सम्मिश्र संख्याओं में बहुपद समीकरण: कार्डानो और फ़ेरारी सूत्र

सारांश

यह पाठ सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में बहुपद समीकरणों का अध्ययन करता है। बीजगणित की आधारभूत प्रमेय से, जिसे स्वीकार किया जाता है, यह आगमन द्वारा निगमित करता है कि घात $n$ का प्रत्येक बहुपद $n$ रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है और उसके ठीक $n$ मूल हैं, जिन्हें उनकी बहुलता सहित गिना जाता है; यह किसी भी घात के लिए मूलों और गुणांकों के संबंध सिद्ध करता है, और मूलों के वर्गों तथा घनों के योगों के सूत्र भी। यह द्विपद, त्रिपद और व्युत्क्रम समीकरणों को कम घात वाले समीकरणों में बदलकर हल करता है। फिर यह त्रिघात समीकरण को द्विघात पद रहित रूप में लाता है, कार्डानो सूत्र निगमित करता है, विविक्तकर द्वारा मूलों का वर्गीकरण करता है, बॉम्बेली के समीकरण से दिखाता है कि सभी मूल वास्तविक होने पर भी इस सूत्र ने सम्मिश्र संख्याओं को स्वीकार करने के लिए क्यों बाध्य किया, और उस स्थिति को त्रिगुण कोण के सूत्र से हल करता है। अंत में, यह चतुर्घात समीकरण को त्रिघात पद रहित रूप में लाता है, फ़ेरारी विधि सिद्ध करता है, जो त्रिघात सहायक समीकरण के एक मूल की सहायता से उसे दो द्विघात समीकरणों में विघटित करती है, और समझाता है कि घात पाँच से आगे ऐसा कोई सूत्र क्यों नहीं है।

अधिगम उद्देश्य

बीजगणित की आधारभूत प्रमेय से प्रत्येक सम्मिश्र बहुपद का रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंडन निगमित करना, और मूलों और गुणांकों के संबंधों तथा घातों के योगों द्वारा मूलों को गुणांकों से जोड़ना।
द्विपद, त्रिपद और व्युत्क्रम समीकरणों को कम घात वाले समीकरणों में बदलकर हल करना।
त्रिघात समीकरण को द्विघात पद रहित रूप में लाना, कार्डानो सूत्र निगमित करना और वास्तविक त्रिघात समीकरण के मूलों का उसके विविक्तकर के चिह्न के अनुसार वर्गीकरण करना।
तीन वास्तविक मूलों वाले त्रिघात समीकरण को त्रिकोणमितीय विधि से हल करना, और बॉम्बेली के उदाहरण से सम्मिश्र संख्याओं की स्वीकृति में कार्डानो सूत्र की ऐतिहासिक भूमिका समझाना।
चतुर्घात समीकरणों को फ़ेरारी विधि से हल करना, उन्हें त्रिघात पद रहित रूप में लाकर और त्रिघात सहायक समीकरण के एक मूल की सहायता से उनका गुणनखंडन करके।

सम्मिश्र संख्याओं में बीजगणित की आधारभूत प्रमेय

बीजगणित और ज्यामिति I पाठ्यक्रम के उच्च घात वाले बहुपदों के मूलों वाले पाठ में बीजगणित की आधारभूत प्रमेय का कथन दिया गया, उसके इस परिणाम की रूपरेखा दी गई कि घात $n$ का प्रत्येक सम्मिश्र बहुपद $n$ रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है, और उससे यह निगमित किया गया कि प्रत्येक वास्तविक बहुपद रैखिक और अखंडनीय द्विघात गुणनखंडों का गुणनफल है; यहाँ सम्मिश्र संख्याओं में उस गुणनखंडन की पूरी उपपत्ति आगमन द्वारा दी जाती है। यह पाठ सम्मिश्र संख्याओं का दृष्टिकोण अपनाता है: गुणांक और मूल सम्मिश्र हो सकते हैं, और प्रश्न यह नहीं रह जाता कि किसी समीकरण का हल है या नहीं, बल्कि यह बन जाता है कि उसके सभी हल कैसे ज्ञात किए जाएँ। घात $n$ का सम्मिश्र गुणांकों वाला बहुपद एक व्यंजक $P(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0$ है, जहाँ $a_k$ सम्मिश्र हैं और $a_n \neq 0$ है; एक सम्मिश्र संख्या $z_0$ , $P$ का मूल होती है जब $P(z_0) = 0$ हो।

विभाजन एल्गोरिथ्म, शेषफल प्रमेय और गुणनखंड प्रमेय की उपपत्तियाँ, जो पाठ्यक्रम I के बहुपदों के बीजगणित वाले पाठ में दी गईं, केवल गुणांकों के योग, गुणनफल और विभाजन के गुणों का उपयोग करती हैं, जिन्हें $\mathbb{C}$ , $\mathbb{R}$ के साथ साझा करता है, जैसा सम्मिश्र संख्याओं वाले पाठ में दिखाया गया। अतः वे सम्मिश्र गुणांकों वाले बहुपदों के लिए बिना बदले मान्य हैं, और यही बात उसी पाठ की अलग-अलग मूलों वाली प्रमेयिका और सर्वसमिका सिद्धांत (दो बहुपद जो प्रत्येक सम्मिश्र संख्या पर एक ही मान लेते हैं, उनके गुणांक एक ही होते हैं) पर लागू होती है, और उच्च घात वाले बहुपदों के मूलों वाले पाठ की मूल की बहुलता की परिभाषा पर भी। $\mathbb{C}$ को जो अलग करती है, वह निम्नलिखित प्रमेय है।

बिना प्रमाण स्वीकृत तथ्य (बीजगणित की आधारभूत प्रमेय)। सम्मिश्र गुणांकों वाले घात $n \geq 1$ के प्रत्येक बहुपद का कम से कम एक सम्मिश्र मूल होता है।

पाठ्यक्रम I के बहुपदों के मूलों वाले पाठ की तरह, यह प्रमेय बिना उपपत्ति के स्वीकार की जाती है: इसकी सभी ज्ञात उपपत्तियाँ ऐसे साधनों का उपयोग करती हैं जो इस पाठ्यक्रम से आगे हैं, जैसे दो वास्तविक चरों के फलनों की सांतत्यता या सम्मिश्र चर के फलनों का अध्ययन। कार्ल फ़्रीड्रिख़ गाउस ने दालांबेर और ऑयलर के प्रयासों के बाद 1799 में पहली लगभग पूर्ण उपपत्ति दी। इसका मुख्य परिणाम यह है कि बहुपद समीकरण $\mathbb{C}$ के विस्तार के लिए बाध्य नहीं करते, जैसे $x^2 = 2$ ने $\mathbb{Q}$ के और $x^2 = -1$ ने $\mathbb{R}$ के विस्तार के लिए बाध्य किया था: प्रत्येक सम्मिश्र बहुपद $\mathbb{C}$ में पूरी तरह विघटित होता है।

प्रमेयसम्मिश्र संख्याओं पर गुणनखंडन

प्रत्येक बहुपद $P$ , जिसकी घात $n \geq 1$ है, जिसके गुणांक सम्मिश्र हैं और जिसका अग्रग गुणांक $a_n$ है, $a_n$ और $n$ रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है, जैसा निम्नलिखित सूत्र में है, जहाँ $z_1, z_2, \ldots, z_n$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं जो आवश्यक रूप से अलग-अलग नहीं हैं। $P$ के मूल ठीक-ठीक संख्याएँ $z_k$ हैं, और प्रत्येक सूची में उतनी बार आता है जितनी उसकी बहुलता बताती है; अतः $P$ के ठीक $n$ सम्मिश्र मूल हैं, जिन्हें बहुलता सहित गिना जाता है।

P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n)

उपपत्ति घात पर आगमन द्वारा चलती है, जैसे पाठ्यक्रम I के योग, श्रेढ़ियाँ और आगमन वाले पाठ में। चित्र सम्मिश्र तल में बहुपद $P(z) = z^5 + 2z^4 + 2z^3 - 4z^2 - 11z + 10$ के साथ इसका अनुसरण करता है, जिसके मूल $1$ (द्विक), $-2$ , $-1 + 2i$ और $-1 - 2i$ हैं।

प्रमाण

$\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}$
प्रारंभिक स्थिति: घात $1$ का बहुपद अपने अग्रग गुणांक और एक ही रैखिक गुणनखंड का गुणनफल है, जिसका मूल $-\frac{a_0}{a_1}$ है।
$P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)$
मान लीजिए कि प्रमेय घात $n$ के बहुपदों के लिए सत्य है, और मान लीजिए $P$ घात $n + 1$ का है। बीजगणित की आधारभूत प्रमेय से $P$ का एक मूल $z_1$ है; गुणनखंड प्रमेय से $P$ , $z - z_1$ और एक भागफल $C$ का गुणनफल है, जिसकी घात $n$ है और जिसका अग्रग गुणांक वही है जो $P$ का है, जैसा उच्चतम घात वाले पदों की तुलना से दिखता है। उदाहरण में $z_1 = 1$ , और संश्लिष्ट विभाजन सूत्र का भागफल देता है।
$P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}$
आगमन परिकल्पना से, $C$ अपने अग्रग गुणांक $a_{n + 1}$ और $n$ रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है; प्रतिस्थापित करने पर $P$ वांछित रूप में लिखा जाता है। गणितीय आगमन के सिद्धांत से गुणनखंडन प्रत्येक घात $n \geq 1$ के लिए विद्यमान है।
$P(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}$
सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल तभी शून्य होता है जब उसका कोई गुणनखंड शून्य हो, और $a_n \neq 0$ : कोई संख्या $w$ , $P$ का मूल है यदि और केवल यदि वह किसी $z_k$ के बराबर हो। सूची के मूलों के अतिरिक्त कोई मूल नहीं है।
$P(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}$
हम बराबर गुणनखंडों को एक साथ रखते हैं: यदि $r_1, \ldots, r_s$ अलग-अलग मूल हैं और $r_j$ , $k_j$ बार आता है, तो $P$ को $(z - r_1)^{k_1}$ से भाग देने पर प्राप्त भागफल $r_1$ पर शून्य नहीं होता, क्योंकि वह शून्येतर गुणनखंडों का गुणनफल है; इसलिए $k_1$ , $r_1$ की बहुलता है, और यही बात बाकी मूलों पर लागू होती है। बहुलताओं का योग $n$ है; उदाहरण में $2 + 1 + 1 + 1 = 5$ ।

चूँकि पाठ्यक्रम I के बहुपदों के मूलों वाले पाठ के अनुसार प्रत्येक मूल की बहुलता सुपरिभाषित है, सूची $z_1, \ldots, z_n$ , क्रम को छोड़कर, $P$ द्वारा निर्धारित होती है: गुणनखंडन अद्वितीय है। आगे से, घात $n$ के बहुपद के मूल से आशय $n$ संख्याओं की वह सूची है, बहुलता द्वारा बताई गई पुनरावृत्तियों सहित। यदि गुणांक वास्तविक हों, तो सम्मिश्र संख्याओं वाले पाठ की संयुग्मी मूलों वाली प्रमेय से अवास्तविक मूल संयुग्मी युग्मों में आते हैं; प्रत्येक युग्म के दो गुणनखंडों को गुणा करने पर एक वास्तविक द्विघात गुणनखंड मिलता है, और इस प्रकार बहुपदों के मूलों वाले पाठ का वास्तविक संख्याओं पर गुणनखंडन फिर से प्राप्त होता है।

इस पाठ के शेष भाग में

मूलों और गुणांकों के संबंध
मूलों के घातों के योग
सरल समीकरणों में बदलने वाले समीकरण
द्विपद और त्रिपद समीकरण
व्युत्क्रम समीकरण
त्रिघात समीकरण
द्विघात पद रहित त्रिघात समीकरण में समानयन
कार्डानो सूत्र
त्रिघात समीकरण का विविक्तकर
अलघुकरणीय स्थिति और सम्मिश्र संख्याओं की स्वीकृति
त्रिकोणमितीय हल
चतुर्घात समीकरण और फ़ेरारी विधि
हल किए गए प्रश्न
दो दिए गए मूलों वाला न्यूनतम घात का वास्तविक बहुपद
मूल ज्ञात किए बिना घातों के योग
केवल एक वास्तविक मूल के साथ कार्डानो सूत्र
बॉम्बेली का समीकरण
तीन वास्तविक मूलों वाला एक त्रिघात समीकरण
अभ्यास प्रश्न
मूलों के व्युत्क्रम
बक्से पर टिकी सीढ़ी
एक प्लव की जल-रेखा
घनमूलों का एक योग जो पूर्णांक है
विविक्तकर और मूलों के अंतर

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