Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση και ο τύπος του Όιλερ

Περίληψη

Το μάθημα αυτό ορίζει την εκθετική συνάρτηση ενός μιγαδικού αριθμού. Ξεκινά από δύο παρατηρήσεις: ο μιγαδικός cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta μετατρέπει τα αθροίσματα γωνιών σε γινόμενα, όπως μια δύναμη μετατρέπει τα αθροίσματα εκθετών σε γινόμενα, και η σειρά της εκθετικής συνάρτησης, όταν υπολογίζεται σε έναν φανταστικό αριθμό, χωρίζεται στις σειρές του συνημιτόνου και του ημιτόνου. Και οι δύο οδηγούν στον τύπο του Όιλερ, eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta, και στον ορισμό ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right). Το μάθημα αποδεικνύει ότι η μιγαδική εκθετική συνάρτηση μετατρέπει τα αθροίσματα σε γινόμενα, ότι το μέτρο της είναι eae^a και το όρισμά της bb, ότι δεν μηδενίζεται ποτέ και ότι είναι περιοδική με περίοδο 2πi2\pi i· γράφει κάθε μιγαδικό στην εκθετική μορφή reiθr e^{i\theta}· εκφράζει το συνημίτονο και το ημίτονο μέσω εκθετικών, τα επεκτείνει σε όλο το επίπεδο και ανακαλύπτει σε αυτά τις υπερβολικές συναρτήσεις. Κλείνει με τον μιγαδικό λογάριθμο, που έχει άπειρες τιμές, και με τις δυνάμεις με μιγαδικό εκθέτη, ανάμεσα στις οποίες η iii^i αποδεικνύεται πραγματικός αριθμός.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να εξηγεί γιατί ο νόμος των εκθετών και η σειρά της εκθετικής συνάρτησης οδηγούν στον τύπο του Όιλερ, να διακρίνει αυτόν τον ευρετικό υπολογισμό από μια απόδειξη και να επεκτείνει τον ορισμό της εκθετικής συνάρτησης σε κάθε μιγαδικό εκθέτη.
  2. Να αποδεικνύει τις ιδιότητες της μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης (εκθετική συνάρτηση αθροίσματος, μέτρο, όρισμα και περιοδικότητα) και να κάνει πράξεις με την εκθετική μορφή των μιγαδικών.
  3. Να εκφράζει το συνημίτονο και το ημίτονο μέσω εκθετικών, να τα επεκτείνει στους μιγαδικούς, να κρίνει ποιες τριγωνομετρικές ταυτότητες εξακολουθούν να ισχύουν στο C\mathbb{C} και να τα συσχετίζει με τις υπερβολικές συναρτήσεις.
  4. Να λύνει την εξίσωση ew=ze^w = z, να ορίζει τον πρωτεύοντα λογάριθμο, να υπολογίζει δυνάμεις με μιγαδικό εκθέτη και να εξηγεί γιατί έχουν, γενικά, άπειρες τιμές.

Ο τύπος του Όιλερ

Στο μάθημα για την πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών αποδείχθηκε ότι, όταν πολλαπλασιάζουμε δύο μιγαδικούς, τα μέτρα πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματα προστίθενται. Για τους μιγαδικούς με μέτρο 11, το θεώρημα λέει ότι

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Αν συμβολίσουμε με E(θ)E(\theta) τον μιγαδικό cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, η παραπάνω ισότητα γράφεται E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta), και επιπλέον E(0)=1E(0) = 1. Όμως η μετατροπή των αθροισμάτων σε γινόμενα είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των δυνάμεων, ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y, που μελετήθηκε στο μάθημα του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για την εκθετική συνάρτηση· και ο τύπος του Ντε Μουάβρ, E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta), που αποδείχθηκε στο μάθημα για τον τύπο του Ντε Μουάβρ, είναι ο νόμος (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx}. Όλα υποδηλώνουν, συνεπώς, ότι ο E(θ)E(\theta) είναι μια δύναμη με εκθέτη ανάλογο του θ\theta. Η σειρά της εκθετικής συνάρτησης δείχνει ποια.

Η σειρά της εκθετικής συνάρτησης με φανταστικό εκθέτη

Στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τον αριθμό e αποδείχθηκε ότι ο ee είναι το άθροισμα της σειράς των αντιστρόφων των παραγοντικών. Γενικότερα, για κάθε πραγματικό xx ισχύουν οι τρεις ακόλουθες ισότητες, στις οποίες τα αθροίσματα με άπειρους όρους σημαίνουν, όπως εκεί, την τιμή που προσεγγίζουν τα μερικά αθροίσματα:

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

Οι τρεις αυτές σειρές γίνονται δεκτές εδώ χωρίς απόδειξη: προκύπτουν με το θεώρημα του Τέιλορ, που μελετάται στον κύκλο μαθημάτων Λογισμός II, όπου αποδεικνύεται επιπλέον ότι συγκλίνουν για κάθε πραγματικό xx· η σύγκλιση της πρώτης για κάθε μιγαδικό xx ανήκει στη μελέτη των σειρών και της μιγαδικής ανάλυσης. Η σειρά της εκθετικής συνάρτησης χρησιμοποιεί μόνο προσθέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις, που έχουν νόημα στο C\mathbb{C}, και μπορεί να υπολογιστεί στο x=iθx = i\theta. Όμως το σύμβολο eiθe^{i\theta} δεν έχει ακόμη κανένα νόημα: μια δύναμη με φανταστικό εκθέτη δεν είναι γινόμενο ίσων παραγόντων ούτε τιμή της πραγματικής εκθετικής συνάρτησης. Ο υπολογισμός του παραδείγματος που ακολουθεί δεν είναι, συνεπώς, απόδειξη ότι το eiθe^{i\theta} ισούται με κάτι, αλλά κίνητρο: δείχνει ότι το άθροισμα της σειράς στο iθi\theta είναι cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, ώστε, αν η σειρά πρόκειται να εξακολουθήσει να ορίζει την εκθετική συνάρτηση για φανταστικούς εκθέτες, δεν υπάρχει άλλη δυνατή επιλογή.

ΠαράδειγμαΗ σειρά της εκθετικής συνάρτησης σε έναν φανταστικό αριθμό

Έστω θ\theta πραγματικός. Θέτουμε x=iθx = i\theta στη σειρά της εκθετικής συνάρτησης και χωρίζουμε τους όρους άρτιου δείκτη από τους όρους περιττού δείκτη, με τον κύκλο των δυνάμεων του ii από το μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τους μιγαδικούς αριθμούς. Το σχήμα σχεδιάζει, για θ=π\theta = \pi, τα μερικά αθροίσματα SnS_n ως τεθλασμένη γραμμή: κάθε όρος είναι ο όρος με δείκτη κατά ένα μικρότερο, στραμμένος κατά ένα τέταρτο της στροφής και πολλαπλασιασμένος επί θk\frac{\theta}{k}.

Λύση

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    Αντικαθιστούμε το xx με iθi\theta στη σειρά, χωρίς να δώσουμε ακόμη κανένα όνομα στο άθροισμά της. Τα δύο πρώτα μερικά αθροίσματα είναι S0=1S_0 = 1 και S1=1+iθS_1 = 1 + i\theta.

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    Οι δυνάμεις του ii με άρτιο εκθέτη είναι (−1)m(-1)^m, επειδή i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m· οι δυνάμεις με περιττό εκθέτη προκύπτουν με πολλαπλασιασμό επί ii. Οι όροι άρτιου δείκτη είναι πραγματικοί και οι όροι περιττού δείκτη φανταστικοί.

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    Στο μερικό άθροισμα S2N+1S_{2N + 1}, που έχει πεπερασμένο πλήθος όρων, συγκεντρώνουμε αφενός τους όρους άρτιου δείκτη και αφετέρου τους όρους περιττού δείκτη, και βγάζουμε τον παράγοντα ii από τους δεύτερους: προκύπτουν τα μερικά αθροίσματα των σειρών του συνημιτόνου και του ημιτόνου.

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    Τα δύο πραγματικά αθροίσματα προσεγγίζουν το συνημίτονο και το ημίτονο του θ\theta, λόγω των σειρών που έγιναν δεκτές· και το S2NS_{2N} διαφέρει από το S2N+1S_{2N + 1} κατά έναν όρο που προσεγγίζει το 00. Το άθροισμα της σειράς είναι ο μιγαδικός με μέτρο 11 και όρισμα θ\theta.

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    Για θ=π\theta = \pi, η τεθλασμένη γραμμή των μερικών αθροισμάτων στρέφεται σε σπείρα και πλησιάζει το −1-1: το άθροισμα S12S_{12} απέχει από το −1-1 λιγότερο από ένα χιλιοστό.

Ο παραπάνω υπολογισμός, που στηρίζεται στις σειρές που έγιναν δεκτές, προσδιορίζει το άθροισμα της σειράς· αυτό που δεν μπορεί να κάνει είναι να αποδείξει ότι το άθροισμα αυτό είναι «το ee υψωμένο στη iθi\theta», επειδή η έκφραση αυτή δεν έχει εκ των προτέρων κανένα νόημα. Υιοθετείται, συνεπώς, ως ορισμός.

Η φανταστική εκθετική συνάρτηση

Για κάθε πραγματικό αριθμό θ\theta, η φανταστική εκθετική συνάρτηση eiθe^{i\theta} είναι ο μιγαδικός με μέτρο 11 και όρισμα θ\theta που δίνεται από τον τύπο του Όιλερ, τον οποίο δημοσίευσε ο Λέοναρντ Όιλερ το 1748.
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

Για θ=0\theta = 0 προκύπτει ei0=1e^{i0} = 1, όπως απαιτεί ο νόμος των εκθετών. Οι ιδιότητες της πολικής μορφής και ο τύπος του Ντε Μουάβρ μεταφράζονται τώρα στις ιδιότητες των δυνάμεων, που δεν χρειάζεται πια να τις θυμόμαστε ως κανόνες για γωνίες.

ΘεώρημαΗ φανταστική εκθετική συνάρτηση

Για όλους τους πραγματικούς θ\theta, α\alpha και β\beta και κάθε ακέραιο nn, ο μιγαδικός eiθe^{i\theta} έχει μέτρο 11· ισχύουν eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} και (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}· ο αντίστροφος του eiθe^{i\theta} είναι ο συζυγής του e−iθe^{-i\theta}, και eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} αν και μόνο αν η διαφορά α−β\alpha - \beta είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi. Κάθε ισχυρισμός είναι η μετάφραση ενός αποτελέσματος των μαθημάτων που έχουμε ήδη μελετήσει. Το σχήμα δείχνει το σημείο eiθe^{i\theta}, που διατρέχει τον κύκλο ακτίνας 11 αντίθετα προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού καθώς το θ\theta αυξάνεται.

Απόδειξη

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    Το μέτρο είναι 11 λόγω της θεμελιώδους ταυτότητας του μαθήματος για τις θεμελιώδεις τριγωνομετρικές ταυτότητες: το σημείο eiθe^{i\theta} είναι το σημείο του κύκλου ακτίνας 11 που αντιστοιχεί στη γωνία θ\theta.

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    Ο κανόνας του γινομένου είναι το θεώρημα του γινομένου σε πολική μορφή με μέτρα ίσα με 11: τα ορίσματα προστίθενται.

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    Η δύναμη είναι ο τύπος του Ντε Μουάβρ, που ισχύει για κάθε ακέραιο nn.

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    Επειδή το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση και το ημίτονο περιττή, ο e−iθe^{-i\theta} είναι ο συζυγής του eiθe^{i\theta}, το συμμετρικό του ως προς τον πραγματικό άξονα· και από την ιδιότητα του γινομένου, με β=−α\beta = -\alpha, είναι επίσης ο αντίστροφός του.

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Από την ισότητα των μιγαδικών σε πολική μορφή, δύο μιγαδικοί με μέτρο 11 συμπίπτουν αν και μόνο αν τα ορίσματά τους διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi: μετά από μια πλήρη στροφή, το σημείο ξαναπερνά από την ίδια θέση.

Η ταυτότητα του Όιλερ

Για θ=π\theta = \pi, ο τύπος του Όιλερ δίνει eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1, δηλαδή:

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

Η ισότητα αυτή, που ονομάζεται ταυτότητα του Όιλερ, συγκεντρώνει σε μία μόνο σχέση τους αριθμούς 00 και 11, ουδέτερα στοιχεία της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, τη φανταστική μονάδα ii και τις δύο θεμελιώδεις σταθερές της ανάλυσης, ee και π\pi. Με τον ίδιο τρόπο, eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i, e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i και e2πi=1e^{2\pi i} = 1. Ειδικότερα, επειδή i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}}, οι δυνάμεις του ii είναι in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}}: ο κύκλος με περίοδο 44 από το μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τους μιγαδικούς αριθμούς είναι η περιοδικότητα της φανταστικής εκθετικής συνάρτησης, επειδή τέσσερα τέταρτα της στροφής δίνουν άθροισμα 2π2\pi.