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Topos Uranos
Deutsch

Die komplexe Exponentialfunktion und die eulersche Formel

Zusammenfassung

Diese Lektion definiert das Exponential einer komplexen Zahl. Sie geht von zwei Beobachtungen aus: Die komplexe Zahl cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta verwandelt Summen von Winkeln in Produkte, wie eine Potenz Summen von Exponenten in Produkte verwandelt, und die Exponentialreihe, an einer imaginären Zahl ausgewertet, zerfällt in die Reihen des Kosinus und des Sinus. Beide führen zur eulerschen Formel, eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta, und zur Definition ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right). Die Lektion beweist, dass die komplexe Exponentialfunktion Summen in Produkte überführt, dass ihr Betrag eae^a und ihr Argument bb ist, dass sie nirgends verschwindet und dass sie periodisch mit der Periode 2πi2\pi i ist; sie schreibt jede komplexe Zahl in der Exponentialform reiθr e^{i\theta}; sie drückt Kosinus und Sinus durch Exponentiale aus, setzt sie auf die ganze Ebene fort und entdeckt in ihnen die Hyperbelfunktionen. Sie schließt mit dem komplexen Logarithmus, der unendlich viele Werte hat, und mit den Potenzen mit komplexem Exponenten, unter denen sich iii^i als reelle Zahl erweist.

Lernziele

  1. Erklären, warum das Potenzgesetz und die Exponentialreihe zur eulerschen Formel führen, diese heuristische Rechnung von einem Beweis unterscheiden und die Definition der Exponentialfunktion auf jeden komplexen Exponenten ausdehnen.
  2. Die Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion beweisen (Exponential einer Summe, Betrag, Argument und Periodizität) und mit der Exponentialform komplexer Zahlen rechnen.
  3. Kosinus und Sinus durch Exponentiale ausdrücken, sie auf die komplexen Zahlen fortsetzen, entscheiden, welche trigonometrischen Identitäten in C\mathbb{C} gültig bleiben, und sie mit den Hyperbelfunktionen in Beziehung setzen.
  4. Die Gleichung ew=ze^w = z lösen, den Hauptwert des Logarithmus definieren, Potenzen mit komplexem Exponenten berechnen und erklären, warum sie im Allgemeinen unendlich viele Werte haben.

Die eulersche Formel

In der Lektion über die Polarform der komplexen Zahlen wurde bewiesen, dass sich bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen die Beträge multiplizieren und die Argumente addieren. Für komplexe Zahlen vom Betrag 11 besagt der Satz, dass

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Bezeichnet man mit E(θ)E(\theta) die komplexe Zahl cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, so schreibt sich die obige Gleichung E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta), und außerdem gilt E(0)=1E(0) = 1. Nun ist die Umwandlung von Summen in Produkte die kennzeichnende Eigenschaft der Potenzen, ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y, die in der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über die Exponentialfunktion untersucht wurde; und die Formel von de Moivre, E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta), die in der Lektion über die Formel von de Moivre bewiesen wurde, ist das Gesetz (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx}. Alles legt also nahe, dass E(θ)E(\theta) eine Potenz mit einem zu θ\theta proportionalen Exponenten ist. Die Exponentialreihe zeigt, welche.

Die Exponentialreihe mit imaginärem Exponenten

In der Lektion von Kurs I über die Zahl e wurde bewiesen, dass ee die Summe der Reihe der Kehrwerte der Fakultäten ist. Allgemeiner gelten für jedes reelle xx die drei folgenden Gleichungen, in denen Summen unendlich vieler Terme, wie dort, den Wert bedeuten, dem sich die Partialsummen nähern:

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

Diese drei Reihen werden hier ohne Beweis angenommen: Man erhält sie mit dem Satz von Taylor, der im Kurs Analysis II behandelt wird, wo außerdem bewiesen wird, dass sie für jedes reelle xx konvergieren; die Konvergenz der ersten für jedes komplexe xx gehört zur Theorie der Reihen und der komplexen Veränderlichen. Die Exponentialreihe verwendet nur Summen, Produkte und Divisionen, die in C\mathbb{C} sinnvoll sind, und kann an der Stelle x=iθx = i\theta ausgewertet werden. Nun hat das Symbol eiθe^{i\theta} noch keinerlei Bedeutung: Eine Potenz mit imaginärem Exponenten ist weder ein Produkt gleicher Faktoren noch der Wert der reellen Exponentialfunktion. Die Rechnung im folgenden Beispiel ist daher kein Beweis dafür, dass eiθe^{i\theta} irgendeinen Wert hat, sondern eine Motivation: Sie zeigt, dass die Summe der Reihe an der Stelle iθi\theta gleich cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta ist, sodass es keine andere mögliche Wahl gibt, wenn die Reihe die Exponentialfunktion auch für imaginäre Exponenten definieren soll.

BeispielDie Exponentialreihe an einer imaginären Zahl

Sei θ\theta reell. Wir setzen x=iθx = i\theta in die Exponentialreihe ein und trennen die Terme mit geradem Index von denen mit ungeradem Index, mithilfe des Zyklus der Potenzen von ii aus der Lektion von Kurs I über die komplexen Zahlen. Die Abbildung zeichnet für θ=π\theta = \pi die Partialsummen SnS_n als Streckenzug: Jeder Term ist der vorangehende, um eine Vierteldrehung gedreht und mit θk\frac{\theta}{k} multipliziert.

Lösung

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    Wir ersetzen xx durch iθi\theta in der Reihe, ohne ihrer Summe schon einen Namen zu geben. Die ersten beiden Partialsummen sind S0=1S_0 = 1 und S1=1+iθS_1 = 1 + i\theta.

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    Die Potenzen von ii mit geradem Exponenten sind (−1)m(-1)^m, weil i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m; die mit ungeradem Exponenten erhält man durch Multiplikation mit ii. Die Terme mit geradem Index sind reell und die mit ungeradem Index rein imaginär.

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    In der Partialsumme S2N+1S_{2N + 1}, die endlich viele Terme hat, fassen wir einerseits die mit geradem Index und andererseits die mit ungeradem Index zusammen und ziehen bei den zweiten den Faktor ii heraus: Es ergeben sich die Partialsummen der Reihen des Kosinus und des Sinus.

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    Die beiden reellen Summen nähern sich nach den angenommenen Reihen dem Kosinus und dem Sinus von θ\theta; und S2NS_{2N} unterscheidet sich von S2N+1S_{2N + 1} um einen Term, der sich 00 nähert. Die Summe der Reihe ist die komplexe Zahl vom Betrag 11 und mit dem Argument θ\theta.

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    Für θ=π\theta = \pi dreht sich der Streckenzug der Partialsummen spiralförmig und nähert sich −1-1: Die Summe S12S_{12} ist von −1-1 weniger als ein Tausendstel entfernt.

Die obige Rechnung, die auf den angenommenen Reihen beruht, bestimmt die Summe der Reihe; was sie nicht leisten kann, ist der Beweis, dass diese Summe „ee hoch iθi\theta“ ist, denn dieser Ausdruck hat vorher keinen Sinn. Man nimmt sie daher als Definition.

Die imaginäre Exponentialfunktion

Für jede reelle Zahl θ\theta bezeichnet die imaginäre Exponentialfunktion eiθe^{i\theta} die komplexe Zahl vom Betrag 11 und mit dem Argument θ\theta, die durch die eulersche Formel gegeben ist, die Leonhard Euler 1748 veröffentlichte.
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

Für θ=0\theta = 0 ergibt sich ei0=1e^{i0} = 1, wie es das Potenzgesetz verlangt. Die Eigenschaften der Polarform und die Formel von de Moivre übersetzen sich nun in die Potenzgesetze, die man nicht mehr als Regeln über Winkel im Gedächtnis behalten muss.

SatzDie imaginäre Exponentialfunktion

Für alle reellen θ\theta, α\alpha und β\beta und jede ganze Zahl nn hat die komplexe Zahl eiθe^{i\theta} den Betrag 11; es gelten eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} und (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}; das Inverse von eiθe^{i\theta} ist seine Konjugierte e−iθe^{-i\theta}, und eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} gilt genau dann, wenn α−β\alpha - \beta ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi ist. Jede Aussage ist die Übersetzung eines Ergebnisses früherer Lektionen. Die Abbildung zeigt den Punkt eiθe^{i\theta}, der den Kreis vom Radius 11 gegen den Uhrzeigersinn durchläuft, während θ\theta wächst.

Beweis

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    Der Betrag ist 11 nach dem trigonometrischen Pythagoras aus der Lektion über die grundlegenden trigonometrischen Identitäten: Der Punkt eiθe^{i\theta} ist der Punkt des Kreises vom Radius 11, der zum Winkel θ\theta gehört.

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    Die Produktregel ist der Satz über das Produkt in Polarform mit Beträgen gleich 11: Die Argumente addieren sich.

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    Die Potenz ist die Formel von de Moivre, die für jede ganze Zahl nn gilt.

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    Da der Kosinus gerade und der Sinus ungerade ist, ist e−iθe^{-i\theta} die Konjugierte von eiθe^{i\theta}, ihr Spiegelbild an der reellen Achse; und nach dem Produktgesetz, mit β=−α\beta = -\alpha, ist sie zugleich das Inverse dieser Zahl.

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Nach der Gleichheit komplexer Zahlen in Polarform stimmen zwei komplexe Zahlen vom Betrag 11 genau dann überein, wenn sich ihre Argumente um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi unterscheiden: Nach einer vollen Umdrehung kommt der Punkt wieder an derselben Stelle vorbei.

Die eulersche Identität

Für θ=π\theta = \pi liefert die eulersche Formel eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1, das heißt:

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

Diese Gleichung, die eulersche Identität heißt, vereint in einer einzigen Beziehung die Zahlen 00 und 11, die neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation, die imaginäre Einheit ii und die beiden grundlegenden Konstanten der Analysis, ee und π\pi. Ebenso gelten eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i, e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i und e2πi=1e^{2\pi i} = 1. Insbesondere sind, da i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}} gilt, die Potenzen von ii gleich in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}}: Der Zyklus der Periode 44 aus der Lektion von Kurs I über die komplexen Zahlen ist die Periodizität der imaginären Exponentialfunktion, denn vier Vierteldrehungen ergeben zusammen 2π2\pi.