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Topos Uranos
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Geometría con números complejos

Resumen

Esta clase emplea los números complejos como coordenadas del plano y traduce a operaciones algebraicas las nociones de la geometría elemental: la distancia es el módulo de una diferencia, el punto medio y el baricentro son promedios, y los movimientos del plano son fórmulas breves. Demuestra que R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) es el giro de centro cc y ángulo φ\varphi, que la reflexión en una recta que pasa por el origen con ángulo α\alpha es S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z} y que la composición de dos reflexiones es un giro. Caracteriza la alineación y la perpendicularidad mediante un cociente, define la orientación de un triángulo por el signo de la parte imaginaria de ese cociente, demuestra que tres puntos forman un triángulo equilátero si y solo si z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0, con ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}, y prueba que los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos guardan una razón constante forman una circunferencia, la de Apolonio. Los problemas culminan con el teorema de Napoleón.

Objetivos de aprendizaje

  1. Representar puntos, distancias, puntos medios y baricentros con números complejos, y expresar traslaciones, giros, homotecias y reflexiones como funciones de una variable compleja.
  2. Demostrar las fórmulas del giro alrededor de un punto y de la reflexión en una recta, y estudiar las composiciones de reflexiones y de giros.
  3. Decidir la alineación, la perpendicularidad y el ángulo de dos segmentos mediante el cociente de dos diferencias, determinar la orientación de un triángulo por el signo de la parte imaginaria de ese cociente y caracterizar el triángulo equilátero con la raíz cúbica de la unidad ω\omega.
  4. Describir circunferencias con el módulo, demostrar el teorema de Apolonio y emplear estas herramientas en problemas clásicos, como los de Napoleón y de Van Aubel.

Puntos, distancias y centros

Desde la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre las operaciones con números complejos, cada complejo z=a+biz = a + bi se identifica con el punto (a,b)(a, b) del plano, y la diferencia z−wz - w es el vector que va del punto ww al punto zz; por el teorema de Pitágoras, la distancia entre ambos puntos es ∣z−w∣\abs{z - w}. En esta clase el punto de vista se invierte: no se estudian los números a través del plano, sino el plano a través de los números. Una figura queda descrita por los complejos de sus puntos, y una propiedad geométrica, por una igualdad entre ellos.

La herramienta principal es la exponencial compleja de la clase sobre la exponencial compleja y la fórmula de Euler. Para todo real φ\varphi, el número eiφe^{i\varphi} es el punto de la circunferencia de radio 11 cuyo argumento es φ\varphi, y cumple las propiedades siguientes; la última se debe a que cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi y sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi:

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

Según la clase sobre la forma polar de los números complejos, todo complejo no nulo se escribe z=reiθz = re^{i\theta}, con r=∣z∣r = \abs{z} y θ\theta un argumento de zz; al multiplicar dos complejos se multiplican los módulos y se suman los argumentos, y al dividirlos se dividen los módulos y se restan los argumentos. En particular, multiplicar zz por eiφe^{i\varphi} conserva su módulo y aumenta su argumento en φ\varphi: hace girar el punto zz un ángulo φ\varphi alrededor del origen, en sentido contrario al de las agujas del reloj si φ>0\varphi > 0. El producto por i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}}, estudiado en la clase del curso I sobre los números complejos como un giro de un cuarto de vuelta, es el caso φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2}.

Los puntos de un segmento también se describen con complejos. Según la clase del curso I sobre vectores y ecuaciones paramétricas de la recta, los puntos de la recta que pasa por z1z_1 y z2z_2 son los de la forma z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1), con tt real, y los del segmento que los une corresponden a 0≤t≤10 \leq t \leq 1.

LemaPunto medio y baricentro en los complejos

El punto medio del segmento de extremos z1z_1 y z2z_2 es la semisuma m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2}. Las tres medianas de un triángulo de vértices z1z_1, z2z_2 y z3z_3 pasan por el punto g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}, llamado baricentro, que está en cada mediana a dos tercios del camino que va del vértice al punto medio del lado opuesto. El lema se demostró con vectores en el problema resuelto sobre las medianas de la clase del curso I sobre vectores y ecuaciones paramétricas de la recta; la demostración siguiente lo traduce a los complejos. La figura la sigue con los vértices z1=−2−iz_1 = -2 - i, z2=3−iz_2 = 3 - i y z3=2iz_3 = 2i.

Demostración

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    El punto del segmento que corresponde a t=12t = \frac{1}{2} es la semisuma de los extremos.

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    Está a la misma distancia de ambos extremos, porque los dos vectores que lo unen con ellos son iguales: es el punto medio.

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    En la mediana que une z3z_3 con el punto medio del lado opuesto, el punto que corresponde a t=23t = \frac{2}{3} es el siguiente.

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    La expresión obtenida es simétrica en los tres vértices; si esto es así, el mismo cálculo con cualquiera de las otras dos medianas da el mismo punto, y las tres pasan por gg. Con los vértices de la figura, g=13g = \frac{1}{3}.

Así, el punto medio es el promedio de dos complejos, y el baricentro, el de tres.