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Topos Uranos
Español

La forma polar de los números complejos

Resumen

Esta clase escribe cada número complejo no nulo mediante su módulo y un argumento, el ángulo polar del punto que lo representa, y obtiene así su forma polar o trigonométrica, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right). Describe todos los argumentos de un complejo, define el argumento principal y lo calcula con el arcotangente corregido según el cuadrante, y demuestra cuándo dos formas polares representan el mismo número. Con las fórmulas de suma y diferencia demuestra el teorema central: al multiplicar dos complejos sus módulos se multiplican y sus argumentos se suman, y al dividirlos los módulos se dividen y los argumentos se restan; de él se deducen el argumento del conjugado y el del inverso, y se advierte que el argumento principal de un producto solo es la suma de los argumentos principales salvo una vuelta. Por último, interpreta el producto por un complejo como un giro compuesto con una dilatación, que generaliza el cuarto de vuelta del producto por ii, y demuestra que los triángulos de vértices 00, 11, ww y 00, zz, zwzw son semejantes.

Objetivos de aprendizaje

  1. Escribir un complejo no nulo en forma polar, calcular su argumento principal según el cuadrante y decidir cuándo dos formas polares representan el mismo número.
  2. Demostrar con las fórmulas de suma y diferencia que en un producto los módulos se multiplican y los argumentos se suman, y deducir las reglas del cociente, del conjugado y del inverso.
  3. Interpretar el producto por un complejo como un giro compuesto con una dilatación, y demostrar la semejanza de los triángulos de vértices 00, 11, ww y 00, zz, zwzw.
  4. Aplicar la forma polar a valores exactos de razones trigonométricas, a identidades entre arcotangentes, a ecuaciones con zz y su conjugado y a lugares geométricos definidos por argumentos.

La forma polar de un número complejo

En la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre los números complejos se representó cada complejo z=a+biz = a + bi como el punto (a,b)(a, b) del plano, se definió su módulo ∣z∣\abs{z} como la distancia de ese punto al origen y se demostró que el producto por ii gira cada punto un cuarto de vuelta. Quedó pendiente el producto por un complejo cualquiera, cuyo efecto no se lee en la forma binómica: la parte real de (a+bi)(c+di)(a + bi)(c + di) es ac−bdac - bd, expresión que no revela ninguna geometría. Ahora bien, un punto del plano puede nombrarse también por su distancia al origen y por la dirección en que se lo ve desde él, como en la clase sobre las coordenadas polares. Si esto es así para los puntos, lo es para los complejos; y en esa segunda descripción, como se demostrará, el producto se vuelve transparente.

Sea z=a+biz = a + bi un complejo no nulo. Un argumento de zz es todo número real θ\theta tal que a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta y b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta. Si r=∣z∣r = \abs{z} y θ\theta es un argumento de zz, la expresión siguiente es una forma polar, o forma trigonométrica, de zz.
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

Todo complejo no nulo tiene argumentos. En efecto, por el teorema del paso de las coordenadas cartesianas a las polares, demostrado en la clase sobre las coordenadas polares, el punto (a,b)(a, b), distinto del polo, tiene una representación polar (r,θ)(r, \theta) con r>0r > 0, y su radio es r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}, es decir, el módulo de zz; las igualdades a=rcos⁡θa = r \cos \theta y b=rsin⁡θb = r \sin \theta dicen entonces que el ángulo polar θ\theta es un argumento de zz. Un argumento de zz es, por tanto, el ángulo que forma con el semieje real positivo el segmento que une el origen con zz, medido en radianes. El cero, en cambio, no tiene argumento: la igualdad 0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) se cumple para todo θ\theta, y ningún ángulo lo distingue. Para designar cualquiera de los argumentos de zz se escribe arg⁡z\arg z, que se lee «argumento de zz».

El teorema siguiente dice que el módulo y el argumento, a diferencia de las coordenadas polares de radio negativo, determinan el complejo sin ambigüedad, salvo vueltas completas. De él depende todo cálculo con formas polares: para demostrar que dos complejos son iguales bastará comparar sus módulos y sus argumentos.

TeoremaIgualdad en forma polar

Sean rr, r1r_1 y r2r_2 reales positivos, y θ\theta, θ1\theta_1 y θ2\theta_2 números reales. El complejo r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) tiene módulo rr y argumento θ\theta. Además, los complejos r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) y r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) son iguales si y solo si r1=r2r_1 = r_2 y θ1−θ2=2kπ\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi para algún entero kk. Se usan la identidad pitagórica, la periodicidad del seno y del coseno y la caracterización de los ángulos coterminales de la clase sobre los ángulos y su medida: dos ángulos dan el mismo punto de la circunferencia unitaria exactamente cuando difieren en un múltiplo entero de 2π2\pi.

Demostración

  1. ∣z∣2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2\abs{z}^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2}

    Sea z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), con r>0r > 0. Su parte real es rcos⁡θr \cos \theta y su parte imaginaria, rsin⁡θr \sin \theta; por la identidad pitagórica, el cuadrado de su módulo es r2r^2.

  2. ∣z∣=r,rcos⁡θ=∣z∣cos⁡θ,rsin⁡θ=∣z∣sin⁡θ\dato{m}{\resaltar{\abs{z} = r}}, \qquad r \cos \theta = \resaltar{\abs{z} \cos \theta}, \qquad r \sin \theta = \abs{z} \sin \theta

    Los números ∣z∣\abs{z} y rr son positivos y tienen el mismo cuadrado; por tanto, son iguales, y las partes de zz son las que exige la definición: θ\theta es un argumento de zz. Toda expresión de esta forma con r>0r > 0 es, por tanto, una forma polar.

  3. r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)→r1=r2r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \rightarrow \dato{r}{\resaltar{r_1 = r_2}}

    Si los complejos de módulo r1r_1 y r2r_2 son iguales, tienen el mismo módulo, y por el paso anterior sus módulos son r1r_1 y r2r_2.

  4. cos⁡θ1=cos⁡θ2∧sin⁡θ1=sin⁡θ2↔θ1−θ2=2kπ\resaltar{\cos \theta_1 = \cos \theta_2 \wedge \sin \theta_1 = \sin \theta_2} \leftrightarrow \resaltar{\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi}

    Igualamos las partes reales y las imaginarias y dividimos entre r1=r2r_1 = r_2, que no es nulo: los ángulos θ1\theta_1 y θ2\theta_2 dan el mismo punto de la circunferencia unitaria, de modo que son coterminales.

  5. cos⁡(θ2+2kπ)=cos⁡θ2,sin⁡(θ2+2kπ)=sin⁡θ2\cos(\resaltar{\theta_2 + 2k\pi}) = \resaltar{\cos \theta_2}, \qquad \sin(\theta_2 + 2k\pi) = \sin \theta_2

    Recíprocamente, si r1=r2r_1 = r_2 y θ1=θ2+2kπ\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi, por la periodicidad del seno y del coseno las dos expresiones tienen las mismas partes, y los complejos son iguales.

De ello se sigue que, si θ\theta es un argumento de zz, los argumentos de zz son exactamente los números θ+2kπ\theta + 2k\pi, con kk entero: dos argumentos de un mismo complejo difieren siempre en vueltas completas. La igualdad arg⁡z=θ\arg z = \theta significa, por tanto, que θ\theta es uno de los argumentos de zz, y no fija los demás. Conviene advertir, además, que el teorema exige r>0r > 0: la expresión −2(cos⁡π3+isin⁡π3)-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) no es una forma polar, porque −2-2 no es un módulo; como −cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos \theta = \cos(\theta + \pi) y −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin \theta = \sin(\theta + \pi), el mismo número se escribe en forma polar como 2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right).

El argumento principal

Entre los argumentos de un complejo no nulo hay exactamente uno en el intervalo (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, porque ese intervalo tiene longitud 2π2\pi y contiene un único representante de cada familia θ+2kπ\theta + 2k\pi. Ese argumento se llama argumento principal de zz, se escribe Arg⁡z\operatorname{Arg} z y se lee «argumento principal de zz». Por el teorema de la clase sobre las coordenadas polares, con aa y bb en el papel de xx e yy, se calcula con el arcotangente de la clase sobre las funciones trigonométricas inversas, que solo ve los cuadrantes primero y cuarto y debe corregirse en los otros dos:

Arg⁡z={arctan⁡baa>0arctan⁡ba+πa<0∧b≥0arctan⁡ba−πa<0∧b<0π2a=0∧b>0−π2a=0∧b<0\operatorname{Arg} z = \begin{cases} \arctan \frac{b}{a} & a > 0 \\ \arctan \frac{b}{a} + \pi & a < 0 \wedge b \geq 0 \\ \arctan \frac{b}{a} - \pi & a < 0 \wedge b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b < 0 \end{cases}
EjemploLa forma polar de un complejo del segundo cuadrante

Escribimos en forma polar el complejo z=−3+iz = -\sqrt{3} + i y describimos todos sus argumentos. La figura sigue el cálculo en el plano complejo.

Demostración

  1. ∣z∣=(−3)2+12=4=2\abs{z} = \sqrt{\resaltar{\left( -\sqrt{3} \right)^2 + 1^2}} = \sqrt{4} = \dato{m}{\resaltar{2}}

    El módulo es la distancia del punto (−3,1)\left( -\sqrt{3}, 1 \right) al origen.

  2. arctan⁡1−3=arctan⁡(−33)=−π6\arctan \frac{1}{-\sqrt{3}} = \resaltar{\arctan\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} = \dato{a}{\resaltar{-\frac{\pi}{6}}}

    El arcotangente del cociente entre la parte imaginaria y la parte real da un ángulo del cuarto cuadrante: es el argumento del punto opuesto, 3−i\sqrt{3} - i, y no el de zz.

  3. Arg⁡z=−π6+π=5π6\operatorname{Arg} z = \resaltar{-\frac{\pi}{6} + \pi} = \dato{t}{\resaltar{\frac{5\pi}{6}}}

    Como la parte real es negativa y la imaginaria es positiva, el punto está en el segundo cuadrante, y la fórmula suma π\pi.

  4. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+12i)=−3+iz = 2\left( \resaltar{\cos \frac{5\pi}{6}} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( \resaltar{-\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i

    Comprobamos la forma polar con los valores del coseno y del seno de 5π6\frac{5\pi}{6}, que se obtienen de los de π6\frac{\pi}{6} por la simetría del suplementario.

  5. arg⁡z=5π6+2kπ,k∈Z\arg z = \resaltar{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}, \qquad k \in \mathbb{Z}

    Los demás argumentos difieren del principal en vueltas completas: por ejemplo, −7π6-\frac{7\pi}{6} y 17π6\frac{17\pi}{6} también son argumentos de zz, pero no están en (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}.

Los complejos situados sobre los ejes tienen formas polares que conviene reconocer de inmediato. Los reales positivos tienen argumento principal 00, y los negativos, π\pi; los imaginarios puros bibi con b>0b > 0 tienen argumento principal π2\frac{\pi}{2}, y con b<0b < 0, −π2-\frac{\pi}{2}. Así, por ejemplo:

−1=cos⁡π+isin⁡π,i=cos⁡π2+isin⁡π2,−2i=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))-1 = \cos \pi + i \sin \pi, \qquad i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}, \qquad -2i = 2\left( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

El intervalo (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} es un convenio, el mismo de la clase sobre las coordenadas polares; otros textos usan [0,2π)\ico{0}{2\pi}. Lo que no depende del convenio es el conjunto de todos los argumentos, y por eso los teoremas de esta clase se enuncian con argumentos cualesquiera, salvo cuando se diga expresamente lo contrario.