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La fórmula de De Moivre y las potencias de complejos

Resumen

Esta clase demuestra la fórmula de De Moivre, según la cual la potencia de exponente entero nn de un complejo de módulo 11 y argumento θ\theta tiene argumento nθn\theta, y la aplica en cinco direcciones. Calcula potencias de exponente elevado sin desarrollar productos y decide cuándo una potencia es real o vale 11; recupera las fórmulas de los ángulos múltiples comparando la fórmula con el binomio de Newton; expresa las potencias del coseno y del seno como sumas de cosenos de ángulos múltiples, operación que se llama linealización; calcula las sumas de senos y de cosenos en progresión aritmética como una suma geométrica de complejos, y obtiene sumas de coeficientes binomiales como partes real e imaginaria de las potencias de 1+i1 + i.

Objetivos de aprendizaje

  1. Demostrar la fórmula de De Moivre para todo exponente entero e interpretar geométricamente las potencias de un complejo.
  2. Calcular potencias de complejos mediante la forma polar y determinar cuándo son reales o iguales a 11.
  3. Deducir las fórmulas de los ángulos múltiples y linealizar las potencias del seno y del coseno.
  4. Calcular sumas trigonométricas y sumas de coeficientes binomiales como partes real e imaginaria de sumas y de potencias de complejos.

La fórmula de De Moivre

En la clase sobre la forma polar de los números complejos se escribió todo complejo no nulo como z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right), donde r=∣z∣r = \abs{z} es su módulo y θ\theta es uno de sus argumentos, y se demostró, con las fórmulas del seno y del coseno de una suma, que en un producto los módulos se multiplican y los argumentos se suman. Para dos complejos de módulo 11, ese teorema del producto se escribe así:

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Si los dos factores son iguales, el producto es un cuadrado, de argumento 2θ2\theta; si se multiplica otra vez por el mismo factor, resulta un cubo, de argumento 3θ3\theta. Al repetir el producto, el argumento se suma consigo mismo tantas veces como factores hay, de modo que elevar a una potencia se reduce a multiplicar un ángulo por un entero. Este hecho, que Abraham de Moivre empleó en forma equivalente a comienzos del siglo XVIII y que Euler escribió en su forma actual en 1748, es el objeto de la clase.

TeoremaFórmula de De Moivre

Para todo número real θ\theta y todo entero nn se cumple la igualdad siguiente.

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

La demostración tiene tres partes: el exponente 00, los exponentes naturales, por inducción, y los exponentes negativos, mediante el inverso. Se usa el principio de inducción en la forma de la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre sumatorias, progresiones e inducción, y las potencias de exponente entero de la clase sobre los números complejos, donde z0=1z^0 = 1 y z−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m}. La figura sigue la demostración sobre la circunferencia de radio 11, con un ángulo θ\theta pequeño y n=3n = 3.

Demostración

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    Para n=0n = 0, el primer miembro vale 11 por definición, y el segundo también, porque cos⁡0=1\cos 0 = 1 y sin⁡0=0\sin 0 = 0.

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    Para n=1n = 1, la igualdad es evidente. Hipótesis de inducción: suponemos que se cumple para un natural nn.

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    La potencia siguiente es el producto de la anterior por la base, y la anterior se sustituye por la hipótesis de inducción.

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    Al desarrollar el producto, la parte real y la parte imaginaria son los segundos miembros de las fórmulas del coseno y del seno de una suma, de la clase sobre las fórmulas de suma y diferencia: es el teorema del producto y del cociente en forma polar. Se obtiene la fórmula para n+1n + 1, y por el principio de inducción vale para todo natural.

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    Por el teorema del producto, cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta multiplicado por cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) da cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1: este último número es su inverso. Como el coseno es par y el seno es impar, el inverso es el conjugado.

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    Si n=−mn = -m, con mm natural, la potencia de exponente −m-m es la potencia mm-ésima del inverso, por las leyes de las potencias. Se aplica el caso natural al ángulo −θ-\theta.

La fórmula se extiende a todos los complejos no nulos, porque la potencia de un producto es el producto de las potencias, también para exponentes negativos: el inverso de un producto es el producto de los inversos.

TeoremaPotencias en forma polar

Si z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) es un complejo no nulo, entonces para todo entero nn se cumple zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right): el módulo de znz^n es rnr^n, y nθn\theta es un argumento de znz^n. Se separa el factor real del factor de módulo 11 y se aplica a este la fórmula de De Moivre. La figura sigue la demostración con un complejo de módulo algo mayor que 11 y n=3n = 3, y termina con z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) y sus tres primeras potencias.

Demostración

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    La potencia de un producto es el producto de las potencias: para exponentes naturales, por la conmutatividad y la asociatividad del producto, y para exponentes negativos porque el inverso de un producto es el producto de los inversos.

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    Al segundo factor se le aplica la fórmula de De Moivre, válida para todo entero nn.

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    Como r>0r > 0, la potencia rnr^n es un real positivo, también para nn negativo. Por el teorema de igualdad en forma polar, la expresión obtenida es una forma polar de znz^n: su módulo es rnr^n, y nθn\theta es uno de sus argumentos.

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    Con z=3+iz = \sqrt{3} + i, las potencias tienen módulos 22, 44 y 88 y argumentos π6\frac{\pi}{6}, π3\frac{\pi}{3} y π2\frac{\pi}{2}: el cubo es un imaginario puro.

De ello se sigue que las potencias z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots tienen módulos en progresión geométrica de razón rr y argumentos en progresión aritmética de diferencia θ\theta, en el sentido de la clase del curso I sobre las sumatorias y las progresiones. Si r=1r = 1, todas están en la circunferencia de radio 11, cada una girada un ángulo θ\theta respecto de la anterior; si r>1r > 1, giran y se alejan del origen; si r<1r < 1, giran y se acercan a él. Además, como zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k y el producto por zz es un giro de ángulo θ\theta compuesto con una dilatación de razón rr, todos los triángulos de vértices 00, zkz^k y zk+1z^{k + 1} son semejantes al de vértices 00, 11 y zz, como se demostró en la clase sobre la forma polar.

EjemploLa espiral de las potencias

Sea zz el complejo de módulo 1110\frac{11}{10}, algo mayor que 11, y argumento π4\frac{\pi}{4}. Calculamos algunas de sus potencias hasta la octava y describimos la curva en que se sitúan.

Demostración

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    En forma polar y en forma binómica, el número es el siguiente.

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    Por el teorema de las potencias en forma polar, el cuadrado tiene argumento π2\frac{\pi}{2}: es un imaginario puro.

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    La cuarta potencia tiene argumento π\pi: es un real negativo.

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    La octava potencia tiene argumento 2π2\pi: después de una vuelta completa vuelve al semieje real positivo, a una distancia del origen algo mayor que 22.

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    La distancia entre dos potencias consecutivas también crece en progresión geométrica de razón 1110\frac{11}{10}, por el teorema del módulo del producto. Los puntos están en la curva que en coordenadas polares, estudiadas en la clase sobre coordenadas polares y curvas polares, tiene por ecuación r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}}: una espiral, llamada logarítmica, que corta a cada recta que pasa por el origen siempre con el mismo ángulo.