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Topos Uranos
日本語

複素数による幾何

要約

この課では複素数を平面の座標として用い、初等幾何の概念を代数的な演算に翻訳する。距離は差の絶対値であり、中点と重心は平均であり、平面の運動は短い式である。R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) が回転（中心 cc、角 φ\varphi）であること、原点を通る直線（角 α\alpha）に関する対称移動が S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z} であること、二つの対称移動の合成が回転であることを証明する。共線と垂直を商によって特徴づけ、三角形の向きをその商の虚部の符号によって定義し、三点が正三角形をなすための必要十分条件が z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0（ただし ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}）であることを証明し、二つの定点までの距離が一定の比を保つ点全体が円、すなわちアポロニウスの円をなすことを証明する。問題はナポレオンの定理で締めくくられる。

学習目標

  1. 点、距離、中点、重心を複素数で表し、平行移動、回転、位似変換、対称移動を一つの複素変数の関数として表すこと。
  2. 一点のまわりの回転の公式と直線に関する対称移動の公式を証明し、対称移動の合成と回転の合成を調べること。
  3. 二つの差の商によって二つの線分の共線、垂直、なす角を判定し、その商の虚部の符号によって三角形の向きを決定し、1 の三乗根 ω\omega によって正三角形を特徴づけること。
  4. 絶対値によって円を記述し、アポロニウスの円の定理を証明し、これらの道具を、ナポレオンやファン・オーベルの問題のような古典的な問題に用いること。

点、距離、中心

コース 代数と幾何 I の複素数の課以来、各複素数 z=a+biz = a + bi は平面の点 (a,b)(a, b) と同一視され、差 z−wz - w は点 ww から点 zz へ向かうベクトルである。三平方の定理により、二点間の距離は ∣z−w∣\abs{z - w} である。この課では視点が逆になる。平面を通して数を調べるのではなく、数を通して平面を調べる。図形はその点の複素数によって記述され、幾何学的な性質はそれらの間の等式によって記述される。

主な道具は、複素指数関数とオイラーの公式の課で扱った複素指数関数である。すべての実数 φ\varphi に対して、数 eiφe^{i\varphi} は半径 11 の円上の点で偏角が φ\varphi であるものであり、以下の性質をみたす。最後の性質は cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi かつ sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi であることによる。

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

複素数の極形式の課によれば、0 でないすべての複素数は z=reiθz = re^{i\theta} と書ける。ここで r=∣z∣r = \abs{z} であり、θ\theta は zz の偏角の一つである。二つの複素数を掛けると絶対値は掛け合わされ偏角は加えられ、割ると絶対値は割られ偏角は引かれる。とくに、zz に eiφe^{i\varphi} を掛けると絶対値は保たれ偏角は φ\varphi だけ増える。つまり点 zz を原点のまわりに角 φ\varphi だけ回転させる。その向きは、φ>0\varphi > 0 ならば時計の針と逆の向きである。i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}} を掛けることは、コース I の複素数の課で四分の一回転として調べたが、φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2} の場合にあたる。

線分上の点も複素数で記述できる。コース I の平面ベクトルの課によれば、直線（z1z_1 と z2z_2 を通るもの）上の点は z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1) の形の点（tt は実数）であり、それらを結ぶ線分上の点は 0≤t≤10 \leq t \leq 1 に対応する。

補題複素数による中点と重心

線分（両端 z1z_1 と z2z_2）の中点は半和 m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2} である。三角形（頂点 z1z_1、z2z_2、z3z_3）の三本の中線は点 g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} を通る。この点を重心といい、各中線上で、頂点から対辺の中点へ向かう道のりの三分の二のところにある。 この補題は、コース I の平面ベクトルの課で、中線についての例題においてベクトルを用いて証明された。以下の証明はそれを複素数に翻訳する。図は頂点 z1=−2−iz_1 = -2 - i、z2=3−iz_2 = 3 - i、z3=2iz_3 = 2i で証明をたどる。

証明

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    線分上の点で t=12t = \frac{1}{2} に対応するものは、両端の半和である。

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    この点は両端から等距離にある。この点と両端を結ぶ二つのベクトルが等しいからである。これが中点である。

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    中線（z3z_3 と対辺の中点を結ぶもの）上で、t=23t = \frac{2}{3} に対応する点は次のとおりである。

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    得られた式は三つの頂点について対称である。そうであるならば、残りの二本の中線のどちらで同じ計算をしても同じ点が得られ、三本とも gg を通る。図の頂点では、g=13g = \frac{1}{3}。

このように、中点は二つの複素数の平均であり、重心は三つの複素数の平均である。