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Topos Uranos
Español

Ecuaciones polinómicas en los complejos: las fórmulas de Cardano y de Ferrari

Resumen

Esta clase estudia las ecuaciones polinómicas en el campo de los números complejos. Del teorema fundamental del álgebra, que se admite, deduce por inducción que todo polinomio de grado nn es producto de nn factores lineales y tiene exactamente nn raíces contadas con su multiplicidad; demuestra las relaciones de Vieta para cualquier grado y las fórmulas de las sumas de los cuadrados y de los cubos de las raíces. Resuelve las ecuaciones binómicas, trinómicas y recíprocas reduciéndolas a otras de menor grado. Por último, reduce la ecuación de tercer grado a la forma deprimida, deduce la fórmula de Cardano, clasifica las raíces mediante el discriminante, muestra con la ecuación de Bombelli por qué la fórmula obligó a aceptar los números complejos aun cuando todas las raíces son reales, y resuelve ese caso con la fórmula del ángulo triple. Finalmente, reduce la ecuación de cuarto grado a la forma deprimida, demuestra el método de Ferrari, que la descompone en dos ecuaciones de segundo grado mediante una raíz de su resolvente cúbica, y explica por qué no existe una fórmula semejante a partir del grado cinco.

Objetivos de aprendizaje

  1. Deducir del teorema fundamental del álgebra la factorización de todo polinomio complejo en factores lineales, y relacionar las raíces con los coeficientes mediante las relaciones de Vieta y las sumas de potencias.
  2. Resolver ecuaciones binómicas, trinómicas y recíprocas reduciéndolas a ecuaciones de menor grado.
  3. Reducir la ecuación de tercer grado a la forma deprimida, deducir la fórmula de Cardano y clasificar las raíces de una cúbica real según el signo de su discriminante.
  4. Resolver por el método trigonométrico una cúbica con tres raíces reales, y explicar con el ejemplo de Bombelli el papel histórico de la fórmula de Cardano en la aceptación de los números complejos.
  5. Resolver ecuaciones de cuarto grado por el método de Ferrari, reduciéndolas a la forma deprimida y factorizándolas mediante una raíz de la resolvente cúbica.

El teorema fundamental del álgebra en los complejos

En la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre las raíces de los polinomios de grado superior se enunció el teorema fundamental del álgebra, se esbozó su consecuencia de que todo polinomio complejo de grado nn es producto de nn factores lineales y se dedujo de él que todo polinomio real es producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles; aquí se da la demostración completa, por inducción, de aquella factorización en los complejos. Esta clase adopta el punto de vista de los complejos: los coeficientes y las raíces pueden ser complejos, y la pregunta deja de ser si una ecuación tiene solución para convertirse en cómo hallar todas sus soluciones. Un polinomio con coeficientes complejos de grado nn es una expresión P(z)=anzn+⋯+a1z+a0P(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0, con aka_k complejos y an≠0a_n \neq 0; un complejo z0z_0 es una raíz de PP cuando P(z0)=0P(z_0) = 0.

Las demostraciones del algoritmo de la división, del teorema del resto y del teorema del factor, hechas en la clase del curso I sobre el álgebra de polinomios, solo usan las propiedades de la suma, del producto y de la división de los coeficientes, que C\mathbb{C} comparte con R\mathbb{R} según la clase sobre los números complejos. Por tanto, valen sin cambios para polinomios con coeficientes complejos, y lo mismo ocurre con el lema de las raíces distintas y con el principio de identidad, de esa misma clase (dos polinomios que toman el mismo valor en todo complejo tienen los mismos coeficientes), y con la definición de la multiplicidad de una raíz, de la clase sobre las raíces de polinomios. Lo que distingue a C\mathbb{C} es el teorema siguiente.

Hecho admitido (teorema fundamental del álgebra). Todo polinomio de grado n≥1n \geq 1 con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

Como en la clase del curso I sobre las raíces de polinomios, este teorema se admite sin demostración: todas sus demostraciones conocidas usan herramientas que exceden este curso, como la continuidad de las funciones de dos variables reales o el estudio de las funciones de variable compleja. Carl Friedrich Gauss dio en 1799 la primera demostración casi completa, después de los intentos de d'Alembert y de Euler. Su consecuencia principal es que las ecuaciones polinómicas no obligan a ampliar C\mathbb{C}, como x2=2x^2 = 2 obligó a ampliar Q\mathbb{Q} y x2=−1x^2 = -1 a ampliar R\mathbb{R}: todo polinomio complejo se descompone por completo en C\mathbb{C}.

TeoremaFactorización en los complejos

Todo polinomio PP de grado n≥1n \geq 1 con coeficientes complejos y coeficiente principal ana_n es el producto de ana_n por nn factores lineales, como en la fórmula siguiente, con z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n complejos no necesariamente distintos. Las raíces de PP son exactamente los números zkz_k, y cada una figura en la lista tantas veces como indica su multiplicidad; por tanto, PP tiene exactamente nn raíces complejas contadas con su multiplicidad.

P(z)=an(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn)P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n)

La demostración procede por inducción sobre el grado, como en la clase del curso I sobre sumatorias, progresiones e inducción. La figura la sigue en el plano complejo con el polinomio P(z)=z5+2z4+2z3−4z2−11z+10P(z) = z^5 + 2z^4 + 2z^3 - 4z^2 - 11z + 10, cuyas raíces son 11, que es doble, −2-2, −1+2i-1 + 2i y −1−2i-1 - 2i.

Demostración

  1. a1z+a0=a1(z+a0a1)\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}

    Caso inicial: un polinomio de grado 11 es su coeficiente principal por un único factor lineal, cuya raíz es −a0a1-\frac{a_0}{a_1}.

  2. P(z1)=0→P(z)=(z−z1)C(z),P(z)=(z−1)(z4+3z3+5z2+z−10)P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)

    Supongamos el teorema cierto para los polinomios de grado nn, y sea PP de grado n+1n + 1. Por el teorema fundamental del álgebra, PP tiene una raíz z1z_1; por el teorema del factor, PP es el producto de z−z1z - z_1 por un cociente CC de grado nn, cuyo coeficiente principal es el de PP, como se ve al comparar los términos de mayor grado. En el ejemplo, z1=1z_1 = 1, y la división sintética da el cociente de la fórmula.

  3. P(z)=(z−z1)an+1(z−z2)⋯(z−zn+1)=an+1(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn+1)P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}

    Por la hipótesis de inducción, CC es su coeficiente principal an+1a_{n + 1} por nn factores lineales; al sustituir, PP queda escrito como se quería. Por el principio de inducción, la factorización existe para todo grado n≥1n \geq 1.

  4. P(w)=an(w−z1)⋯(w−zn)=0↔w=z1∨⋯∨w=znP(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}

    Un producto de complejos solo es nulo si lo es alguno de sus factores, y an≠0a_n \neq 0: un número ww es raíz de PP si y solo si coincide con alguno de los zkz_k. No hay más raíces que las de la lista.

  5. P(z)=an(z−r1)k1⋯(z−rs)ks,k1+k2+⋯+ks=nP(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}

    Agrupamos los factores iguales: si r1,…,rsr_1, \ldots, r_s son las raíces distintas y rjr_j figura kjk_j veces, el cociente de PP entre (z−r1)k1(z - r_1)^{k_1} no se anula en r1r_1, porque es un producto de factores no nulos; de modo que k1k_1 es la multiplicidad de r1r_1, y lo mismo ocurre con las demás. Las multiplicidades suman nn; en el ejemplo, 2+1+1+1=52 + 1 + 1 + 1 = 5.

Como la multiplicidad de cada raíz está bien definida, según la clase del curso I sobre las raíces de polinomios, la lista z1,…,znz_1, \ldots, z_n está determinada por PP, salvo el orden: la factorización es única. En adelante, las raíces de un polinomio de grado nn designan esa lista de nn números, con las repeticiones que indica la multiplicidad. Si los coeficientes son reales, las raíces no reales se presentan en pares conjugados, por el teorema de las raíces conjugadas de la clase sobre los números complejos; al multiplicar los dos factores de cada par se obtiene un factor cuadrático real, y se recupera así la factorización en los reales de la clase sobre las raíces de polinomios.