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Topos Uranos
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L’exponentielle complexe et la formule d’Euler

Résumé

Cette leçon définit l’exponentielle d’un nombre complexe. Elle part de deux observations : le complexe cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta convertit les sommes d’angles en produits, comme une puissance convertit les sommes d’exposants en produits, et la série exponentielle, calculée en un nombre imaginaire, se sépare en les séries du cosinus et du sinus. Toutes deux conduisent à la formule d’Euler, eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta, et à la définition ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right). La leçon démontre que l’exponentielle complexe transforme les sommes en produits, que son module est eae^a et son argument bb, qu’elle ne s’annule jamais et qu’elle est périodique de période 2πi2\pi i ; elle écrit tout complexe sous la forme exponentielle reiθr e^{i\theta} ; elle exprime le cosinus et le sinus au moyen d’exponentielles, les prolonge à tout le plan et découvre en eux les fonctions hyperboliques. Elle se termine par le logarithme complexe, qui a une infinité de valeurs, et par les puissances à exposant complexe, parmi lesquelles iii^i se révèle être un nombre réel.

Objectifs d’apprentissage

  1. Expliquer pourquoi la loi des exposants et la série exponentielle conduisent à la formule d’Euler, distinguer ce calcul heuristique d’une démonstration et étendre la définition de l’exponentielle à tout exposant complexe.
  2. Démontrer les propriétés de l’exponentielle complexe (exponentielle d’une somme, module, argument et périodicité) et calculer avec la forme exponentielle des complexes.
  3. Exprimer le cosinus et le sinus au moyen d’exponentielles, les prolonger aux complexes, décider quelles identités trigonométriques restent valables dans C\mathbb{C} et les relier aux fonctions hyperboliques.
  4. Résoudre l’équation ew=ze^w = z, définir le logarithme principal, calculer des puissances à exposant complexe et expliquer pourquoi elles ont, en général, une infinité de valeurs.

La formule d’Euler

Dans la leçon sur la forme polaire des nombres complexes, on a démontré que, lorsqu’on multiplie deux complexes, les modules se multiplient et les arguments s’additionnent. Pour les complexes de module 11, le théorème dit que

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Si l’on désigne par E(θ)E(\theta) le complexe cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, l’égalité ci-dessus s’écrit E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta), et de plus E(0)=1E(0) = 1. Or, convertir les sommes en produits est la propriété caractéristique des puissances, ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y, étudiée dans la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur la fonction exponentielle ; et la formule de Moivre, E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta), démontrée dans la leçon sur la formule de Moivre, est la loi (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx}. Tout suggère donc que E(θ)E(\theta) est une puissance d’exposant proportionnel à θ\theta. La série exponentielle indique laquelle.

La série exponentielle avec un exposant imaginaire

Dans la leçon du cours I sur le nombre e, on a démontré que ee est la somme de la série des inverses des factorielles. Plus généralement, pour tout réel xx, les trois égalités ci-dessous sont vraies ; les sommes d’une infinité de termes y désignent, comme dans cette leçon, la valeur dont s’approchent les sommes partielles :

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

Ces trois séries sont admises ici sans démonstration : on les obtient avec le théorème de Taylor, qui est étudié dans le cours d’Analyse II, où l’on prouve en outre qu’elles convergent pour tout réel xx ; la convergence de la première pour tout complexe xx relève de l’étude des séries et de la variable complexe. La série exponentielle n’emploie que des sommes, des produits et des divisions, qui ont un sens dans C\mathbb{C}, et peut être calculée en x=iθx = i\theta. Or, le symbole eiθe^{i\theta} n’a encore aucune signification : une puissance d’exposant imaginaire n’est ni un produit de facteurs égaux, ni la valeur de l’exponentielle réelle. Le calcul de l’exemple qui suit n’est donc pas une démonstration de ce que eiθe^{i\theta} vaudrait, mais une motivation : il montre que la somme de la série en iθi\theta est cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, de sorte que, si la série doit continuer à définir l’exponentielle pour des exposants imaginaires, il n’y a pas d’autre choix possible.

ExempleLa série exponentielle en un nombre imaginaire

Soit θ\theta réel. Nous substituons x=iθx = i\theta dans la série exponentielle et nous séparons les termes de rang pair de ceux de rang impair, à l’aide du cycle des puissances de ii de la leçon du cours I sur les nombres complexes. La figure dessine, pour θ=π\theta = \pi, les sommes partielles SnS_n sous la forme d’une ligne brisée : chaque terme est celui qui le devance, tourné d’un quart de tour et multiplié par θk\frac{\theta}{k}.

Solution

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    Nous remplaçons xx par iθi\theta dans la série, sans encore donner de nom à sa somme. Les deux premières sommes partielles sont S0=1S_0 = 1 et S1=1+iθS_1 = 1 + i\theta.

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    Les puissances d’exposant pair de ii sont (−1)m(-1)^m, car i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m ; celles d’exposant impair s’obtiennent en multipliant par ii. Les termes de rang pair sont réels et ceux de rang impair, imaginaires purs.

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    Dans la somme partielle S2N+1S_{2N + 1}, qui a un nombre fini de termes, nous regroupons ceux de rang pair d’un côté et ceux de rang impair de l’autre, et nous mettons le facteur ii en évidence dans les seconds : il en résulte les sommes partielles des séries du cosinus et du sinus.

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    Les deux sommes réelles s’approchent du cosinus et du sinus de θ\theta, par les séries admises ; et S2NS_{2N} diffère de S2N+1S_{2N + 1} d’un terme qui s’approche de 00. La somme de la série est le complexe de module 11 et d’argument θ\theta.

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    Avec θ=π\theta = \pi, la ligne brisée des sommes partielles tourne en spirale et s’approche de −1-1 : la somme S12S_{12} est à moins d’un millième de −1-1.

Le calcul ci-dessus, qui repose sur les séries admises, détermine la somme de la série ; ce qu’il ne peut pas faire, c’est démontrer que cette somme soit « ee élevé à la puissance iθi\theta », car cette expression n’a pas de sens préalable. On l’adopte donc comme définition.

L’exponentielle imaginaire

Pour tout nombre réel θ\theta, l’exponentielle imaginaire eiθe^{i\theta} est le complexe de module 11 et d’argument θ\theta donné par la formule d’Euler, que Leonhard Euler publia en 1748.
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

Avec θ=0\theta = 0, on obtient ei0=1e^{i0} = 1, comme l’exige la loi des exposants. Les propriétés de la forme polaire et la formule de Moivre se traduisent désormais en lois des puissances, qu’il n’est plus nécessaire de retenir comme des règles sur les angles.

ThéorèmeL’exponentielle imaginaire

Pour tous réels θ\theta, α\alpha et β\beta et tout entier nn, le complexe eiθe^{i\theta} a pour module 11 ; on a eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} et (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta} ; l’inverse de eiθe^{i\theta} est son conjugué e−iθe^{-i\theta}, et eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} si et seulement si α−β\alpha - \beta est un multiple entier de 2π2\pi. Chaque affirmation est la traduction d’un résultat des leçons déjà vues. La figure montre le point eiθe^{i\theta}, qui parcourt le cercle de rayon 11 dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à mesure que θ\theta croît.

Démonstration

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    Le module est 11 par l’identité pythagoricienne de la leçon sur les identités trigonométriques fondamentales : le point eiθe^{i\theta} est le point du cercle de rayon 11 qui correspond à l’angle θ\theta.

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    La règle du produit est le théorème du produit sous forme polaire avec des modules égaux à 11 : les arguments s’additionnent.

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    La puissance est la formule de Moivre, valable pour tout entier nn.

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    Comme le cosinus est pair et le sinus impair, e−iθe^{-i\theta} est le conjugué de eiθe^{i\theta}, son symétrique par rapport à l’axe réel ; et par la loi du produit, avec β=−α\beta = -\alpha, c’est aussi son inverse.

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Par l’égalité des complexes sous forme polaire, deux complexes de module 11 coïncident si et seulement si leurs arguments diffèrent d’un multiple entier de 2π2\pi : au bout d’un tour, le point repasse par le même endroit.

L’identité d’Euler

Avec θ=π\theta = \pi, la formule d’Euler donne eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1, c’est-à-dire :

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

Cette égalité, appelée identité d’Euler, réunit en une seule relation les nombres 00 et 11, éléments neutres de l’addition et de la multiplication, l’unité imaginaire ii et les deux constantes fondamentales de l’analyse, ee et π\pi. De même, eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i, e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i et e2πi=1e^{2\pi i} = 1. En particulier, comme i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}}, les puissances de ii sont in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}} : le cycle de période 44 de la leçon du cours I sur les nombres complexes est la périodicité de l’exponentielle imaginaire, car quatre quarts de tour font 2π2\pi.