Matrices et opérations sur les matrices

Matrices

Dans la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les équations du premier degré et les systèmes linéaires, la méthode du pivot de Gauss a été menée dans un tableau qui réunissait les coefficients de chaque équation : les inconnues n’intervenaient pas dans le calcul, et tout le travail se faisait avec les nombres du tableau. Cette observation est ancienne ; Les Neuf Chapitres sur l’art mathématique, un traité chinois compilé il y a quelque deux mille ans, résolvaient déjà des systèmes en disposant les coefficients en colonnes. Le mot matrice a été introduit par James Joseph Sylvester en 1850, et Arthur Cayley a publié en 1858 la première théorie des opérations sur les matrices, qui est celle qu’étudie cette leçon.

Soient $m$ et $n$ des entiers naturels. Une matrice de taille $m \times n$ est un tableau de $mn$ nombres disposés en $m$ lignes et $n$ colonnes. Le nombre situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ s’appelle le coefficient $(i, j)$ de la matrice ; si la matrice est désignée par une majuscule, comme $A$, le coefficient est désigné par la minuscule correspondante munie de deux numéros écrits en bas, $a_{ij}$, dont le premier indique toujours la ligne. On écrit aussi $A = (a_{ij})$. Une matrice $2 \times 3$ a, par exemple, la forme ci-dessous :

Les coefficients seront des nombres réels, sauf mention contraire ; tout ce qui est dit ici vaut sans changement pour les matrices de nombres complexes, car les démonstrations n’utilisent que les propriétés de l’addition et de la multiplication des nombres, que $\mathbb{C}$ partage avec $\mathbb{R}$. Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et les mêmes coefficients aux mêmes places : une égalité entre matrices $m \times n$ équivaut à $mn$ égalités entre nombres.

Types de matrices

Certaines formes se présentent si souvent qu’elles portent un nom propre.

• Une matrice ligne est une matrice $1 \times n$, et une matrice colonne, une matrice $m \times 1$. Les vecteurs du plan de la leçon du cours I sur les vecteurs du plan peuvent s’écrire comme des matrices colonnes $2 \times 1$.
• La matrice nulle d’une taille donnée a tous ses coefficients égaux à $0$ ; elle se note aussi $0$, et le contexte indique sa taille.
• Une matrice est carrée si elle a autant de lignes que de colonnes ; une matrice $n \times n$ s’appelle aussi matrice d’ordre $n$. Ses coefficients $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ forment la diagonale principale.
• Une matrice carrée est diagonale si tous ses coefficients hors de la diagonale principale sont nuls. La matrice identité d’ordre $n$, qui se note $I_n$, ou $I$ quand l’ordre est clair, est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux valent $1$.
• Une matrice carrée est triangulaire supérieure si tous les coefficients situés au-dessous de la diagonale principale sont nuls, c’est-à-dire si $a_{ij} = 0$ chaque fois que $i > j$ ; elle est triangulaire inférieure si ceux qui sont situés au-dessus sont nuls.
• Une matrice carrée est symétrique si $a_{ij} = a_{ji}$ pour toutes les valeurs des numéros de ligne et de colonne : la diagonale principale est un axe de symétrie du tableau.

Par exemple, des quatre matrices ci-dessous, la première est l’identité d’ordre $3$, la deuxième est diagonale, la troisième est triangulaire supérieure et la quatrième est symétrique.