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La exponencial compleja y la fórmula de Euler

Resumen

Esta clase define la exponencial de un número complejo. Parte de dos observaciones: el complejo cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta convierte las sumas de ángulos en productos, como una potencia convierte las sumas de exponentes en productos, y la serie de la exponencial, evaluada en un número imaginario, se separa en las series del coseno y del seno. Ambas conducen a la fórmula de Euler, eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta, y a la definición ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right). La clase demuestra que la exponencial compleja transforma sumas en productos, que su módulo es eae^a y su argumento bb, que nunca se anula y que es periódica de período 2πi2\pi i; escribe todo complejo en la forma exponencial reiθr e^{i\theta}; expresa el coseno y el seno mediante exponenciales, los extiende a todo el plano y descubre en ellos las funciones hiperbólicas. Termina con el logaritmo complejo, que tiene infinitos valores, y con las potencias de exponente complejo, entre las que iii^i resulta ser un número real.

Objetivos de aprendizaje

  1. Explicar por qué la ley de los exponentes y la serie de la exponencial conducen a la fórmula de Euler, distinguir ese cálculo heurístico de una demostración y extender la definición de la exponencial a todo exponente complejo.
  2. Demostrar las propiedades de la exponencial compleja (exponencial de una suma, módulo, argumento y periodicidad) y operar con la forma exponencial de los complejos.
  3. Expresar el coseno y el seno mediante exponenciales, extenderlos a los complejos, decidir qué identidades trigonométricas siguen valiendo en C\mathbb{C} y relacionarlos con las funciones hiperbólicas.
  4. Resolver la ecuación ew=ze^w = z, definir el logaritmo principal, calcular potencias de exponente complejo y explicar por qué tienen, en general, infinitos valores.

La fórmula de Euler

En la clase sobre la forma polar de los números complejos se demostró que, al multiplicar dos complejos, los módulos se multiplican y los argumentos se suman. Para los complejos de módulo 11, el teorema dice que

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Si se designa por E(θ)E(\theta) el complejo cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, la igualdad anterior se escribe E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta), y además E(0)=1E(0) = 1. Ahora bien, convertir las sumas en productos es la propiedad característica de las potencias, ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y, estudiada en la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre la función exponencial; y la fórmula de De Moivre, E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta), demostrada en la clase sobre la fórmula de De Moivre, es la ley (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx}. Todo sugiere, por tanto, que E(θ)E(\theta) es una potencia de exponente proporcional a θ\theta. La serie de la exponencial indica cuál.

La serie de la exponencial con exponente imaginario

En la clase del curso I sobre el número e se demostró que ee es la suma de la serie de los inversos de los factoriales. Más en general, para todo real xx se cumplen las tres igualdades siguientes, en las que las sumas de infinitos términos significan, como allí, el valor al que se acercan las sumas parciales:

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

Estas tres series se admiten aquí sin demostración: se obtienen con las derivadas y el teorema de Taylor, que se estudian en el curso de Cálculo I, donde se prueba además que convergen para todo real xx; la convergencia de la primera para todo complejo xx pertenece al estudio de las series y de la variable compleja. La serie de la exponencial solo emplea sumas, productos y divisiones, que tienen sentido en C\mathbb{C}, y puede evaluarse en x=iθx = i\theta. Ahora bien, el símbolo eiθe^{i\theta} no tiene todavía ningún significado: una potencia de exponente imaginario no es un producto de factores iguales, ni el valor de la exponencial real. El cálculo del ejemplo siguiente no es, por tanto, una demostración de que eiθe^{i\theta} valga algo, sino una motivación: muestra que la suma de la serie en iθi\theta es cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, de modo que, si la serie ha de seguir definiendo la exponencial para exponentes imaginarios, no hay otra elección posible.

EjemploLa serie de la exponencial en un número imaginario

Sea θ\theta real. Sustituimos x=iθx = i\theta en la serie de la exponencial y separamos los términos de índice par de los de índice impar, con el ciclo de las potencias de ii de la clase del curso I sobre los números complejos. La figura dibuja, para θ=π\theta = \pi, las sumas parciales SnS_n como una poligonal: cada término es el anterior girado un cuarto de vuelta y multiplicado por θk\frac{\theta}{k}.

Solución

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    Sustituimos xx por iθi\theta en la serie, sin dar todavía ningún nombre a su suma. Las dos primeras sumas parciales son S0=1S_0 = 1 y S1=1+iθS_1 = 1 + i\theta.

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    Las potencias de exponente par de ii son (−1)m(-1)^m, porque i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m; las de exponente impar se obtienen multiplicando por ii. Los términos de índice par son reales y los de índice impar, imaginarios puros.

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    En la suma parcial S2N+1S_{2N + 1}, que tiene un número finito de términos, reunimos los de índice par, por una parte, y los de índice impar, por otra, y sacamos el factor ii de los segundos: resultan las sumas parciales de las series del coseno y del seno.

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    Las dos sumas reales se acercan al coseno y al seno de θ\theta, por las series admitidas; y S2NS_{2N} difiere de S2N+1S_{2N + 1} en un término que se acerca a 00. La suma de la serie es el complejo de módulo 11 y argumento θ\theta.

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    Con θ=π\theta = \pi, la poligonal de las sumas parciales gira en espiral y se acerca a −1-1: la suma S12S_{12} dista de −1-1 menos de una milésima.

El cálculo anterior, que descansa en las series admitidas, determina la suma de la serie; lo que no puede hacer es demostrar que esa suma sea «ee elevado a iθi\theta», porque esta expresión carece de sentido previo. Se adopta, por tanto, como definición.

La exponencial imaginaria

Para todo número real θ\theta, la exponencial imaginaria eiθe^{i\theta} es el complejo de módulo 11 y argumento θ\theta dado por la fórmula de Euler, que Leonhard Euler publicó en 1748.
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

Con θ=0\theta = 0 resulta ei0=1e^{i0} = 1, como exige la ley de los exponentes. Las propiedades de la forma polar y la fórmula de De Moivre se traducen ahora en las leyes de las potencias, que ya no hay que recordar como reglas sobre ángulos.

TeoremaLa exponencial imaginaria

Para todos los reales θ\theta, α\alpha y β\beta y todo entero nn, el complejo eiθe^{i\theta} tiene módulo 11; se cumplen eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} y (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}; el inverso de eiθe^{i\theta} es su conjugado e−iθe^{-i\theta}, y eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} si y solo si α−β\alpha - \beta es un múltiplo entero de 2π2\pi. Cada afirmación es la traducción de un resultado de las clases anteriores. La figura muestra el punto eiθe^{i\theta}, que recorre la circunferencia de radio 11 en sentido contrario al de las agujas del reloj a medida que θ\theta crece.

Demostración

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    El módulo es 11 por la identidad fundamental de la clase sobre las identidades trigonométricas: el punto eiθe^{i\theta} es el punto de la circunferencia de radio 11 que corresponde al ángulo θ\theta.

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    El producto es el teorema de la forma polar con módulos iguales a 11: los argumentos se suman.

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    La potencia es la fórmula de De Moivre, válida para todo entero nn.

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    Como el coseno es par y el seno impar, e−iθe^{-i\theta} es el conjugado de eiθe^{i\theta}, su simétrico respecto del eje real; y por la ley del producto, con β=−α\beta = -\alpha, es también su inverso.

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Por la igualdad de los complejos en forma polar, dos complejos de módulo 11 coinciden si y solo si sus argumentos difieren en un múltiplo entero de 2π2\pi: al cabo de una vuelta, el punto vuelve a pasar por el mismo lugar.

La identidad de Euler

Con θ=π\theta = \pi, la fórmula de Euler da eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1, es decir:

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

Esta igualdad, llamada identidad de Euler, reúne en una sola relación los números 00 y 11, neutros de la suma y del producto, la unidad imaginaria ii y las dos constantes fundamentales del análisis, ee y π\pi. Del mismo modo, eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i, e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i y e2πi=1e^{2\pi i} = 1. En particular, como i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}}, las potencias de ii son in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}}: el ciclo de período 44 de la clase del curso I sobre los números complejos es la periodicidad de la exponencial imaginaria, porque cuatro cuartos de vuelta suman 2π2\pi.