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Topos Uranos
Français

Systèmes linéaires et méthode de Gauss-Jordan

Résumé

Cette leçon étudie les systèmes d’équations linéaires ayant un nombre quelconque d’équations et d’inconnues. Elle écrit chaque système comme une équation matricielle AX=BAX = B et le représente par sa matrice augmentée ; elle démontre que les trois opérations élémentaires sur les lignes transforment un système en un autre ayant les mêmes solutions, et que toute matrice peut être amenée par leur moyen à une forme échelonnée réduite, sur laquelle les solutions se lisent directement : c’est la méthode de Gauss-Jordan. Elle démontre ensuite que cette forme est unique, quelles que soient les opérations employées, et définit grâce à elle le rang d’une matrice ; elle démontre le théorème de Rouché-Fontené (appelé théorème de Rouché-Frobenius dans le monde hispanophone), qui décide si un système a des solutions et combien de paramètres libres ont ses solutions, et l’applique aux systèmes homogènes. Ainsi s’achève l’étude des systèmes commencée dans l’unité sur les ensembles de nombres.

Objectifs d’apprentissage

  1. Écrire un système linéaire sous forme matricielle, former sa matrice augmentée et justifier pourquoi les opérations élémentaires sur les lignes conservent ses solutions.
  2. Réduire une matrice à sa forme échelonnée réduite par la méthode de Gauss-Jordan, démontrer que cette forme est unique et y lire les solutions du système.
  3. Calculer le rang d’une matrice et appliquer le théorème de Rouché-Fontené pour classer un système, y compris lorsque ses coefficients dépendent d’un paramètre.
  4. Mettre en équations, sous forme de systèmes linéaires, des problèmes d’interpolation, d’équilibrage chimique, de réseaux de flux et de carrés magiques, et décrire leurs solutions à l’aide de paramètres libres.

La forme matricielle d’un système

Dans la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les équations du premier degré et les systèmes linéaires, on a résolu des systèmes de deux et de trois équations par substitution, par combinaison et par comparaison, et on a classé ceux de deux équations à deux inconnues au moyen de leur déterminant. Le cas général y est resté en suspens, et sa classification a été admise sans démonstration. Cette leçon le traite avec les outils de la leçon sur les matrices et les opérations sur les matrices.

Un système de mm équations linéaires à nn inconnues x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n est un ensemble de mm équations de la forme ci-dessous, qui doivent être vérifiées simultanément ; le nombre aija_{ij} est le coefficient de l’inconnue xjx_j dans l’équation ii, et bib_i est le terme constant de cette équation.

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

Une solution du système est une liste ordonnée de nn nombres (s1,s2,…,sn)(s_1, s_2, \ldots, s_n) qui, mis à la place des inconnues, vérifient les mm équations. Soit AA la matrice des coefficients, à mm lignes et nn colonnes, dont le coefficient de la ligne ii et de la colonne jj est aija_{ij} ; soient XX la colonne des inconnues et BB celle des termes constants. Comme on l’a déjà observé dans cette leçon, par la définition du produit matriciel le coefficient ii de la colonne AXAX est précisément le premier membre de l’équation ii. Il s’ensuit que le système entier s’écrit comme une seule égalité entre matrices colonnes, AX=BAX = B. Par exemple, le système qui sera résolu un peu plus loin s’écrit ainsi :

{2y+z=0x+y+z=22x+3y−z=−3(02111123−1)(xyz)=(02−3)\begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = -3 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

Pour résoudre le système, il suffit de connaître les nombres aija_{ij} et bib_i : les noms des inconnues n’interviennent pas dans les calculs. La matrice augmentée du système est la matrice MM, à mm lignes et n+1n + 1 colonnes, que l’on obtient en ajoutant à AA la colonne BB comme dernière colonne ; nous l’écrirons M=(A,B)M = \left( A, B \right). Chaque ligne de MM résume une équation : ses nn premiers coefficients sont les coefficients des inconnues, et le dernier est le terme constant. Dans l’exemple :

M=(0210111223−1−3)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

Un système est compatible s’il a au moins une solution, et incompatible s’il n’en a aucune ; un système compatible est déterminé s’il en a exactement une, et indéterminé s’il en a plus d’une. Deux systèmes ayant les mêmes inconnues sont équivalents lorsqu’ils ont le même ensemble de solutions. Dans la leçon du cours I, on a vu qu’un système de deux équations à deux inconnues a zéro, une ou une infinité de solutions ; à la fin de cette leçon, on saura qu’il en va de même pour tout système linéaire, et l’on disposera d’un critère pour décider dans lequel des cas on se trouve.