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Topos Uranos
日本語

複素指数関数とオイラーの公式

要約

この課では複素数の指数関数を定義する。出発点は二つの観察である。一つは、複素数 cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta が角の和を積に変えることであり、これは累乗が指数の和を積に変えるのと同じである。もう一つは、指数関数の級数を虚数で値をとらせると、余弦の級数と正弦の級数に分かれることである。どちらもオイラーの公式 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta と、定義 ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right) に導く。この課では、複素指数関数が和を積に変えること、その絶対値が eae^a、偏角が bb であること、決して零にならないこと、周期 2πi2\pi i の周期関数であることを証明する。また、すべての複素数を指数形式 reiθr e^{i\theta} で書き、余弦と正弦を指数関数で表して平面全体に拡張し、そこに双曲線関数を見いだす。最後に、無限に多くの値をもつ複素対数と、複素数乗を扱う。複素数乗のうち、iii^i は実数であることがわかる。

学習目標

  1. 指数法則と指数関数の級数がなぜオイラーの公式に導くのかを説明し、この発見的な計算を証明と区別し、指数関数の定義を任意の複素数の指数に拡張する。
  2. 複素指数関数の性質（和の指数関数、絶対値、偏角、周期性）を証明し、複素数の指数形式を用いて計算する。
  3. 余弦と正弦を指数関数で表して複素数に拡張し、三角関数のどの恒等式が C\mathbb{C} でなお成り立つかを判断し、それらを双曲線関数と関係づける。
  4. 方程式 ew=ze^w = z を解き、対数の主値を定義し、複素数乗を計算し、それらが一般に無限に多くの値をもつ理由を説明する。

オイラーの公式

複素数の極形式の課では、二つの複素数を掛けると、絶対値は掛け合わされ、偏角は加えられることを証明した。絶対値 11 の複素数に対しては、この定理は次のことを述べる。

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

E(θ)E(\theta) で複素数 cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta を表すことにすると、上の等式は E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta) と書け、さらに E(0)=1E(0) = 1 である。ところで、和を積に変えることは累乗の特徴的な性質 ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y であり、これはコース 代数と幾何 I の指数関数の課で学んだ。また、ド・モアブルの公式 E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta) はド・モアブルの公式の課で証明したが、これは法則 (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx} にほかならない。したがって、すべては E(θ)E(\theta) が、指数が θ\theta に比例する累乗であることを示唆している。どの累乗であるかは、指数関数の級数が教えてくれる。

虚数を指数とする指数関数の級数

コース I の数 eの課では、ee が階乗の逆数からなる級数の和であることを証明した。より一般に、すべての実数 xx に対して以下の三つの等式が成り立つ。ここで無限個の項の和は、そこでと同様に、部分和が近づいていく値を意味する。

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

これら三つの級数は、ここでは証明なしに認める。これらはテイラーの定理から得られ、この定理はコース 微分積分学 II で学ぶ。そこではさらに、これらがすべての実数 xx に対して収束することも証明される。すべての複素数 xx に対する第一の級数の収束は、級数と複素関数の理論に属する。指数関数の級数は加法、乗法、除法しか用いず、これらは C\mathbb{C} で意味をもつので、x=iθx = i\theta で値をとらせることができる。ところが、記号 eiθe^{i\theta} にはまだ何の意味もない。虚数を指数とする累乗は等しい因数の積ではなく、実数の指数関数の値でもない。したがって、以下の例の計算は eiθe^{i\theta} が何らかの値に等しいことの証明ではなく、一つの動機づけである。それは iθi\theta での級数の和が cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta であることを示す。したがって、級数が虚数の指数に対しても指数関数を定義し続けるべきなら、ほかの選び方はありえない。

例虚数における指数関数の級数

θ\theta を実数とする。x=iθx = i\theta を指数関数の級数に代入し、ii の累乗の周期的な繰り返し（コース I の複素数の課）を用いて、添字が偶数の項と奇数の項を分ける。図は θ=π\theta = \pi の場合について、部分和 SnS_n を折れ線として描く。各項は、一つ手前の項を四分の一回転させて θk\frac{\theta}{k} を掛けたものである。

解答

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    級数の xx を iθi\theta で置き換える。その和にはまだ名前を与えない。最初の二つの部分和は S0=1S_0 = 1 と S1=1+iθS_1 = 1 + i\theta である。

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    ii の偶数乗は (−1)m(-1)^m である。i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m だからである。奇数乗は ii を掛けて得られる。添字が偶数の項は実数であり、添字が奇数の項は純虚数である。

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    部分和 S2N+1S_{2N + 1}（有限個の項からなる）において、添字が偶数の項を一方に、奇数の項を他方にまとめ、後者から因数 ii をくくり出す。余弦の級数と正弦の級数の部分和が得られる。

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    認めた級数により、二つの実数の和は θ\theta の余弦と正弦に近づく。また S2NS_{2N} と S2N+1S_{2N + 1} の違いは一つの項だけであり、その項は 00 に近づく。級数の和は、絶対値 11、偏角 θ\theta の複素数である。

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    θ=π\theta = \pi のとき、部分和の折れ線は渦巻き状に回りながら −1-1 に近づく。和 S12S_{12} と −1-1 の距離は千分の一より小さい。

上の計算は、認めた級数にもとづいて級数の和を決定する。しかし、その和が「ee の iθi\theta 乗」であることは証明できない。この表現にはあらかじめ意味がないからである。したがって、これを定義として採用する。

虚数の指数関数

すべての実数 θ\theta に対して、虚数の指数関数 eiθe^{i\theta} とは、絶対値 11、偏角 θ\theta の複素数であり、オイラーの公式によって与えられる。この公式はレオンハルト・オイラーが 1748 年に発表した。
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

θ=0\theta = 0 とすると ei0=1e^{i0} = 1 となり、指数法則の要求どおりである。極形式の性質とド・モアブルの公式は、いまや累乗の法則に言い換えられ、もはや角についての規則として覚える必要はない。

定理虚数の指数関数

すべての実数 θ\theta、α\alpha、β\beta とすべての整数 nn に対して、複素数 eiθe^{i\theta} の絶対値は 11 である。eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} と (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta} が成り立つ。eiθe^{i\theta} の逆数はその共役複素数 e−iθe^{-i\theta} であり、eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} となるのは α−β\alpha - \beta が 2π2\pi の整数倍であるとき、かつそのときに限る。 どの主張も、これまでの課の結果を言い換えたものである。図は点 eiθe^{i\theta} を示す。この点は半径 11 の円を反時計回りに回り、θ\theta が増加するにつれて進む。

証明

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    絶対値は 11 である。これは三角関数の基本恒等式の課の基本恒等式による。点 eiθe^{i\theta} は、半径 11 の円上で角 θ\theta に対応する点である。

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    積の法則は、絶対値がともに 11 の場合の、極形式における積の定理である。偏角は加えられる。

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    累乗はド・モアブルの公式であり、すべての整数 nn に対して成り立つ。

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    余弦は偶関数、正弦は奇関数であるから、e−iθe^{-i\theta} は eiθe^{i\theta} の共役複素数、すなわち実軸に関するその対称点である。また積の法則により、β=−α\beta = -\alpha とすれば、それはその逆数でもある。

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    極形式における複素数の相等により、絶対値 11 の二つの複素数が一致するのは、偏角の差が 2π2\pi の整数倍であるとき、かつそのときに限る。一回転すると、点は再び同じ場所を通る。

オイラーの等式

θ=π\theta = \pi とすると、オイラーの公式は eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 を与える。すなわち、

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

この等式はオイラーの等式と呼ばれ、数 00 と 11（加法と乗法の単位元）、虚数単位 ii、そして解析学の二つの基本定数 ee と π\pi を、一つの関係式にまとめている。同様に、eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i、e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i、e2πi=1e^{2\pi i} = 1 である。特に、i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}} であるから、ii の累乗は in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}} である。コース I の複素数の課における周期 44 の繰り返しは、虚数の指数関数の周期性にほかならない。四つの四分の一回転を合わせると 2π2\pi になるからである。