relacionan la inversa con el determinante, con el rango y con los sistemas de ecuaciones lineales; de ellas deduce que basta comprobar uno de los dos productos de la definición, y con las matrices elementales demuestra que el determinante de un producto es el producto de los determinantes.

Objetivos de aprendizaje

  1. Definir la matriz inversa, demostrar su unicidad y decidir si una matriz es invertible mediante su determinante.
  2. Calcular la inversa mediante la matriz adjunta, en particular con la fórmula de orden dos, y mediante el método de Gauss-Jordan, justificando ambos procedimientos.
  3. Aplicar las propiedades de la inversa del producto, de la traspuesta y de las potencias, y resolver ecuaciones matriciales respetando el orden de los factores.
  4. Relacionar la invertibilidad de una matriz con el rango, con las matrices elementales y con la existencia y unicidad de las soluciones de los sistemas lineales, y demostrar con las matrices elementales que el determinante de un producto es el producto de los determinantes.

La matriz inversa

En la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre los conjuntos numéricos se vio que todo número aa no nulo tiene un inverso a−1a^{-1}, que permite resolver la ecuación ax=bax = b multiplicando sus dos miembros por a−1a^{-1}. En la clase sobre las matrices y sus operaciones, un sistema de ecuaciones lineales se escribió como una sola ecuación AX=BAX = B, y la matriz identidad II resultó ser el neutro del producto. Si esto es así, la pregunta natural es si existe una matriz que desempeñe, respecto de AA, el papel del inverso, de modo que el sistema se resuelva con una sola multiplicación. Ahora bien, el producto de matrices no es conmutativo, de modo que la definición debe exigir las dos igualdades; y para que ABAB y BABA tengan el mismo tamaño que II, la matriz AA debe ser cuadrada.

Una matriz cuadrada AA de orden nn es invertible cuando existe una matriz BB de orden nn tal que AB=BA=IAB = BA = I, donde II es la identidad de orden nn. Una matriz BB con esa propiedad se llama inversa de AA.

Por ejemplo, las dos matrices siguientes son inversas una de otra, como se comprueba multiplicándolas en los dos órdenes:

(2153)(3−1−52)=(3−1−52)(2153)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

No toda matriz no nula es invertible, y en esto las matrices se separan de los números. Una matriz con una fila nula no lo es, porque el producto de esa fila por cualquier columna es 00, de modo que ABAB tiene una fila nula para toda BB y no puede ser la identidad. Tampoco lo es una matriz AA para la que exista CC no nula con AC=0AC = 0, uno de los divisores de cero de la clase sobre las matrices: si AA tuviera inversa BB, se tendría C=(BA)C=B⋅(AC)=0C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0. Por ejemplo, la matriz de filas 1,11, 1 y 1,11, 1 multiplicada por la de filas 1,−11, -1 y −1,1-1, 1 da la matriz nula, y ninguna de las dos es invertible.

LemaUnicidad de la inversa

Una matriz cuadrada tiene a lo sumo una inversa: si AB=BA=IAB = BA = I y AD=DA=IAD = DA = I, entonces B=DB = D.

La demostración es la de la unicidad del opuesto y del inverso de la clase del curso I sobre los conjuntos numéricos, con la salvedad de que no puede usarse la conmutatividad; en su lugar se usa una igualdad por cada lado, con la asociatividad del producto de matrices y el carácter neutro de la identidad, demostrados en la clase sobre las matrices. La figura escribe cada producto como una fila de factores y señala los dos que se agrupan.

Demostración

  1. AB=BA=I,AD=DA=I\dato{b}{AB = BA = I}, \qquad \dato{d}{AD = DA = I}

    Partimos de las dos hipótesis: BB y DD cumplen, cada una, las dos igualdades de la definición.

  2. B=BI=B⋅(AD)B = B \resaltar{I} = B \cdot \resaltar{(AD)}

    Como II es el neutro del producto, B=BIB = BI; sustituimos II por ADAD, que es la igualdad de DD por la derecha.

  3. B⋅(AD)=(BA)D=ID=DB \cdot (AD) = \resaltar{(BA)} D = \resaltar{I} D = D

    Por la asociatividad agrupamos de otro modo, y usamos la igualdad de BB por la izquierda, BA=IBA = I. Los dos factores que se agrupan cambian, pero el orden de las tres matrices no.

La única inversa de AA, cuando existe, se denota por A−1A^{-1}. No debe escribirse como una fracción 1A\frac{1}{A}, ni el producto BA−1BA^{-1} como un cociente BA\frac{B}{A}: como BA−1BA^{-1} y A−1BA^{-1}B son, en general, distintas, esa escritura no indicaría por qué lado se multiplica. Arthur Cayley, que en 1858 fundó el cálculo con matrices, definió ya la inversa mediante la matriz adjunta de la sección siguiente.