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Topos Uranos
Deutsch

Geometrie mit komplexen Zahlen

Zusammenfassung

Diese Lektion verwendet die komplexen Zahlen als Koordinaten der Ebene und übersetzt die Begriffe der elementaren Geometrie in algebraische Operationen: Der Abstand ist der Betrag einer Differenz, der Mittelpunkt und der Schwerpunkt sind Mittelwerte, und die Bewegungen der Ebene sind kurze Formeln. Sie beweist, dass R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) die Drehung um cc mit dem Winkel φ\varphi ist, dass die Spiegelung an einer Geraden durch den Ursprung mit dem Winkel α\alpha gleich S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z} ist und dass die Verkettung zweier Spiegelungen eine Drehung ist. Sie kennzeichnet Kollinearität und Orthogonalität durch einen Quotienten, definiert die Orientierung eines Dreiecks durch das Vorzeichen des Imaginärteils dieses Quotienten, beweist, dass drei Punkte genau dann ein gleichseitiges Dreieck bilden, wenn z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0 gilt, mit ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}, und zeigt, dass die Punkte, deren Abstände von zwei festen Punkten in einem konstanten Verhältnis stehen, einen Kreis bilden, den Kreis des Apollonios. Die Aufgaben gipfeln im Satz von Napoleon.

Lernziele

  1. Punkte, Abstände, Mittelpunkte und Schwerpunkte mit komplexen Zahlen darstellen und Verschiebungen, Drehungen, zentrische Streckungen und Spiegelungen als Funktionen einer komplexen Variablen ausdrücken.
  2. Die Formeln der Drehung um einen Punkt und der Spiegelung an einer Geraden beweisen und die Verkettungen von Spiegelungen und von Drehungen untersuchen.
  3. Kollinearität, Orthogonalität und den Winkel zweier Strecken mit dem Quotienten zweier Differenzen entscheiden, die Orientierung eines Dreiecks durch das Vorzeichen des Imaginärteils dieses Quotienten bestimmen und das gleichseitige Dreieck mit der dritten Einheitswurzel ω\omega kennzeichnen.
  4. Kreise mit dem Betrag beschreiben, den Satz vom Kreis des Apollonios beweisen und diese Werkzeuge in klassischen Aufgaben einsetzen, etwa in denen von Napoleon und von van Aubel.

Punkte, Abstände und Mittelpunkte

Seit der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über das Rechnen mit komplexen Zahlen wird jede komplexe Zahl z=a+biz = a + bi mit dem Punkt (a,b)(a, b) der Ebene identifiziert, und die Differenz z−wz - w ist der Vektor, der vom Punkt ww zum Punkt zz führt; nach dem Satz des Pythagoras ist der Abstand der beiden Punkte ∣z−w∣\abs{z - w}. In dieser Lektion kehrt sich der Blickwinkel um: Man untersucht nicht die Zahlen mithilfe der Ebene, sondern die Ebene mithilfe der Zahlen. Eine Figur wird durch die komplexen Zahlen ihrer Punkte beschrieben, und eine geometrische Eigenschaft durch eine Gleichung zwischen ihnen.

Das wichtigste Werkzeug ist die komplexe Exponentialfunktion aus der Lektion über die komplexe Exponentialfunktion und die eulersche Formel. Für jede reelle Zahl φ\varphi ist die Zahl eiφe^{i\varphi} der Punkt des Kreises vom Radius 11, dessen Argument φ\varphi ist, und sie hat die folgenden Eigenschaften; die letzte gilt, weil cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi und sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi gilt:

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

Nach der Lektion über die Polarform der komplexen Zahlen schreibt sich jede von null verschiedene komplexe Zahl als z=reiθz = re^{i\theta}, mit r=∣z∣r = \abs{z} und mit θ\theta als einem Argument von zz; beim Multiplizieren zweier komplexer Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert, beim Dividieren die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert. Insbesondere erhält die Multiplikation von zz mit eiφe^{i\varphi} den Betrag und vergrößert das Argument um φ\varphi: Sie dreht den Punkt zz um den Winkel φ\varphi um den Ursprung, und zwar gegen den Uhrzeigersinn, falls φ>0\varphi > 0. Das Produkt mit i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}}, in der Lektion von Kurs I über die komplexen Zahlen als Vierteldrehung untersucht, ist der Fall φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2}.

Auch die Punkte einer Strecke lassen sich mit komplexen Zahlen beschreiben. Nach der Lektion von Kurs I über Vektoren und Parametergleichungen der Geraden sind die Punkte der Geraden durch z1z_1 und z2z_2 die der Form z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1) mit reellem tt, und die der Strecke, die sie verbindet, entsprechen 0≤t≤10 \leq t \leq 1.

LemmaMittelpunkt und Schwerpunkt im Komplexen

Der Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten z1z_1 und z2z_2 ist die halbe Summe m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2}. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks mit den Ecken z1z_1, z2z_2 und z3z_3 gehen durch den Punkt g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}, den sogenannten Schwerpunkt, der auf jeder Seitenhalbierenden nach zwei Dritteln des Weges von der Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite liegt. Das Lemma wurde mit Vektoren in der gelösten Aufgabe über die Seitenhalbierenden der Lektion von Kurs I über Vektoren und Parametergleichungen der Geraden bewiesen; der folgende Beweis überträgt es auf die komplexen Zahlen. Die Abbildung verfolgt ihn mit den Ecken z1=−2−iz_1 = -2 - i, z2=3−iz_2 = 3 - i und z3=2iz_3 = 2i.

Beweis

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    Der Punkt der Strecke, der t=12t = \frac{1}{2} entspricht, ist die halbe Summe der Endpunkte.

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    Er hat von beiden Endpunkten denselben Abstand, weil die beiden Vektoren, die ihn mit ihnen verbinden, gleich sind: Er ist der Mittelpunkt.

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    Auf der Seitenhalbierenden, die z3z_3 mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet, ist der Punkt, der t=23t = \frac{2}{3} entspricht, der folgende.

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    Der erhaltene Ausdruck ist symmetrisch in den drei Ecken; ist das so, dann liefert dieselbe Rechnung mit jeder der beiden anderen Seitenhalbierenden denselben Punkt, und alle drei gehen durch gg. Mit den Ecken der Abbildung gilt g=13g = \frac{1}{3}.

Der Mittelpunkt ist also der Mittelwert zweier komplexer Zahlen, und der Schwerpunkt der dreier.