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A exponencial complexa e a fórmula de Euler

Resumo

Esta aula define a exponencial de um número complexo. Começa por duas observações: o complexo cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta converte as somas de ângulos em produtos, como uma potência converte as somas de expoentes em produtos, e a série da exponencial, calculada num número imaginário, separa-se nas séries do cosseno e do seno. Ambas conduzem à fórmula de Euler, eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta, e à definição ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right). A aula demonstra que a exponencial complexa transforma somas em produtos, que o seu módulo é eae^a e o seu argumento bb, que nunca se anula e que é periódica de período 2πi2\pi i; escreve todo complexo na forma exponencial reiθr e^{i\theta}; exprime o cosseno e o seno por meio de exponenciais, estende-os a todo o plano e descobre neles as funções hiperbólicas. Termina com o logaritmo complexo, que tem infinitos valores, e com as potências de expoente complexo, entre as quais iii^i resulta ser um número real.

Objetivos de aprendizagem

  1. Explicar por que a lei dos expoentes e a série da exponencial conduzem à fórmula de Euler, distinguir esse cálculo heurístico de uma demonstração e estender a definição da exponencial a todo expoente complexo.
  2. Demonstrar as propriedades da exponencial complexa (exponencial de uma soma, módulo, argumento e periodicidade) e operar com a forma exponencial dos complexos.
  3. Exprimir o cosseno e o seno por meio de exponenciais, estendê-los aos complexos, decidir quais identidades trigonométricas continuam válidas em C\mathbb{C} e relacioná-los com as funções hiperbólicas.
  4. Resolver a equação ew=ze^w = z, definir o logaritmo principal, calcular potências de expoente complexo e explicar por que têm, em geral, infinitos valores.

A fórmula de Euler

Na aula sobre a forma polar dos números complexos demonstrou-se que, ao multiplicar dois complexos, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam. Para os complexos de módulo 11, o teorema diz que

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Se se designa por E(θ)E(\theta) o complexo cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, a igualdade acima escreve-se E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta), e além disso E(0)=1E(0) = 1. Ora, converter as somas em produtos é a propriedade característica das potências, ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y, estudada na aula do curso Álgebra e Geometria I sobre a função exponencial; e a fórmula de De Moivre, E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta), demonstrada na aula sobre a fórmula de De Moivre, é a lei (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx}. Tudo sugere, portanto, que E(θ)E(\theta) é uma potência de expoente proporcional a θ\theta. A série da exponencial indica qual.

A série da exponencial com expoente imaginário

Na aula do curso I sobre o número e demonstrou-se que ee é a soma da série dos inversos dos fatoriais. Mais em geral, para todo real xx valem as três igualdades abaixo, nas quais as somas de infinitos termos significam, como lá, o valor do qual se aproximam as somas parciais:

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

Estas três séries admitem-se aqui sem demonstração: obtêm-se com o teorema de Taylor, que se estuda no curso de Cálculo II, onde se prova também que convergem para todo real xx; a convergência da primeira para todo complexo xx pertence ao estudo das séries e da variável complexa. A série da exponencial só emprega somas, produtos e divisões, que têm sentido em C\mathbb{C}, e pode ser calculada em x=iθx = i\theta. Ora, o símbolo eiθe^{i\theta} ainda não tem nenhum significado: uma potência de expoente imaginário não é um produto de fatores iguais, nem o valor da exponencial real. O cálculo do exemplo a seguir não é, portanto, uma demonstração de que eiθe^{i\theta} valha alguma coisa, mas uma motivação: mostra que a soma da série em iθi\theta é cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, de modo que, se a série há de continuar definindo a exponencial para expoentes imaginários, não há outra escolha possível.

ExemploA série da exponencial num número imaginário

Seja θ\theta real. Substituímos x=iθx = i\theta na série da exponencial e separamos os termos de índice par dos de índice ímpar, com o ciclo das potências de ii da aula do curso I sobre os números complexos. A figura desenha, para θ=π\theta = \pi, as somas parciais SnS_n como uma poligonal: cada termo é o que o precede girado um quarto de volta e multiplicado por θk\frac{\theta}{k}.

Solução

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    Substituímos xx por iθi\theta na série, sem dar ainda nenhum nome à sua soma. As duas primeiras somas parciais são S0=1S_0 = 1 e S1=1+iθS_1 = 1 + i\theta.

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    As potências de expoente par de ii são (−1)m(-1)^m, porque i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m; as de expoente ímpar obtêm-se multiplicando por ii. Os termos de índice par são reais e os de índice ímpar, imaginários puros.

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    Na soma parcial S2N+1S_{2N + 1}, que tem um número finito de termos, reunimos os de índice par, de um lado, e os de índice ímpar, do outro, e pomos o fator ii em evidência nos segundos: resultam as somas parciais das séries do cosseno e do seno.

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    As duas somas reais aproximam-se do cosseno e do seno de θ\theta, pelas séries admitidas; e S2NS_{2N} difere de S2N+1S_{2N + 1} num termo que se aproxima de 00. A soma da série é o complexo de módulo 11 e argumento θ\theta.

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    Com θ=π\theta = \pi, a poligonal das somas parciais gira em espiral e aproxima-se de −1-1: a soma S12S_{12} dista de −1-1 menos de um milésimo.

O cálculo acima, que se apoia nas séries admitidas, determina a soma da série; o que não pode fazer é demonstrar que essa soma seja «ee elevado a iθi\theta», porque esta expressão carece de sentido prévio. Adota-se, portanto, como definição.

A exponencial imaginária

Para todo número real θ\theta, a exponencial imaginária eiθe^{i\theta} é o complexo de módulo 11 e argumento θ\theta dado pela fórmula de Euler, que Leonhard Euler publicou em 1748.
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

Com θ=0\theta = 0 resulta ei0=1e^{i0} = 1, como exige a lei dos expoentes. As propriedades da forma polar e a fórmula de De Moivre traduzem-se agora nas leis das potências, que já não é preciso recordar como regras sobre ângulos.

TeoremaA exponencial imaginária

Para todos os reais θ\theta, α\alpha e β\beta e todo inteiro nn, o complexo eiθe^{i\theta} tem módulo 11; valem eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} e (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}; o inverso de eiθe^{i\theta} é o seu conjugado e−iθe^{-i\theta}, e eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} se e somente se α−β\alpha - \beta é um múltiplo inteiro de 2π2\pi. Cada afirmação é a tradução de um resultado das aulas precedentes. A figura mostra o ponto eiθe^{i\theta}, que percorre a circunferência de raio 11 no sentido anti-horário à medida que θ\theta cresce.

Demonstração

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    O módulo é 11 pela identidade pitagórica da aula sobre as identidades trigonométricas fundamentais: o ponto eiθe^{i\theta} é o ponto da circunferência de raio 11 que corresponde ao ângulo θ\theta.

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    A regra do produto é o teorema do produto em forma polar com módulos iguais a 11: os argumentos somam-se.

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    A potência é a fórmula de De Moivre, válida para todo inteiro nn.

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    Como o cosseno é par e o seno ímpar, e−iθe^{-i\theta} é o conjugado de eiθe^{i\theta}, o seu simétrico em relação ao eixo real; e pela lei do produto, com β=−α\beta = -\alpha, é também o seu inverso.

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Pela igualdade dos complexos em forma polar, dois complexos de módulo 11 coincidem se e somente se os seus argumentos diferem num múltiplo inteiro de 2π2\pi: ao fim de uma volta, o ponto torna a passar pelo mesmo lugar.

A identidade de Euler

Com θ=π\theta = \pi, a fórmula de Euler dá eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1, isto é:

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

Esta igualdade, chamada identidade de Euler, reúne numa só relação os números 00 e 11, elementos neutros da soma e do produto, a unidade imaginária ii e as duas constantes fundamentais da análise, ee e π\pi. Do mesmo modo, eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i, e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i e e2πi=1e^{2\pi i} = 1. Em particular, como i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}}, as potências de ii são in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}}: o ciclo de período 44 da aula do curso I sobre os números complexos é a periodicidade da exponencial imaginária, porque quatro quartos de volta somam 2π2\pi.