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Topos Uranos
Español

Sistemas lineales y el método de Gauss-Jordan

Resumen

Esta clase estudia los sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas. Escribe cada sistema como una ecuación matricial AX=BAX = B y lo representa por su matriz ampliada; demuestra que las tres operaciones elementales de fila transforman un sistema en otro con las mismas soluciones, y que toda matriz puede llevarse por medio de ellas a una forma escalonada reducida, de la que las soluciones se leen directamente: es el método de Gauss-Jordan. Demuestra después que esa forma es única, cualesquiera que sean las operaciones empleadas, y define con ella el rango de una matriz; demuestra el teorema de Rouché-Frobenius, que decide si un sistema tiene solución y cuántos parámetros libres tienen sus soluciones, y lo aplica a los sistemas homogéneos. Con ello se completa el estudio de los sistemas iniciado en la unidad sobre los conjuntos numéricos.

Objetivos de aprendizaje

  1. Escribir un sistema lineal en forma matricial, formar su matriz ampliada y justificar por qué las operaciones elementales de fila conservan sus soluciones.
  2. Reducir una matriz a su forma escalonada reducida con el método de Gauss-Jordan, demostrar que esa forma es única y leer en ella las soluciones del sistema.
  3. Calcular el rango de una matriz y aplicar el teorema de Rouché-Frobenius para clasificar un sistema, también cuando sus coeficientes dependen de un parámetro.
  4. Plantear como sistemas lineales problemas de interpolación, de equilibrio químico, de redes de flujo y de cuadrados mágicos, y describir sus soluciones con parámetros libres.

La forma matricial de un sistema

En la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre ecuaciones de primer grado y sistemas lineales se resolvieron sistemas de dos y de tres ecuaciones por sustitución, reducción e igualación, y se clasificaron los de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante su determinante. Allí quedó pendiente el caso general, cuya clasificación se admitió sin demostración. Esta clase lo resuelve con las herramientas de la clase sobre matrices y operaciones con matrices.

Un sistema de mm ecuaciones lineales con nn incógnitas x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n es un conjunto de mm ecuaciones de la forma siguiente, que deben cumplirse a la vez; el número aija_{ij} es el coeficiente de la incógnita xjx_j en la ecuación ii, y bib_i es el término independiente de esa ecuación.

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

Una solución del sistema es una lista ordenada de nn números (s1,s2,…,sn)(s_1, s_2, \ldots, s_n) que, puestos en lugar de las incógnitas, cumplen las mm ecuaciones. Sea AA la matriz de los coeficientes, de mm filas y nn columnas, cuya entrada de la fila ii y la columna jj es aija_{ij}; sean XX la columna de las incógnitas y BB la de los términos independientes. Como ya se observó en esa clase, por la definición del producto de matrices la entrada ii de la columna AXAX es precisamente el primer miembro de la ecuación ii. De ello se sigue que el sistema entero se escribe como una sola igualdad entre matrices columna, AX=BAX = B. Por ejemplo, el sistema que se resolverá en la sección siguiente se escribe así:

{2y+z=0x+y+z=22x+3y−z=−3(02111123−1)(xyz)=(02−3)\begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = -3 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

Para resolver el sistema basta conocer los números aija_{ij} y bib_i: los nombres de las incógnitas no intervienen en los cálculos. La matriz ampliada del sistema es la matriz MM, de mm filas y n+1n + 1 columnas, que se obtiene al añadir a AA la columna BB como última columna; la escribiremos M=(A,B)M = \left( A, B \right). Cada fila de MM resume una ecuación: sus primeras nn entradas son los coeficientes, y la última es el término independiente. En el ejemplo:

M=(0210111223−1−3)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

Un sistema es compatible si tiene al menos una solución, e incompatible si no tiene ninguna; un sistema compatible es determinado si tiene exactamente una, e indeterminado si tiene más de una. Dos sistemas con las mismas incógnitas son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. En la clase citada se vio que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas tiene ninguna, una o infinitas soluciones; al final de esta clase se sabrá que lo mismo ocurre con cualquier sistema lineal, y se tendrá un criterio para decidir en cuál de los casos se está.