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Topos Uranos
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복소지수함수와 오일러 공식

요약

이 수업은 복소수의 지수함수를 정의한다. 출발점은 두 가지 관찰이다. 하나는 복소수 cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta 식이 각의 합을 곱으로 바꾼다는 것인데, 이는 거듭제곱이 지수의 합을 곱으로 바꾸는 것과 같다. 다른 하나는 지수함수의 급수에 허수를 넣어 값을 구하면 코사인의 급수와 사인의 급수로 나뉜다는 것이다. 두 관찰 모두 오일러 공식 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta 식과 정의 ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right) 식으로 이어진다. 이 수업은 복소지수함수가 합을 곱으로 바꾸고, 그 절댓값이 eae^a 값, 편각이 bb 값이며, 결코 영이 되지 않고, 주기가 2πi2\pi i 값인 주기함수임을 증명한다. 또한 모든 복소수를 지수 형식 reiθr e^{i\theta} 식으로 쓰고, 코사인과 사인을 지수함수로 나타내어 평면 전체로 확장하며, 그 안에서 쌍곡선함수를 발견한다. 끝으로 값이 무한히 많은 복소로그와 복소수 거듭제곱을 다루는데, 그 가운데 iii^i 값은 실수임이 밝혀진다.

학습 목표

  1. 지수법칙과 지수함수의 급수가 왜 오일러 공식으로 이어지는지 설명하고, 이 발견적인 계산을 증명과 구별하며, 지수함수의 정의를 임의의 복소수 지수로 확장한다.
  2. 복소지수함수의 성질(합의 지수함수, 절댓값, 편각, 주기성)을 증명하고, 복소수의 지수 형식으로 계산한다.
  3. 코사인과 사인을 지수함수로 나타내어 복소수로 확장하고, 어떤 삼각항등식이 C\mathbb{C} 집합에서도 여전히 성립하는지 판단하며, 그것들을 쌍곡선함수와 연결한다.
  4. 방정식 ew=ze^w = z 식을 풀고, 로그의 주값을 정의하며, 복소수 거듭제곱을 계산하고, 그것이 일반적으로 값을 무한히 많이 가지는 이유를 설명한다.

오일러 공식

복소수의 극형식에 관한 수업에서는 두 복소수를 곱하면 절댓값은 곱해지고 편각은 더해짐을 증명했다. 절댓값이 11 값인 복소수에 대해서는 그 정리가 말하는 것은 아래와 같다.

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

E(θ)E(\theta) 기호로 복소수 cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta 식을 나타내기로 하면, 위의 등식은 E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta) 식으로 쓰이고, 또한 E(0)=1E(0) = 1 식이 성립한다. 그런데 합을 곱으로 바꾸는 것은 거듭제곱의 특징적인 성질 ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y 식이며, 이는 강좌 대수학과 기하학 I의 지수함수에 관한 수업에서 공부했다. 또한 드무아브르 공식 E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta) 식은 드무아브르 공식에 관한 수업에서 증명했는데, 이는 바로 법칙 (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx} 식이다. 따라서 모든 것이 E(θ)E(\theta) 식은 지수가 θ\theta 값에 비례하는 거듭제곱이라는 것을 시사한다. 어떤 거듭제곱인지는 지수함수의 급수가 알려 준다.

허수 지수에 대한 지수함수의 급수

강좌 I의 수 e에 관한 수업에서는 ee 수가 계승의 역수로 이루어진 급수의 합임을 증명했다. 더 일반적으로, 모든 실수 xx에 대하여 아래의 세 등식이 성립한다. 여기서 무한히 많은 항의 합은, 그 수업에서와 같이, 부분합이 다가가는 값을 뜻한다.

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

이 세 급수는 여기서 증명 없이 받아들인다. 이 급수들은 테일러 정리로부터 얻어지며, 이 정리는 미적분학 II 강좌에서 공부한다. 거기에서는 이 급수들이 모든 실수 xx에 대하여 수렴한다는 것도 증명한다. 모든 복소수 xx에 대한 첫째 급수의 수렴은 급수와 복소함수의 이론에 속한다. 지수함수의 급수는 덧셈, 곱셈, 나눗셈만 사용하고 이 연산들은 C\mathbb{C} 집합에서 의미가 있으므로, x=iθx = i\theta 값에서 값을 구할 수 있다. 그러나 기호 eiθe^{i\theta} 식은 아직 아무 의미도 없다. 허수 지수의 거듭제곱은 같은 인수들의 곱도 아니고 실수 지수함수의 값도 아니다. 따라서 아래 예의 계산은 eiθe^{i\theta} 식이 어떤 값과 같다는 증명이 아니라 하나의 동기 부여이다. 이 계산은 iθi\theta 값에서 급수의 합이 cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta 식임을 보여 주므로, 급수가 허수 지수에 대해서도 지수함수를 계속 정의해야 한다면 다른 선택은 있을 수 없다.

예시허수에서의 지수함수의 급수

θ\theta 값이 실수라고 하자. x=iθx = i\theta 식을 지수함수의 급수에 대입하고, ii 수의 거듭제곱의 주기적인 반복(강좌 I의 복소수에 관한 수업)을 이용하여 첨자가 짝수인 항과 홀수인 항을 나눈다. 그림은 θ=π\theta = \pi인 경우에 대하여 부분합 SnS_n 식을 꺾은선으로 그린다. 각 항은 바로 앞의 항을 사분의 일 회전시키고 θk\frac{\theta}{k} 값을 곱한 것이다.

풀이

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    급수의 xx 문자를 iθi\theta 식으로 바꾼다. 그 합에는 아직 이름을 붙이지 않는다. 처음 두 부분합은 S0=1S_0 = 1 식과 S1=1+iθS_1 = 1 + i\theta 식이다.

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    ii 수의 짝수 거듭제곱은 (−1)m(-1)^m 값이다. i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m 식이기 때문이다. 홀수 거듭제곱은 ii 수를 곱하여 얻는다. 첨자가 짝수인 항은 실수이고, 첨자가 홀수인 항은 순허수이다.

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    부분합 S2N+1S_{2N + 1} 식(항이 유한 개인)에서 첨자가 짝수인 항을 한쪽에, 홀수인 항을 다른 쪽에 모으고, 뒤의 것들에서 인수 ii 수를 묶어 낸다. 코사인의 급수와 사인의 급수의 부분합이 얻어진다.

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    받아들인 급수에 의해 두 실수 합은 θ\theta 값의 코사인과 사인에 다가간다. 그리고 S2NS_{2N} 식과 S2N+1S_{2N + 1} 식은 한 항만 다르며, 그 항은 00 값에 다가간다. 급수의 합은 절댓값이 11 값이고 편각이 θ\theta 값인 복소수이다.

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    θ=π\theta = \pi일 때 부분합의 꺾은선은 나선 모양으로 돌면서 −1-1 값에 다가간다. 합 S12S_{12} 식과 −1-1 값 사이의 거리는 천분의 일보다 작다.

위의 계산은 받아들인 급수에 근거하여 급수의 합을 결정한다. 그러나 그 합이 “ee 수의 iθi\theta 제곱”임을 증명할 수는 없다. 이 표현은 미리 주어진 의미가 없기 때문이다. 따라서 이것을 정의로 채택한다.

허수 지수함수

모든 실수 θ\theta에 대하여 허수 지수함수 eiθe^{i\theta} 식은 절댓값이 11 값이고 편각이 θ\theta 값인 복소수이며, 오일러 공식으로 주어진다. 이 공식은 레온하르트 오일러가 1748년에 발표했다.
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

θ=0\theta = 0로 놓으면 ei0=1e^{i0} = 1 식이 되어 지수법칙이 요구하는 대로이다. 극형식의 성질과 드무아브르 공식은 이제 거듭제곱의 법칙으로 바뀌며, 더 이상 각에 관한 규칙으로 외울 필요가 없다.

정리허수 지수함수

모든 실수 θ\theta, α\alpha, β\beta와 모든 정수 nn에 대하여 복소수 eiθe^{i\theta} 식의 절댓값은 11 값이다. eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} 식과 (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta} 식이 성립한다. eiθe^{i\theta} 식의 역수는 그 켤레복소수 e−iθe^{-i\theta} 식이며, eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} 식이 성립할 필요충분조건은 α−β\alpha - \beta 값이 2π2\pi 값의 정수배인 것이다. 각 주장은 앞선 수업들의 결과를 옮겨 쓴 것이다. 그림은 점 eiθe^{i\theta} 식을 보여 준다. 이 점은 반지름이 11 값인 원을 시계 반대 방향으로 돌며, θ\theta 값이 커짐에 따라 나아간다.

증명

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    절댓값은 11 값이다. 이는 기본 삼각항등식에 관한 수업의 기본 항등식에 의한 것이다. 점 eiθe^{i\theta} 식은 반지름이 11 값인 원 위에서 각 θ\theta에 대응하는 점이다.

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    곱의 법칙은 절댓값이 모두 11 값인 경우의 극형식에서의 곱의 정리이다. 편각이 더해진다.

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    거듭제곱은 드무아브르 공식이며, 모든 정수 nn에 대하여 성립한다.

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    코사인은 우함수이고 사인은 기함수이므로, e−iθe^{-i\theta} 식은 eiθe^{i\theta} 식의 켤레복소수, 즉 실수축에 대한 대칭점이다. 그리고 곱의 법칙에 의해, β=−α\beta = -\alpha 식으로 놓으면 그것은 그 역수이기도 하다.

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    극형식에서의 복소수의 상등에 의해, 절댓값이 11 값인 두 복소수가 같을 필요충분조건은 편각의 차가 2π2\pi 값의 정수배인 것이다. 한 바퀴를 돌면 점은 다시 같은 자리를 지난다.

오일러 항등식

θ=π\theta = \pi로 놓으면 오일러 공식은 eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 식을 준다. 즉,

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

이 등식은 오일러 항등식이라 불리며, 수 00과 11(덧셈과 곱셈의 항등원), 허수단위 ii, 그리고 해석학의 두 기본 상수 ee와 π\pi를 하나의 관계식으로 묶는다. 마찬가지로 eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i 식, e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i 식, e2πi=1e^{2\pi i} = 1 식이 성립한다. 특히 i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}} 식이므로 ii 수의 거듭제곱은 in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}} 값이다. 강좌 I의 복소수에 관한 수업에서 본 주기가 44인 반복은 바로 허수 지수함수의 주기성이다. 사분의 일 회전 네 번을 합하면 2π2\pi 값이 되기 때문이다.