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Topos Uranos
Français

Équations polynomiales complexes : formules de Cardan et Ferrari

Résumé

Cette leçon étudie les équations polynomiales dans le corps des nombres complexes. Du théorème fondamental de l’algèbre, qui est admis, elle déduit par récurrence que tout polynôme de degré nn est le produit de nn facteurs du premier degré et possède exactement nn racines comptées avec leur multiplicité ; elle démontre les relations de Viète pour un degré quelconque et les formules des sommes des carrés et des cubes des racines. Elle résout les équations binômes, trinômes et réciproques en les ramenant à d’autres de degré moindre. Elle ramène ensuite l’équation du troisième degré à la forme réduite, établit la formule de Cardano, classe les racines au moyen du discriminant, montre avec l’équation de Bombelli pourquoi la formule a obligé à accepter les nombres complexes alors même que toutes les racines sont réelles, et résout ce cas avec la formule de l’angle triple. Enfin, elle ramène l’équation du quatrième degré à la forme réduite, démontre la méthode de Ferrari, qui la décompose en deux équations du second degré au moyen d’une racine de sa résolvante cubique, et explique pourquoi il n’existe pas de formule semblable à partir du degré cinq.

Objectifs d’apprentissage

  1. Déduire du théorème fondamental de l’algèbre la factorisation de tout polynôme complexe en facteurs du premier degré, et relier les racines aux coefficients au moyen des relations de Viète et des sommes de puissances.
  2. Résoudre des équations binômes, trinômes et réciproques en les ramenant à des équations de degré moindre.
  3. Ramener l’équation du troisième degré à la forme réduite, établir la formule de Cardano et classer les racines d’une cubique réelle selon le signe de son discriminant.
  4. Résoudre par la méthode trigonométrique une cubique ayant trois racines réelles, et expliquer avec l’exemple de Bombelli le rôle historique de la formule de Cardano dans l’acceptation des nombres complexes.
  5. Résoudre des équations du quatrième degré par la méthode de Ferrari, en les ramenant à la forme réduite et en les factorisant au moyen d’une racine de la résolvante cubique.

Le théorème fondamental de l’algèbre dans les complexes

Dans la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les racines des polynômes de degré supérieur, on a énoncé le théorème fondamental de l’algèbre, esquissé sa conséquence selon laquelle tout polynôme complexe de degré nn est le produit de nn facteurs du premier degré, et déduit de lui que tout polynôme réel est un produit de facteurs du premier degré et de facteurs du second degré irréductibles ; on donne ici la démonstration complète, par récurrence, de cette factorisation dans les complexes. Cette leçon adopte le point de vue des complexes : les coefficients et les racines peuvent être complexes, et la question n’est plus de savoir si une équation a une solution, mais de trouver toutes ses solutions. Un polynôme à coefficients complexes de degré nn est une expression P(z)=anzn+⋯+a1z+a0P(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0, avec aka_k complexes et an≠0a_n \neq 0 ; un complexe z0z_0 est une racine de PP lorsque P(z0)=0P(z_0) = 0.

Les démonstrations de la division euclidienne des polynômes, du théorème du reste et du théorème du facteur, faites dans la leçon du cours I sur l’algèbre des polynômes, n’utilisent que les propriétés de l’addition, de la multiplication et de la division des coefficients, que C\mathbb{C} partage avec R\mathbb{R} d’après la leçon sur les nombres complexes. Elles valent donc sans changement pour les polynômes à coefficients complexes, et il en va de même du lemme des racines distinctes et du principe d’identification, de cette même leçon (deux polynômes qui prennent la même valeur en tout complexe ont les mêmes coefficients), ainsi que de la définition de la multiplicité d’une racine, de la leçon sur les racines des polynômes de degré supérieur. Ce qui distingue C\mathbb{C}, c’est le théorème énoncé ci-dessous.

Fait admis (théorème fondamental de l’algèbre). Tout polynôme de degré n≥1n \geq 1 à coefficients complexes possède au moins une racine complexe.

Comme dans la leçon du cours I sur les racines des polynômes, ce théorème est admis sans démonstration : toutes ses démonstrations connues utilisent des outils qui dépassent ce cours, comme la continuité des fonctions de deux variables réelles ou l’étude des fonctions d’une variable complexe. Carl Friedrich Gauss en donna en 1799 la première démonstration presque complète, après les tentatives de d’Alembert et d’Euler. Sa conséquence principale est que les équations polynomiales n’obligent pas à agrandir C\mathbb{C}, comme x2=2x^2 = 2 a obligé à agrandir Q\mathbb{Q} et x2=−1x^2 = -1 à agrandir R\mathbb{R} : tout polynôme complexe se décompose complètement dans C\mathbb{C}.

ThéorèmeFactorisation dans les complexes

Tout polynôme PP de degré n≥1n \geq 1 à coefficients complexes et de coefficient dominant ana_n est le produit de ana_n par nn facteurs du premier degré, comme dans la formule ci-dessous, où z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n sont des complexes non nécessairement distincts. Les racines de PP sont exactement les nombres zkz_k, et chacune figure dans la liste autant de fois que l’indique sa multiplicité ; par conséquent, PP possède exactement nn racines complexes comptées avec leur multiplicité.

P(z)=an(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn)P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n)

La démonstration procède par récurrence sur le degré, comme dans la leçon du cours I sur les sommes, les suites arithmétiques et géométriques et la récurrence. La figure la suit dans le plan complexe avec le polynôme P(z)=z5+2z4+2z3−4z2−11z+10P(z) = z^5 + 2z^4 + 2z^3 - 4z^2 - 11z + 10, dont les racines sont 11, qui est double, −2-2, −1+2i-1 + 2i et −1−2i-1 - 2i.

Démonstration

  1. a1z+a0=a1(z+a0a1)\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}

    Initialisation : un polynôme de degré 11 est son coefficient dominant multiplié par un unique facteur du premier degré, dont la racine est −a0a1-\frac{a_0}{a_1}.

  2. P(z1)=0→P(z)=(z−z1)C(z),P(z)=(z−1)(z4+3z3+5z2+z−10)P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)

    Supposons le théorème vrai pour les polynômes de degré nn, et soit PP de degré n+1n + 1. D’après le théorème fondamental de l’algèbre, PP possède une racine z1z_1 ; d’après le théorème du facteur, PP est le produit de z−z1z - z_1 par un quotient CC de degré nn, dont le coefficient dominant est celui de PP, comme on le voit en comparant les termes de plus haut degré. Dans l’exemple, z1=1z_1 = 1, et la division synthétique donne le quotient de la formule.

  3. P(z)=(z−z1)an+1(z−z2)⋯(z−zn+1)=an+1(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn+1)P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}

    D’après l’hypothèse de récurrence, CC est son coefficient dominant an+1a_{n + 1} multiplié par nn facteurs du premier degré ; en substituant, PP s’écrit comme on le voulait. D’après le principe de récurrence, la factorisation existe pour tout degré n≥1n \geq 1.

  4. P(w)=an(w−z1)⋯(w−zn)=0↔w=z1∨⋯∨w=znP(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}

    Un produit de complexes n’est nul que si l’un de ses facteurs l’est, et an≠0a_n \neq 0 : un nombre ww est racine de PP si et seulement s’il coïncide avec l’un des zkz_k. Il n’y a pas d’autres racines que celles de la liste.

  5. P(z)=an(z−r1)k1⋯(z−rs)ks,k1+k2+⋯+ks=nP(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}

    Nous regroupons les facteurs égaux : si r1,…,rsr_1, \ldots, r_s sont les racines distinctes et si rjr_j figure kjk_j fois, le quotient de PP par (z−r1)k1(z - r_1)^{k_1} ne s’annule pas en r1r_1, car c’est un produit de facteurs non nuls ; ainsi k1k_1 est la multiplicité de r1r_1, et il en va de même des autres. Les multiplicités ont pour somme nn ; dans l’exemple, 2+1+1+1=52 + 1 + 1 + 1 = 5.

Comme la multiplicité de chaque racine est bien définie, d’après la leçon du cours I sur les racines des polynômes, la liste z1,…,znz_1, \ldots, z_n est déterminée par PP, à l’ordre près : la factorisation est unique. Désormais, les racines d’un polynôme de degré nn désignent cette liste de nn nombres, avec les répétitions qu’indique la multiplicité. Si les coefficients sont réels, les racines non réelles se présentent par paires conjuguées, d’après le théorème des racines conjuguées de la leçon sur les nombres complexes ; en multipliant les deux facteurs de chaque paire, on obtient un facteur réel du second degré, et l’on retrouve ainsi la factorisation dans les réels de la leçon sur les racines des polynômes.