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Topos Uranos
Italiano

Equazioni polinomiali complesse: formule di Cardano e Ferrari

Riepilogo

Questa lezione studia le equazioni polinomiali nel campo dei numeri complessi. Dal teorema fondamentale dell’algebra, che si ammette, deduce per induzione che ogni polinomio di grado nn è prodotto di nn fattori lineari e ha esattamente nn radici contate con la loro molteplicità; dimostra le formule di Viète per qualunque grado e le formule delle somme dei quadrati e dei cubi delle radici. Risolve le equazioni binomie, trinomie e reciproche riconducendole ad altre di grado minore. Poi riduce l’equazione di terzo grado alla forma ridotta, deduce la formula di Cardano, classifica le radici mediante il discriminante, mostra con l’equazione di Bombelli perché la formula costrinse ad accettare i numeri complessi anche quando tutte le radici sono reali, e risolve quel caso con la formula dell’angolo triplo. Infine riduce l’equazione di quarto grado alla forma ridotta, dimostra il metodo di Ferrari, che la scompone in due equazioni di secondo grado mediante una radice della sua risolvente cubica, e spiega perché non esiste una formula analoga a partire dal grado cinque.

Obiettivi di apprendimento

  1. Dedurre dal teorema fondamentale dell’algebra la fattorizzazione di ogni polinomio complesso in fattori lineari, e collegare le radici ai coefficienti mediante le formule di Viète e le somme di potenze.
  2. Risolvere equazioni binomie, trinomie e reciproche riconducendole a equazioni di grado minore.
  3. Ridurre l’equazione di terzo grado alla forma ridotta, dedurre la formula di Cardano e classificare le radici di una cubica reale secondo il segno del suo discriminante.
  4. Risolvere con il metodo trigonometrico una cubica con tre radici reali, e spiegare con l’esempio di Bombelli il ruolo storico della formula di Cardano nell’accettazione dei numeri complessi.
  5. Risolvere equazioni di quarto grado con il metodo di Ferrari, riducendole alla forma ridotta e scomponendole mediante una radice della risolvente cubica.

Il teorema fondamentale dell’algebra nei complessi

Nella lezione del corso Algebra e Geometria I sulle radici dei polinomi di grado superiore si è enunciato il teorema fondamentale dell’algebra, se ne è abbozzata la conseguenza che ogni polinomio complesso di grado nn è prodotto di nn fattori lineari e se ne è dedotto che ogni polinomio reale è prodotto di fattori lineari e di fattori quadratici irriducibili; qui si dà la dimostrazione completa, per induzione, di quella fattorizzazione nei complessi. Questa lezione adotta il punto di vista dei complessi: i coefficienti e le radici possono essere complessi, e la domanda non è più se un’equazione abbia soluzione, ma come trovarne tutte le soluzioni. Un polinomio a coefficienti complessi di grado nn è un’espressione P(z)=anzn+⋯+a1z+a0P(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0, con aka_k complessi e an≠0a_n \neq 0; un complesso z0z_0 è una radice di PP quando P(z0)=0P(z_0) = 0.

Le dimostrazioni dell’algoritmo della divisione, del teorema del resto e del teorema del fattore, svolte nella lezione del corso I sull’algebra dei polinomi, usano soltanto le proprietà della somma, del prodotto e della divisione dei coefficienti, che C\mathbb{C} condivide con R\mathbb{R} secondo la lezione sui numeri complessi. Valgono quindi senza modifiche per i polinomi a coefficienti complessi, e lo stesso accade per il lemma delle radici distinte e per il principio d’identità dei polinomi, della stessa lezione (due polinomi che assumono lo stesso valore in ogni complesso hanno gli stessi coefficienti), e per la definizione della molteplicità di una radice, della lezione sulle radici dei polinomi. Ciò che distingue C\mathbb{C} è il teorema qui sotto.

Fatto ammesso (teorema fondamentale dell’algebra). Ogni polinomio di grado n≥1n \geq 1 a coefficienti complessi ha almeno una radice complessa.

Come nella lezione del corso I sulle radici dei polinomi, questo teorema si ammette senza dimostrazione: tutte le sue dimostrazioni note usano strumenti che vanno oltre questo corso, come la continuità delle funzioni di due variabili reali o lo studio delle funzioni di variabile complessa. Carl Friedrich Gauss diede nel 1799 la prima dimostrazione quasi completa, dopo i tentativi di d’Alembert e di Eulero. La sua conseguenza principale è che le equazioni polinomiali non costringono ad ampliare C\mathbb{C}, come x2=2x^2 = 2 costrinse ad ampliare Q\mathbb{Q} e x2=−1x^2 = -1 ad ampliare R\mathbb{R}: ogni polinomio complesso si scompone completamente in C\mathbb{C}.

TeoremaFattorizzazione nei complessi

Ogni polinomio PP di grado n≥1n \geq 1 a coefficienti complessi e coefficiente direttivo ana_n è il prodotto di ana_n per nn fattori lineari, come nella formula qui sotto, con z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n complessi non necessariamente distinti. Le radici di PP sono esattamente i numeri zkz_k, e ciascuna compare nell’elenco tante volte quante ne indica la sua molteplicità; quindi PP ha esattamente nn radici complesse contate con la loro molteplicità.

P(z)=an(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn)P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n)

La dimostrazione procede per induzione sul grado, come nella lezione del corso I su sommatorie, progressioni e induzione. La figura la segue nel piano complesso con il polinomio P(z)=z5+2z4+2z3−4z2−11z+10P(z) = z^5 + 2z^4 + 2z^3 - 4z^2 - 11z + 10, le cui radici sono 11, che è doppia, −2-2, −1+2i-1 + 2i e −1−2i-1 - 2i.

Dimostrazione

  1. a1z+a0=a1(z+a0a1)\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}

    Caso iniziale: un polinomio di grado 11 è il suo coefficiente direttivo per un unico fattore lineare, la cui radice è −a0a1-\frac{a_0}{a_1}.

  2. P(z1)=0→P(z)=(z−z1)C(z),P(z)=(z−1)(z4+3z3+5z2+z−10)P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)

    Supponiamo il teorema vero per i polinomi di grado nn, e sia PP di grado n+1n + 1. Per il teorema fondamentale dell’algebra, PP ha una radice z1z_1; per il teorema del fattore, PP è il prodotto di z−z1z - z_1 per un quoziente CC di grado nn, il cui coefficiente direttivo è quello di PP, come si vede confrontando i termini di grado massimo. Nell’esempio, z1=1z_1 = 1, e la divisione sintetica dà il quoziente della formula.

  3. P(z)=(z−z1)an+1(z−z2)⋯(z−zn+1)=an+1(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn+1)P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}

    Per l’ipotesi induttiva, CC è il suo coefficiente direttivo an+1a_{n + 1} per nn fattori lineari; sostituendo, PP risulta scritto come si voleva. Per il principio di induzione, la fattorizzazione esiste per ogni grado n≥1n \geq 1.

  4. P(w)=an(w−z1)⋯(w−zn)=0↔w=z1∨⋯∨w=znP(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}

    Un prodotto di complessi è nullo solo se lo è uno dei suoi fattori, e an≠0a_n \neq 0: un numero ww è radice di PP se e solo se coincide con uno dei zkz_k. Non ci sono altre radici oltre a quelle dell’elenco.

  5. P(z)=an(z−r1)k1⋯(z−rs)ks,k1+k2+⋯+ks=nP(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}

    Raggruppiamo i fattori uguali: se r1,…,rsr_1, \ldots, r_s sono le radici distinte e rjr_j compare kjk_j volte, il quoziente di PP per (z−r1)k1(z - r_1)^{k_1} non si annulla in r1r_1, perché è un prodotto di fattori non nulli; dunque k1k_1 è la molteplicità di r1r_1, e lo stesso accade per le altre. Le molteplicità hanno somma nn; nell’esempio, 2+1+1+1=52 + 1 + 1 + 1 = 5.

Poiché la molteplicità di ogni radice è ben definita, secondo la lezione del corso I sulle radici dei polinomi, l’elenco z1,…,znz_1, \ldots, z_n è determinato da PP, a meno dell’ordine: la fattorizzazione è unica. D’ora in poi, le radici di un polinomio di grado nn designano questo elenco di nn numeri, con le ripetizioni indicate dalla molteplicità. Se i coefficienti sono reali, le radici non reali si presentano in coppie coniugate, per il teorema delle radici coniugate della lezione sui numeri complessi; moltiplicando i due fattori di ogni coppia si ottiene un fattore quadratico reale, e si ritrova così la fattorizzazione nei reali della lezione sulle radici dei polinomi.