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सम्मिश्र चरघातांकी फलन और ऑयलर सूत्र

सारांश

यह पाठ किसी सम्मिश्र संख्या का चरघातांकी फलन परिभाषित करता है। यह दो प्रेक्षणों से आरंभ करता है: सम्मिश्र संख्या cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta कोणों के योगों को गुणनफलों में बदल देती है, जैसे कोई घात घातांकों के योगों को गुणनफलों में बदल देती है; और चरघातांकी फलन की श्रेणी, किसी काल्पनिक संख्या पर मान निकालने पर, कोज्या और ज्या की श्रेणियों में अलग हो जाती है। दोनों प्रेक्षण ऑयलर सूत्र eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta तक और परिभाषा ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right) तक ले जाते हैं। यह पाठ सिद्ध करता है कि सम्मिश्र चरघातांकी फलन योगों को गुणनफलों में बदलता है, कि उसका मापांक eae^a है और कोणांक bb, कि वह कभी शून्य नहीं होता और कि वह आवर्तकाल 2πi2\pi i वाला आवर्ती फलन है; प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को चरघातांकी रूप reiθr e^{i\theta} में लिखता है; कोज्या और ज्या को चरघातांकी फलनों द्वारा व्यक्त करता है, उन्हें पूरे तल तक विस्तारित करता है और उनमें अतिपरवलयिक फलनों को खोजता है। अंत में यह सम्मिश्र लघुगणक पर आता है, जिसके अनंत मान होते हैं, और सम्मिश्र घातांक वाली घातों पर, जिनमें से iii^i एक वास्तविक संख्या निकलती है।

अधिगम उद्देश्य

  1. समझाना कि घातांक के नियम और चरघातांकी फलन की श्रेणी ऑयलर सूत्र तक क्यों ले जाते हैं, उस अनुमानी परिकलन को उपपत्ति से अलग पहचानना और चरघातांकी फलन की परिभाषा को प्रत्येक सम्मिश्र घातांक तक विस्तारित करना।
  2. सम्मिश्र चरघातांकी फलन के गुणधर्म (योग का चरघातांकी, मापांक, कोणांक और आवर्तता) सिद्ध करना और सम्मिश्र संख्याओं के चरघातांकी रूप के साथ संक्रियाएँ करना।
  3. कोज्या और ज्या को चरघातांकी फलनों द्वारा व्यक्त करना, उन्हें सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करना, निर्णय करना कि कौन-सी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ C\mathbb{C} में भी सत्य रहती हैं, और उन्हें अतिपरवलयिक फलनों से संबद्ध करना।
  4. समीकरण ew=ze^w = z हल करना, मुख्य लघुगणक परिभाषित करना, सम्मिश्र घातांक वाली घातें परिकलित करना और समझाना कि उनके सामान्यतः अनंत मान क्यों होते हैं।

ऑयलर सूत्र

सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप वाले पाठ में सिद्ध किया गया कि दो सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करने पर मापांक गुणा होते हैं और कोणांक जुड़ते हैं। मापांक 11 वाली सम्मिश्र संख्याओं के लिए वह प्रमेय कहती है कि

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

यदि E(θ)E(\theta) से सम्मिश्र संख्या cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta को निरूपित किया जाए, तो ऊपर वाली समता E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta) के रूप में लिखी जाती है, और इसके अतिरिक्त E(0)=1E(0) = 1 भी सत्य है। अब, योगों को गुणनफलों में बदलना घातों का अभिलाक्षणिक गुण है, ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y, जिसका अध्ययन पाठ्यक्रम बीजगणित और ज्यामिति I के चरघातांकी फलन वाले पाठ में किया गया; और डी मॉयवर सूत्र, E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta), जो डी मॉयवर सूत्र वाले पाठ में सिद्ध किया गया, नियम (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx} ही है। इसलिए सब कुछ यही सुझाता है कि E(θ)E(\theta) एक ऐसी घात है जिसका घातांक θ\theta के समानुपाती है। चरघातांकी फलन की श्रेणी बताती है कि कौन-सी घात।

काल्पनिक घातांक के साथ चरघातांकी फलन की श्रेणी

पाठ्यक्रम I के संख्या e वाले पाठ में सिद्ध किया गया कि ee क्रमगुणितों के व्युत्क्रमों की श्रेणी का योग है। अधिक व्यापक रूप से, प्रत्येक वास्तविक संख्या xx के लिए निम्नलिखित तीन समताएँ सत्य हैं, जिनमें अनंत पदों के योगों का अर्थ, वहाँ की तरह, वह मान है जिसके निकट आंशिक योग पहुँचते जाते हैं:

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

ये तीन श्रेणियाँ यहाँ बिना उपपत्ति के स्वीकार की जाती हैं: ये टेलर प्रमेय से प्राप्त होती हैं, जिसका अध्ययन कलन II पाठ्यक्रम में होता है, जहाँ यह भी सिद्ध किया जाता है कि ये प्रत्येक वास्तविक संख्या xx के लिए अभिसारी हैं; प्रत्येक सम्मिश्र संख्या xx के लिए पहली श्रेणी का अभिसरण श्रेणियों और सम्मिश्र चर के अध्ययन का विषय है। चरघातांकी फलन की श्रेणी केवल योग, गुणा और भाग का प्रयोग करती है, जिनका C\mathbb{C} में अर्थ है, और इसलिए उसका मान x=iθx = i\theta पर निकाला जा सकता है। किंतु प्रतीक eiθe^{i\theta} का अभी कोई अर्थ नहीं है: काल्पनिक घातांक वाली घात न तो समान गुणनखंडों का गुणनफल है, न वास्तविक चरघातांकी का मान। इसलिए नीचे दिए गए उदाहरण का परिकलन इस बात की उपपत्ति नहीं है कि eiθe^{i\theta} का कोई निश्चित मान है, बल्कि एक प्रेरणा है: वह दिखाता है कि iθi\theta पर श्रेणी का योग cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta है, इसलिए यदि श्रेणी को काल्पनिक घातांकों के लिए भी चरघातांकी फलन को परिभाषित करते रहना है, तो कोई दूसरा विकल्प संभव नहीं है।

उदाहरणकिसी काल्पनिक संख्या पर चरघातांकी फलन की श्रेणी

मान लीजिए θ\theta वास्तविक है। हम चरघातांकी फलन की श्रेणी में x=iθx = i\theta प्रतिस्थापित करते हैं और, ii की घातों के चक्र की सहायता से, जो पाठ्यक्रम I के सम्मिश्र संख्याओं वाले पाठ में आया था, सम सूचकांक वाले पदों को विषम सूचकांक वाले पदों से अलग करते हैं। आकृति, θ=π\theta = \pi के लिए, आंशिक योगों SnS_n को एक टूटी हुई रेखा के रूप में दिखाती है: प्रत्येक पद उससे ठीक पहले वाला पद है जिसे चौथाई चक्कर घुमाकर θk\frac{\theta}{k} से गुणा किया गया है।

हल

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    हम श्रेणी में xx के स्थान पर iθi\theta रखते हैं, उसके योग को अभी कोई नाम दिए बिना। पहले दो आंशिक योग S0=1S_0 = 1 और S1=1+iθS_1 = 1 + i\theta हैं।

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    ii की सम घातांक वाली घातें (−1)m(-1)^m हैं, क्योंकि i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m; विषम घातांक वाली घातें ii से गुणा करके प्राप्त होती हैं। सम सूचकांक वाले पद वास्तविक हैं और विषम सूचकांक वाले पद विशुद्ध काल्पनिक।

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    आंशिक योग S2N+1S_{2N + 1} में, जिसमें पदों की संख्या परिमित है, हम एक ओर सम सूचकांक वाले पदों को और दूसरी ओर विषम सूचकांक वाले पदों को इकट्ठा करते हैं, और दूसरे समूह से गुणनखंड ii बाहर निकालते हैं: कोज्या और ज्या की श्रेणियों के आंशिक योग प्राप्त होते हैं।

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    स्वीकार की गई श्रेणियों के अनुसार दोनों वास्तविक योग θ\theta की कोज्या और ज्या के निकट पहुँचते हैं; और S2NS_{2N} और S2N+1S_{2N + 1} में केवल एक पद का अंतर है, जो 00 के निकट पहुँचता है। श्रेणी का योग वह सम्मिश्र संख्या है जिसका मापांक 11 और कोणांक θ\theta है।

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    θ=π\theta = \pi होने पर आंशिक योगों की टूटी हुई रेखा सर्पिल रूप में घूमती हुई −1-1 के निकट पहुँचती है: योग S12S_{12} की −1-1 से दूरी एक हज़ारवें से कम है।

ऊपर का परिकलन, जो स्वीकार की गई श्रेणियों पर टिका है, श्रेणी का योग निर्धारित करता है; जो वह नहीं कर सकता, वह यह सिद्ध करना है कि वह योग “ee की घात iθi\theta” है, क्योंकि इस व्यंजक का पहले से कोई अर्थ नहीं है। इसलिए इसे परिभाषा के रूप में अपनाया जाता है।

काल्पनिक चरघातांकी

प्रत्येक वास्तविक संख्या θ\theta के लिए काल्पनिक चरघातांकी eiθe^{i\theta} वह सम्मिश्र संख्या है जिसका मापांक 11 और कोणांक θ\theta है, और जो ऑयलर सूत्र द्वारा दी जाती है, जिसे लियोनहार्ड ऑयलर ने 1748 में प्रकाशित किया।
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

θ=0\theta = 0 होने पर ei0=1e^{i0} = 1 प्राप्त होता है, जैसी घातांक के नियम की माँग है। ध्रुवीय रूप के गुणधर्म और डी मॉयवर सूत्र अब घातों के नियमों में बदल जाते हैं, जिन्हें अब कोणों के बारे में नियमों के रूप में याद रखने की आवश्यकता नहीं है।

प्रमेयकाल्पनिक चरघातांकी

सभी वास्तविक संख्याओं θ\theta, α\alpha और β\beta तथा प्रत्येक पूर्णांक nn के लिए सम्मिश्र संख्या eiθe^{i\theta} का मापांक 11 है; eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} और (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta} सत्य हैं; eiθe^{i\theta} का प्रतिलोम उसका संयुग्मी e−iθe^{-i\theta} है, और eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} तभी और केवल तभी सत्य है जब α−β\alpha - \beta, 2π2\pi का पूर्णांक गुणज हो। प्रत्येक कथन पहले के पाठों के किसी परिणाम का अनुवाद है। आकृति बिंदु eiθe^{i\theta} दिखाती है, जो त्रिज्या 11 वाले वृत्त पर वामावर्त दिशा में चलता है, और θ\theta के बढ़ने के साथ आगे बढ़ता है।

प्रमाण

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    मापांक 11 है, आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ वाले पाठ की आधारभूत सर्वसमिका के कारण: बिंदु eiθe^{i\theta} त्रिज्या 11 वाले वृत्त का वह बिंदु है जो कोण θ\theta के संगत है।

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    गुणनफल का नियम दोनों मापांक 11 के बराबर होने की स्थिति में ध्रुवीय रूप में गुणनफल की प्रमेय है: कोणांक जुड़ते हैं।

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    घात डी मॉयवर सूत्र है, जो प्रत्येक पूर्णांक nn के लिए सत्य है।

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    चूँकि कोज्या सम है और ज्या विषम, e−iθe^{-i\theta}, eiθe^{i\theta} का संयुग्मी है, अर्थात् वास्तविक अक्ष के सापेक्ष उसका सममित बिंदु; और गुणनफल के नियम से, β=−α\beta = -\alpha लेने पर, वह उसका प्रतिलोम भी है।

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं की समता से, मापांक 11 वाली दो सम्मिश्र संख्याएँ तभी और केवल तभी बराबर होती हैं जब उनके कोणांकों का अंतर 2π2\pi का पूर्णांक गुणज हो: एक पूरे चक्कर के बाद बिंदु फिर उसी स्थान से गुज़रता है।

ऑयलर सर्वसमिका

θ=π\theta = \pi होने पर ऑयलर सूत्र eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 देता है, अर्थात्:

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

यह समता, जिसे ऑयलर सर्वसमिका कहा जाता है, एक ही संबंध में संख्याओं 00 और 11 को, जो योग और गुणा के तत्समक हैं, काल्पनिक एकांक ii को और विश्लेषण के दो मौलिक अचरों ee और π\pi को एक साथ लाती है। इसी प्रकार eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i, e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i और e2πi=1e^{2\pi i} = 1। विशेष रूप से, चूँकि i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}}, ii की घातें in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}} हैं: पाठ्यक्रम I के सम्मिश्र संख्याओं वाले पाठ का आवर्तकाल 44 वाला चक्र काल्पनिक चरघातांकी की आवर्तता ही है, क्योंकि चार चौथाई चक्कर मिलकर 2π2\pi होते हैं।