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Topos Uranos
Español

Determinantes: propiedades y regla de Cramer

Resumen

Esta clase extiende a las matrices cuadradas de cualquier orden el número que, en la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre los sistemas lineales, decidía si un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas tiene una única solución. Interpreta el determinante de orden dos como el área orientada del paralelogramo que determinan las columnas de la matriz; define el de orden tres por desarrollo según la primera fila y muestra que coincide con la regla de Sarrus; y define el de orden nn por recurrencia. Demuestra por inducción sobre el orden, a partir de esa definición, las propiedades del determinante (la linealidad en cada fila, el intercambio de filas, las filas nulas o iguales, la suma de un múltiplo de otra fila, la traspuesta y las matrices triangulares), y las aplica al cálculo por reducción y a la relación entre el determinante y el rango. Demuestra el teorema del determinante del producto en orden dos, cuya demostración general se da en la clase sobre la matriz inversa, y la regla de Cramer en todo orden; los problemas aplican los determinantes al área de un triángulo, al determinante de Vandermonde, a la identidad de Cassini de los números de Fibonacci y a la circunferencia que pasa por tres puntos.

Objetivos de aprendizaje

  1. Calcular determinantes de orden dos y tres por desarrollo según una fila y por la regla de Sarrus, e interpretar el de orden dos como un área orientada.
  2. Demostrar por inducción sobre el orden las propiedades del determinante y usarlas para calcular determinantes de cualquier orden por reducción a una matriz triangular.
  3. Relacionar el determinante con el rango y con el producto de matrices, y decidir con él si una matriz es singular.
  4. Resolver sistemas de nn ecuaciones con nn incógnitas mediante la regla de Cramer, y aplicar los determinantes a problemas de geometría analítica y de sucesiones.

El determinante de orden dos y el área orientada

En la clase del curso I sobre las ecuaciones y los sistemas lineales se llamó determinante de un sistema de dos ecuaciones al número D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1, y se demostró la regla de Cramer: si DD no es nulo, el sistema tiene exactamente una solución. En la clase sobre los vectores en el plano, el mismo número, formado con las componentes de dos vectores, decidía si son paralelos. Ahora bien, en la clase sobre las matrices y sus operaciones se introdujeron las matrices cuadradas, y en la clase sobre el método de Gauss-Jordan todo sistema lineal se escribió en la forma AX=BAX = B. Si esto es así, conviene considerar aquel número como una función de la matriz de coeficientes, y extenderlo a las matrices cuadradas de cualquier orden.

El determinante de una matriz cuadrada AA de orden dos es el producto de los elementos de su diagonal principal menos el producto de los elementos de la otra diagonal. Se escribe det⁡A\det A, o bien con los elementos de la matriz entre dos barras verticales.
A=(abcd),det⁡A=∣abcd∣=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

El determinante de un sistema de dos ecuaciones es el de su matriz de coeficientes, que tiene en la primera columna los coeficientes de xx y en la segunda los de yy: su determinante es a1b2−a2b1=Da_1 b_2 - a_2 b_1 = D. Las barras no indican aquí un valor absoluto, porque el determinante puede ser negativo; por ejemplo:

∣3112∣=6−1=5,∣1321∣=1−6=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

Las dos columnas de una matriz de orden dos son vectores del plano, y el teorema siguiente da al determinante un significado geométrico que explica, de paso, el criterio de paralelismo de la clase del curso I sobre los vectores.

TeoremaÁrea orientada

Sean u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) y v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) vectores del plano, y sea AA la matriz cuyas columnas son u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}. El área del paralelogramo que determinan las flechas de u⃗\vec{u} y de v⃗\vec{v} trazadas desde un mismo origen es el valor absoluto de det⁡A\det A. Además, si los vectores no son nulos ni paralelos, det⁡A\det A es positivo cuando el giro de menos de media vuelta que lleva la dirección de u⃗\vec{u} a la de v⃗\vec{v} es antihorario, y negativo cuando es horario.

det⁡A=∣u1v1u2v2∣=u1v2−u2v1\det A = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1

Si u⃗\vec{u} es nulo, el paralelogramo se reduce a un segmento y el determinante es nulo; suponemos, por tanto, que u⃗\vec{u} no lo es. La demostración usa la distancia de un punto a una recta, obtenida en la clase del curso I sobre los vectores, las coordenadas polares de la clase sobre las coordenadas polares y la fórmula del seno de la diferencia de la clase sobre las fórmulas de suma y diferencia. La figura la sigue con u⃗=(3,1)\vec{u} = \left( 3, 1 \right) y v⃗=(1,2)\vec{v} = \left( 1, 2 \right).

Demostración

  1. n⃗=(−u2,u1),n⃗⋅u⃗=−u2u1+u1u2=0,∥n⃗∥=∥u⃗∥\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}

    Se admite, como en la geometría elemental, que el área de un paralelogramo es el producto de una base por la altura correspondiente. Tomamos como base el lado que representa a u⃗\vec{u}, sobre la recta que pasa por el origen con esa dirección; su ecuación es −u2x+u1y=0-u_2 x + u_1 y = 0, que cumplen el origen y el extremo de u⃗\vec{u}. Por el teorema del vector normal, el vector n⃗\vec{n} es perpendicular a esa recta, y su norma es la de u⃗\vec{u}.

  2. h=∣v⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣u1v2−u2v1∣∥n⃗∥h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}

    La altura es la distancia del extremo de v⃗\vec{v} a esa recta. En la fórmula de la distancia tomamos el origen como punto de la recta, de modo que el vector que va de la recta al punto es el propio v⃗\vec{v}.

  3. ∥u⃗∥⋅h=∣u1v2−u2v1∣=∣det⁡A∣,∣3⋅2−1⋅1∣=5\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5

    El área es la base por la altura, y la norma de u⃗\vec{u} se simplifica con la de n⃗\vec{n}. En la figura, la base mide 10\sqrt{10}, la altura 510\frac{5}{\sqrt{10}}, y el área es 55.

  4. det⁡A=(rcos⁡α)(ssin⁡β)−(rsin⁡α)(scos⁡β)=rs(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)=rssin⁡(β−α)\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}

    Para el signo, escribimos los vectores en coordenadas polares: rr y ss son sus normas, y α\alpha y β\beta los ángulos que forman con el semieje positivo de abscisas, de modo que u⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right) y v⃗=(scos⁡β,ssin⁡β)\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right). Por la fórmula del seno de la diferencia, el determinante es rsrs por el seno del ángulo que va de u⃗\vec{u} a v⃗\vec{v}.

  5. ∣3112∣=5,∣1321∣=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}

    Como rs>0rs > 0, el determinante tiene el signo de sin⁡(β−α)\sin(\beta - \alpha), que es positivo si β−α\beta - \alpha está entre 0∘0^\circ y 180∘180^\circ, salvo un múltiplo de 360∘360^\circ, es decir, si v⃗\vec{v} se alcanza desde u⃗\vec{u} girando en sentido antihorario menos de media vuelta, y negativo en el caso contrario. Es nulo si y solo si β−α\beta - \alpha es múltiplo de 180∘180^\circ, es decir, si los vectores son paralelos. En la figura, β−α=45∘\beta - \alpha = 45^\circ; al intercambiar las columnas, el giro que lleva de v⃗\vec{v} a u⃗\vec{u} es horario, y el signo cambia.

El teorema justifica que el determinante de orden dos se llame área orientada: su valor absoluto mide el área, y su signo, el sentido del giro que lleva de la primera columna a la segunda. El criterio de paralelismo de la clase del curso I sobre los vectores es el caso del área nula: dos vectores son paralelos exactamente cuando el paralelogramo que determinan se aplasta sobre una recta. La relación entre el determinante y las áreas de figuras cualesquiera, cuando la matriz actúa como una transformación del plano, se estudiará en la clase sobre las matrices como transformaciones del plano.