Saltar al contenido
Topos Uranos
Español

Raíces n-ésimas de un complejo y raíces de la unidad

Resumen

Esta clase resuelve en los números complejos la ecuación zn=wz^n = w. Con la forma polar y la fórmula de De Moivre demuestra que todo complejo no nulo tiene exactamente nn raíces nn-ésimas, que comparten el módulo y tienen argumentos separados por 2πn\frac{2\pi}{n}, de modo que forman un polígono regular centrado en el origen. Estudia después las raíces de la unidad: son las potencias de una sola de ellas, se multiplican como se suman los restos de la división entre nn, sus potencias de exponente mm suman nn o 00 según que nn divida o no a mm, y factorizan el polinomio zn−1z^n - 1. Caracteriza con el máximo común divisor las raíces primitivas, cuyas potencias recorren todas las raíces, y obtiene, agrupando raíces conjugadas, la factorización real de xn−1x^n - 1 y de xn+1x^n + 1 en factores lineales y cuadráticos, con la que reaparece el valor de cos⁡2π5\cos \frac{2\pi}{5}.

Objetivos de aprendizaje

  1. Hallar las nn raíces nn-ésimas de un complejo no nulo con la forma polar, demostrar que son exactamente nn y describirlas como los vértices de un polígono regular.
  2. Operar con las raíces de la unidad como potencias de una de ellas, calcular las sumas de sus potencias y factorizar el polinomio zn−1z^n - 1.
  3. Decidir qué raíces de la unidad son primitivas mediante el máximo común divisor, y demostrar el criterio con la identidad de Bézout.
  4. Factorizar en los reales los polinomios xn−1x^n - 1 y xn+1x^n + 1 agrupando raíces conjugadas, y aplicar las raíces de la unidad a problemas de distancias, de valores trigonométricos y de ecuaciones.

Las raíces nn-ésimas de un complejo

En la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre los números complejos se resolvió la ecuación z3=1z^3 = 1 factorizando una diferencia de cubos, y se anunció que las raíces de índice nn de un complejo cualquiera exigirían la forma polar. El método de la factorización no se generaliza: para la ecuación z5=1+iz^5 = 1 + i no hay ningún factor a la vista. La forma polar, estudiada en la clase sobre la forma polar de los números complejos, convierte en cambio la ecuación en dos condiciones reales, una entre los módulos y otra entre los argumentos, porque, por la fórmula demostrada en la clase sobre la fórmula de De Moivre, elevar un complejo a la potencia nn eleva su módulo a nn y multiplica su argumento por nn.

Sean ww un número complejo y nn un natural. Un complejo zz es una raíz nn-ésima de ww cuando zn=wz^n = w. Las raíces segundas se llaman raíces cuadradas, y las terceras, raíces cúbicas.

El único complejo cuya potencia nn-ésima es 00 es el propio 00, porque un producto de complejos solo se anula si se anula alguno de sus factores; el caso interesante es, por tanto, w≠0w \neq 0. Se escribe entonces ww en forma polar, w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi), con R=∣w∣>0R = \abs{w} > 0 y φ\varphi uno cualquiera de sus argumentos. El símbolo Rn\sqrt[n]{R} conserva el sentido que tiene en la clase del curso I sobre potencias de exponente racional y radicales: designa la raíz principal del real positivo RR, el único real positivo cuya potencia nn-ésima es RR. El radical se reserva para la raíz principal de un real no negativo y, como en aquella clase, para la raíz real de índice impar de un real negativo, como −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2; aplicado a otro complejo, solo se usará con advertencia expresa de que designa una cualquiera de sus raíces, porque, como se verá enseguida, ninguna de sus nn raíces se distingue de las demás, y elegir una por convenio rompe las leyes de los radicales: si se llamara raíz cuadrada de −1-1 al número ii, el producto de esa raíz por sí misma sería −1-1, y no la raíz cuadrada de (−1)(−1)=1(-1)(-1) = 1.

Por último, se usa el teorema de la igualdad en forma polar, demostrado en esa misma clase: dos complejos no nulos son iguales si y solo si tienen el mismo módulo y sus argumentos difieren en un múltiplo entero de 2π2\pi.

TeoremaRaíces nn-ésimas

Sean w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi) un complejo no nulo, con R=∣w∣R = \abs{w}, y nn un natural. La ecuación zn=wz^n = w tiene exactamente nn soluciones distintas, que son los complejos zkz_k siguientes, para k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n - 1. Todas tienen módulo Rn\sqrt[n]{R}, y el argumento de cada una supera al de la anterior en 2πn\frac{2\pi}{n}.

zk=Rn(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn)z_k = \sqrt[n]{R} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right)

Se busca la solución en forma polar y se igualan las formas polares de znz^n y de ww. La figura sigue la demostración con w=−8=8(cos⁡π+isin⁡π)w = -8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi) y n=3n = 3, cuyas raíces cúbicas tienen módulo 22.

Demostración

  1. z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)→zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \rightarrow \resaltar{z^n} = \dato{m}{\resaltar{r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)}}

    Una solución no puede ser nula, porque 0n=0≠w0^n = 0 \neq w. La escribimos en forma polar, con r>0r > 0, y la elevamos a la potencia nn con la fórmula de De Moivre.

  2. zn=w↔rn=R∧nθ=φ+2kπ,k∈Z\resaltar{z^n = w} \leftrightarrow \dato{c}{\resaltar{r^n = R \wedge n\theta = \varphi + 2k\pi}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Por el teorema de la igualdad en forma polar, la ecuación zn=wz^n = w equivale a dos condiciones reales: los módulos son iguales y los argumentos difieren en un múltiplo entero de 2π2\pi.

  3. r=Rn,θk=φ+2kπn,k∈Zr = \resaltar{\sqrt[n]{R}}, \qquad \dato{t}{\theta_k = \resaltar{\frac{\varphi + 2k\pi}{n}}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    El real positivo cuya potencia nn-ésima es RR es único, la raíz principal, y el argumento queda determinado por el entero kk. Recíprocamente, todo complejo con ese módulo y ese argumento es solución, porque cumple las dos condiciones. Con w=−8w = -8 y n=3n = 3, resultan r=2r = 2 y θ=π+2kπ3\theta = \frac{\pi + 2k\pi}{3}.

  4. θqn+j=φ+2(qn+j)πn=θj+2qπ→zqn+j=zj\theta_{qn + j} = \resaltar{\frac{\varphi + 2(qn + j)\pi}{n}} = \resaltar{\theta_j + 2q\pi} \rightarrow z_{qn + j} = z_j

    Los enteros kk son infinitos, pero las soluciones no. Por la división con resto, todo entero se escribe como k=qn+jk = qn + j, con qq entero y 0≤j≤n−10 \leq j \leq n - 1; el argumento θk\theta_k excede entonces a θj\theta_j en un múltiplo entero de 2π2\pi, y las dos soluciones coinciden. En la figura, z3=z0z_3 = z_0.

  5. 0<θl−θj=2(l−j)πn<2π→zl≠zj0 < \theta_l - \theta_j = \resaltar{\frac{2(l - j)\pi}{n}} < 2\pi \rightarrow \resaltar{z_l \neq z_j}

    Las soluciones z0,z1,…,zn−1z_0, z_1, \ldots, z_{n - 1} son distintas entre sí: si 0≤j<l≤n−10 \leq j < l \leq n - 1, sus argumentos difieren en un número comprendido estrictamente entre 00 y 2π2\pi, que no es un múltiplo entero de 2π2\pi. Hay, por tanto, exactamente nn soluciones. Con w=−8w = -8, son 1+i31 + i\sqrt{3}, −2-2 y 1−i31 - i\sqrt{3}.

En la práctica, la primera raíz tiene por argumento φn\frac{\varphi}{n}, y cada una de las siguientes se obtiene sumando 2πn\frac{2\pi}{n} al argumento de la anterior. Cambiar el argumento φ\varphi de ww por otro, φ+2π\varphi + 2\pi, no cambia el conjunto de las raíces, solo su numeración: lo que antes era z1z_1 pasa a llamarse z0z_0. Para n=2n = 2, los argumentos de las dos raíces difieren en π\pi, de modo que son opuestas, z1=−z0z_1 = -z_0; es el doble signo que aparece en la raíz cuadrada de un complejo, calculada en la clase del curso I sobre los números complejos igualando partes reales e imaginarias. El número de raíces concuerda, además, con lo que se sabe de los polinomios: por el lema de las raíces distintas de la clase del curso I sobre el álgebra de polinomios, cuya demostración vale sin cambios en los complejos, el polinomio zn−wz^n - w, de grado nn, no puede tener más de nn raíces distintas; el teorema muestra que las tiene todas.

El polígono regular de las raíces

Las nn raíces tienen el mismo módulo, de modo que están en la circunferencia de centro 00 y radio Rn\sqrt[n]{R}, y sus argumentos están igualmente espaciados. El teorema siguiente expresa esta disposición con el producto de complejos, que en forma polar multiplica los módulos y suma los argumentos, como se demostró en la clase sobre la forma polar.

TeoremaEl polígono de las raíces

Sean ww un complejo no nulo, con R=∣w∣R = \abs{w}, y n≥3n \geq 3 un natural. Cada raíz nn-ésima de ww se obtiene de la anterior multiplicándola por el número ω\omega siguiente, lo que equivale a girarla un ángulo de 2πn\frac{2\pi}{n} alrededor del origen; las nn raíces son los vértices de un polígono regular de nn lados inscrito en la circunferencia de centro 00 y radio Rn\sqrt[n]{R}, y su lado mide 2Rnsin⁡πn2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}.

zk+1=zk ω,ω=cos⁡2πn+isin⁡2πnz_{k + 1} = z_k \, \omega, \qquad \omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}

La figura sigue la demostración con w=64iw = 64i, cuyas raíces cúbicas, cuartas y sextas están en circunferencias de radios 643=4\sqrt[3]{64} = 4, 644=22\sqrt[4]{64} = 2\sqrt{2} y 646=2\sqrt[6]{64} = 2.

Demostración

  1. zk ω=Rn(cos⁡(θk+2πn)+isin⁡(θk+2πn))=zk+1z_k \, \omega = \sqrt[n]{R} \left( \cos \resaltar{\left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right)} + i \sin \left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right) \right) = \dato{g}{\resaltar{z_{k + 1}}}

    Como ∣ω∣=1\abs{\omega} = 1, el producto zkωz_k \omega tiene el módulo de zkz_k y su argumento aumentado en 2πn\frac{2\pi}{n}: es la raíz siguiente. Por inducción sobre kk, cada raíz es la primera multiplicada por una potencia de ω\omega, zk=z0ωkz_k = z_0 \omega^k.

  2. ∣uω−vω∣=∣(u−v)ω∣=∣u−v∣∣ω∣=∣u−v∣\abs{u\omega - v\omega} = \abs{\resaltar{(u - v)\omega}} = \abs{u - v} \abs{\omega} = \dato{d}{\resaltar{\abs{u - v}}}

    Multiplicar por ω\omega es, por tanto, girar un ángulo de 2πn\frac{2\pi}{n} alrededor del origen, y ese giro conserva las distancias, porque el módulo de un producto es el producto de los módulos.

  3. ∣zk+2−zk+1∣=∣zk+1ω−zkω∣=∣zk+1−zk∣\abs{z_{k + 2} - z_{k + 1}} = \abs{\resaltar{z_{k + 1} \omega - z_k \omega}} = \resaltar{\abs{z_{k + 1} - z_k}}

    El giro lleva cada lado del polígono al siguiente, de modo que todos los lados miden lo mismo.

  4. zn−1ω=z0ωn−1ω=z0ωn=z0z_{n - 1} \omega = z_0 \resaltar{\omega^{n - 1} \omega} = z_0 \omega^n = \resaltar{z_0}

    El polígono se cierra, porque ωn=1\omega^n = 1: el giro lleva el último vértice al primero. Los nn vértices están en la circunferencia, los lados son iguales y también los ángulos centrales; los triángulos que cada lado forma con el centro son congruentes, por tener sus tres lados iguales, y por tanto los ángulos del polígono son iguales: es regular.

  5. ∣z1−z0∣=∣z0∣∣ω−1∣=2Rnsin⁡πn\abs{z_1 - z_0} = \abs{z_0} \resaltar{\abs{\omega - 1}} = \resaltar{2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}}

    El lado se calcula en el triángulo de vértices 00, z0z_0 y z1z_1. Por la fórmula del ángulo mitad, ∣ω−1∣2=2−2cos⁡2πn=4sin⁡2πn\abs{\omega - 1}^2 = 2 - 2\cos \frac{2\pi}{n} = 4\sin^2 \frac{\pi}{n}, y el seno de πn\frac{\pi}{n} es positivo. Para las raíces sextas de 64i64i, el lado vale 2⋅2⋅12=22 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2, igual al radio, como en todo hexágono regular.

Para n=2n = 2, el polígono degenera en un diámetro, cuyos extremos son las dos raíces opuestas, y para n=1n = 1 hay una sola raíz, el propio ww. Que las raíces formen un polígono regular explica por qué ninguna se distingue de las demás: el giro de 2πn\frac{2\pi}{n} las permuta sin alterar la figura.