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Topos Uranos
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Geometria con i numeri complessi

Riepilogo

Questa lezione impiega i numeri complessi come coordinate del piano e traduce in operazioni algebriche le nozioni della geometria elementare: la distanza è il modulo di una differenza, il punto medio e il baricentro sono medie, e i movimenti del piano sono formule brevi. Dimostra che R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) è la rotazione di centro cc e angolo φ\varphi, che la simmetria assiale rispetto a una retta passante per l’origine con angolo α\alpha è S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z} e che la composizione di due simmetrie è una rotazione. Caratterizza l’allineamento e la perpendicolarità mediante un quoziente, definisce l’orientamento di un triangolo mediante il segno della parte immaginaria di quel quoziente, dimostra che tre punti formano un triangolo equilatero se e solo se z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0, con ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}, e prova che i punti le cui distanze da due punti fissi stanno in un rapporto costante formano una circonferenza, quella di Apollonio. I problemi culminano con il teorema di Napoleone.

Obiettivi di apprendimento

  1. Rappresentare punti, distanze, punti medi e baricentri con i numeri complessi, ed esprimere traslazioni, rotazioni, omotetie e simmetrie assiali come funzioni di una variabile complessa.
  2. Dimostrare le formule della rotazione attorno a un punto e della simmetria rispetto a una retta, e studiare le composizioni di simmetrie e di rotazioni.
  3. Decidere l’allineamento, la perpendicolarità e l’angolo di due segmenti mediante il quoziente di due differenze, determinare l’orientamento di un triangolo mediante il segno della parte immaginaria di quel quoziente e caratterizzare il triangolo equilatero con la radice cubica dell’unità ω\omega.
  4. Descrivere circonferenze con il modulo, dimostrare il teorema della circonferenza di Apollonio e impiegare questi strumenti in problemi classici, come quelli di Napoleone e di Van Aubel.

Punti, distanze e centri

Dalla lezione del corso Algebra e Geometria I sulle operazioni con i numeri complessi, ogni complesso z=a+biz = a + bi si identifica con il punto (a,b)(a, b) del piano, e la differenza z−wz - w è il vettore che va dal punto ww al punto zz; per il teorema di Pitagora, la distanza fra i due punti è ∣z−w∣\abs{z - w}. In questa lezione il punto di vista si inverte: non si studiano i numeri attraverso il piano, ma il piano attraverso i numeri. Una figura resta descritta dai complessi dei suoi punti, e una proprietà geometrica da un’uguaglianza fra essi.

Lo strumento principale è l’esponenziale complesso della lezione sull’esponenziale complesso e la formula di Eulero. Per ogni reale φ\varphi, il numero eiφe^{i\varphi} è il punto della circonferenza di raggio 11 il cui argomento è φ\varphi, e soddisfa le proprietà seguenti; l’ultima si deve al fatto che cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi e sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi:

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

Secondo la lezione sulla forma polare dei numeri complessi, ogni complesso non nullo si scrive z=reiθz = re^{i\theta}, con r=∣z∣r = \abs{z} e θ\theta un argomento di zz; moltiplicando due complessi si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti, e dividendoli si dividono i moduli e si sottraggono gli argomenti. In particolare, moltiplicare zz per eiφe^{i\varphi} ne conserva il modulo e ne aumenta l’argomento di φ\varphi: fa ruotare il punto zz di un angolo φ\varphi attorno all’origine, in senso antiorario se φ>0\varphi > 0. Il prodotto per i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}}, studiato nella lezione del corso I sui numeri complessi come una rotazione di un quarto di giro, è il caso φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2}.

Anche i punti di un segmento si descrivono con i complessi. Secondo la lezione del corso I su vettori ed equazioni parametriche della retta, i punti della retta che passa per z1z_1 e z2z_2 sono quelli della forma z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1), con tt reale, e quelli del segmento che li congiunge corrispondono a 0≤t≤10 \leq t \leq 1.

LemmaPunto medio e baricentro nei complessi

Il punto medio del segmento di estremi z1z_1 e z2z_2 è la semisomma m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2}. Le tre mediane di un triangolo di vertici z1z_1, z2z_2 e z3z_3 passano per il punto g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}, detto baricentro, che si trova su ciascuna mediana a due terzi del cammino che va dal vertice al punto medio del lato opposto. Il lemma è stato dimostrato con i vettori nel problema risolto sulle mediane della lezione del corso I su vettori ed equazioni parametriche della retta; la dimostrazione qui sotto lo traduce nei complessi. La figura la segue con i vertici z1=−2−iz_1 = -2 - i, z2=3−iz_2 = 3 - i e z3=2iz_3 = 2i.

Dimostrazione

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    Il punto del segmento che corrisponde a t=12t = \frac{1}{2} è la semisomma degli estremi.

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    Si trova alla stessa distanza da entrambi gli estremi, perché i due vettori che lo congiungono a essi sono uguali: è il punto medio.

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    Sulla mediana che congiunge z3z_3 con il punto medio del lato opposto, il punto che corrisponde a t=23t = \frac{2}{3} è il seguente.

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    L’espressione ottenuta è simmetrica nei tre vertici; se è così, lo stesso calcolo con una qualsiasi delle altre due mediane dà lo stesso punto, e tutte e tre passano per gg. Con i vertici della figura, g=13g = \frac{1}{3}.

Così il punto medio è la media di due complessi, e il baricentro quella di tre.