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Topos Uranos
Deutsch

Komplexe Polynomgleichungen: die Formeln von Cardano und Ferrari

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht die Polynomgleichungen im Körper der komplexen Zahlen. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra, der vorausgesetzt wird, folgert sie durch Induktion, dass jedes Polynom vom Grad nn ein Produkt von nn Linearfaktoren ist und, mit Vielfachheit gezählt, genau nn Nullstellen hat; sie beweist die vietaschen Formeln für jeden Grad sowie die Formeln für die Summen der Quadrate und der Kuben der Nullstellen. Sie löst die binomischen, trinomischen und reziproken Gleichungen, indem sie sie auf andere von kleinerem Grad reduziert. Sodann bringt sie die Gleichung dritten Grades auf die reduzierte Form, leitet die Formel von Cardano her, klassifiziert die Lösungen mithilfe der Diskriminante, zeigt an der Gleichung von Bombelli, warum die Formel dazu zwang, die komplexen Zahlen anzuerkennen, selbst wenn alle Lösungen reell sind, und löst diesen Fall mit der Formel für den dreifachen Winkel. Schließlich bringt sie die Gleichung vierten Grades auf die reduzierte Form, beweist das Verfahren von Ferrari, das sie mithilfe einer Lösung ihrer kubischen Resolvente in zwei quadratische Gleichungen zerlegt, und erklärt, warum es vom Grad fünf an keine ähnliche Formel gibt.

Lernziele

  1. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra die Zerlegung jedes komplexen Polynoms in Linearfaktoren folgern und die Nullstellen mithilfe der vietaschen Formeln und der Potenzsummen mit den Koeffizienten in Beziehung setzen.
  2. Binomische, trinomische und reziproke Gleichungen lösen, indem man sie auf Gleichungen kleineren Grades reduziert.
  3. Die Gleichung dritten Grades auf die reduzierte Form bringen, die Formel von Cardano herleiten und die Lösungen einer reellen kubischen Gleichung nach dem Vorzeichen ihrer Diskriminante klassifizieren.
  4. Eine kubische Gleichung mit drei reellen Lösungen mit dem trigonometrischen Verfahren lösen und am Beispiel von Bombelli die historische Rolle der Formel von Cardano bei der Anerkennung der komplexen Zahlen erklären.
  5. Gleichungen vierten Grades mit dem Verfahren von Ferrari lösen, indem man sie auf die reduzierte Form bringt und mithilfe einer Lösung der kubischen Resolvente faktorisiert.

Der Fundamentalsatz der Algebra im Komplexen

In der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über die Nullstellen höhergradiger Polynome wurde der Fundamentalsatz der Algebra formuliert, seine Folgerung skizziert, dass jedes komplexe Polynom vom Grad nn ein Produkt von nn Linearfaktoren ist, und aus ihm abgeleitet, dass jedes reelle Polynom ein Produkt von Linearfaktoren und irreduziblen quadratischen Faktoren ist; hier wird der vollständige Beweis jener Zerlegung im Komplexen durch Induktion gegeben. Diese Lektion nimmt den Standpunkt der komplexen Zahlen ein: Die Koeffizienten und die Nullstellen dürfen komplex sein, und die Frage ist nicht mehr, ob eine Gleichung eine Lösung hat, sondern wie man alle ihre Lösungen findet. Ein Polynom mit komplexen Koeffizienten vom Grad nn ist ein Ausdruck P(z)=anzn+⋯+a1z+a0P(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0 mit komplexen aka_k und an≠0a_n \neq 0; eine komplexe Zahl z0z_0 ist eine Nullstelle von PP, wenn P(z0)=0P(z_0) = 0.

Die Beweise der Polynomdivision, des Restsatzes und des Faktorsatzes, die in der Lektion von Kurs I über die Algebra der Polynome geführt wurden, verwenden nur die Eigenschaften der Addition, der Multiplikation und der Division der Koeffizienten, die C\mathbb{C} mit R\mathbb{R} gemeinsam hat, wie die Lektion über die komplexen Zahlen zeigt. Daher gelten sie unverändert für Polynome mit komplexen Koeffizienten, und dasselbe gilt für das Lemma über verschiedene Nullstellen und für den Identitätssatz aus derselben Lektion (zwei Polynome, die an jeder komplexen Zahl denselben Wert annehmen, haben dieselben Koeffizienten) sowie für die Definition der Vielfachheit einer Nullstelle aus der Lektion über die Nullstellen höhergradiger Polynome. Was C\mathbb{C} auszeichnet, ist der folgende Satz.

Vorausgesetzte Tatsache (Fundamentalsatz der Algebra). Jedes Polynom vom Grad n≥1n \geq 1 mit komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

Wie in der Lektion von Kurs I über die Nullstellen der Polynome wird dieser Satz ohne Beweis angenommen: Alle seine bekannten Beweise verwenden Hilfsmittel, die über diesen Kurs hinausgehen, wie die Stetigkeit der Funktionen zweier reeller Variablen oder die Untersuchung der Funktionen einer komplexen Variablen. Carl Friedrich Gauß gab 1799 den ersten fast vollständigen Beweis, nach den Versuchen von d’Alembert und von Euler. Seine wichtigste Folgerung ist, dass die Polynomgleichungen nicht dazu zwingen, über C\mathbb{C} hinauszugehen, so wie x2=2x^2 = 2 dazu zwang, über Q\mathbb{Q} hinauszugehen, und x2=−1x^2 = -1, über R\mathbb{R} hinauszugehen: Jedes komplexe Polynom zerfällt in C\mathbb{C} vollständig.

SatzZerlegung im Komplexen

Jedes Polynom PP vom Grad n≥1n \geq 1 mit komplexen Koeffizienten und Leitkoeffizient ana_n ist das Produkt von ana_n und nn Linearfaktoren, wie in der Formel unten, mit komplexen, nicht notwendig verschiedenen Zahlen z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n. Die Nullstellen von PP sind genau die Zahlen zkz_k, und jede kommt in der Liste so oft vor, wie ihre Vielfachheit angibt; daher hat PP, mit Vielfachheit gezählt, genau nn komplexe Nullstellen.

P(z)=an(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn)P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n)

Der Beweis verläuft durch Induktion über den Grad, wie in der Lektion von Kurs I über Summen, arithmetische und geometrische Folgen und Induktion. Die Abbildung verfolgt ihn in der gaußschen Zahlenebene mit dem Polynom P(z)=z5+2z4+2z3−4z2−11z+10P(z) = z^5 + 2z^4 + 2z^3 - 4z^2 - 11z + 10, dessen Nullstellen 11, die doppelt ist, −2-2, −1+2i-1 + 2i und −1−2i-1 - 2i sind.

Beweis

  1. a1z+a0=a1(z+a0a1)\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}

    Induktionsanfang: Ein Polynom vom Grad 11 ist sein Leitkoeffizient mal ein einziger Linearfaktor, dessen Nullstelle −a0a1-\frac{a_0}{a_1} ist.

  2. P(z1)=0→P(z)=(z−z1)C(z),P(z)=(z−1)(z4+3z3+5z2+z−10)P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)

    Der Satz gelte für die Polynome vom Grad nn, und PP habe den Grad n+1n + 1. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat PP eine Nullstelle z1z_1; nach dem Faktorsatz ist PP das Produkt von z−z1z - z_1 und einem Quotienten CC vom Grad nn, dessen Leitkoeffizient der von PP ist, wie man durch Vergleich der Terme höchsten Grades sieht. Im Beispiel ist z1=1z_1 = 1, und die synthetische Division liefert den Quotienten der Formel.

  3. P(z)=(z−z1)an+1(z−z2)⋯(z−zn+1)=an+1(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn+1)P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}

    Nach der Induktionsvoraussetzung ist CC sein Leitkoeffizient an+1a_{n + 1} mal nn Linearfaktoren; durch Einsetzen ist PP wie gewünscht geschrieben. Nach dem Induktionsprinzip existiert die Zerlegung für jeden Grad n≥1n \geq 1.

  4. P(w)=an(w−z1)⋯(w−zn)=0↔w=z1∨⋯∨w=znP(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}

    Ein Produkt komplexer Zahlen ist nur dann null, wenn einer seiner Faktoren es ist, und an≠0a_n \neq 0: Eine Zahl ww ist genau dann Nullstelle von PP, wenn sie mit einer der Zahlen zkz_k übereinstimmt. Es gibt keine anderen Nullstellen als die der Liste.

  5. P(z)=an(z−r1)k1⋯(z−rs)ks,k1+k2+⋯+ks=nP(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}

    Wir fassen die gleichen Faktoren zusammen: Sind r1,…,rsr_1, \ldots, r_s die verschiedenen Nullstellen und kommt rjr_j genau kjk_j-mal vor, so verschwindet der Quotient von PP durch (z−r1)k1(z - r_1)^{k_1} nicht in r1r_1, weil er ein Produkt von Faktoren ungleich null ist; somit ist k1k_1 die Vielfachheit von r1r_1, und dasselbe gilt für die übrigen. Die Vielfachheiten haben die Summe nn; im Beispiel ist 2+1+1+1=52 + 1 + 1 + 1 = 5.

Da die Vielfachheit jeder Nullstelle nach der Lektion von Kurs I über die Nullstellen der Polynome wohldefiniert ist, ist die Liste z1,…,znz_1, \ldots, z_n durch PP bis auf die Reihenfolge bestimmt: Die Zerlegung ist eindeutig. Im Folgenden bezeichnen die Nullstellen eines Polynoms vom Grad nn diese Liste von nn Zahlen, mit den Wiederholungen, die die Vielfachheit angibt. Sind die Koeffizienten reell, so treten die nicht reellen Nullstellen nach dem Satz über konjugierte Nullstellen aus der Lektion über die komplexen Zahlen in konjugierten Paaren auf; multipliziert man die beiden Faktoren jedes Paares, so erhält man einen reellen quadratischen Faktor, und so gewinnt man die reelle Faktorisierung aus der Lektion über die Nullstellen der Polynome wieder.