복소수에서의 다항방정식: 카르다노와 페라리의 공식

증명

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   $$\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}$$

   기초 경우: 차수가 $1$인 다항식은 그 최고차항의 계수와 단 하나의 일차인수의 곱이며, 그 인수의 근은 $-\frac{a_0}{a_1}$ 값이다.

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   $$P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)$$

   차수가 $n$인 다항식에 대하여 정리가 참이라고 가정하고, $P$ 식을 차수가 $n + 1$인 다항식이라 하자. 대수학의 기본 정리에 의해 $P$ 식은 근 $z_1$ 값을 가진다. 인수정리에 의해 $P$ 식은 $z - z_1$ 식과 몫 $C$ 식(차수 $n$)의 곱이며, 그 최고차항의 계수는 $P$ 식의 것과 같다. 이는 최고차항을 비교하면 알 수 있다. 예에서는 $z_1 = 1$ 식이 성립하고, 조립제법으로 식의 몫을 얻는다.

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   $$P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}$$

   귀납 가정에 의해 $C$ 식은 그 최고차항의 계수 $a_{n + 1}$ 값과 $n$개의 일차인수의 곱이다. 대입하면 $P$ 식이 원하는 꼴로 쓰인다. 수학적 귀납법의 원리에 의해 모든 차수 $n \geq 1$ 값에 대하여 인수분해가 존재한다.

4. 4
   $$P(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}$$

   복소수의 곱은 인수 중 어느 하나가 영일 때에만 영이 되며, $a_n \neq 0$ 식이 성립한다. 따라서 수 $w$ 값이 $P$ 식의 근일 필요충분조건은 그것이 어떤 $z_k$ 값과 같은 것이다. 목록의 근 외에 다른 근은 없다.

5. 5
   $$P(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}$$

   같은 인수를 모은다. $r_1, \ldots, r_s$ 값이 서로 다른 근이고 $r_j$ 값이 $k_j$번 나타난다고 하면, $P$ 식을 $(z - r_1)^{k_1}$ 식으로 나눈 몫은 $r_1$ 값에서 영이 되지 않는다. 영이 아닌 인수들의 곱이기 때문이다. 따라서 $k_1$ 값은 $r_1$ 값의 중복도이며, 다른 근들도 마찬가지이다. 중복도의 합은 $n$ 값이며, 예에서는 $2 + 1 + 1 + 1 = 5$ 식이 성립한다.