Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Геометрия с комплексными числами

Краткое содержание

В этом уроке комплексные числа служат координатами на плоскости, а понятия элементарной геометрии переводятся в алгебраические операции: расстояние есть модуль разности, середина отрезка и центроид суть средние значения, а движения плоскости суть короткие формулы. Доказывается, что R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) есть поворот с центром cc на угол φ\varphi, что отражение относительно прямой, проходящей через начало координат под углом α\alpha, есть S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z} и что композиция двух отражений есть поворот. Коллинеарность и перпендикулярность характеризуются с помощью частного, ориентация треугольника определяется знаком мнимой части этого частного, доказывается, что три точки образуют равносторонний треугольник тогда и только тогда, когда z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0, где ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}, и что точки, расстояния от которых до двух фиксированных точек находятся в постоянном отношении, образуют окружность, окружность Аполлония. Задачи завершаются теоремой Наполеона.

Цели обучения

  1. Изображать точки, расстояния, середины отрезков и центроиды комплексными числами и выражать параллельные переносы, повороты, гомотетии и отражения как функции комплексной переменной.
  2. Доказывать формулы поворота вокруг точки и отражения относительно прямой и изучать композиции отражений и поворотов.
  3. Устанавливать коллинеарность, перпендикулярность и угол между двумя отрезками с помощью частного двух разностей, определять ориентацию треугольника по знаку мнимой части этого частного и характеризовать равносторонний треугольник с помощью кубического корня из единицы ω\omega.
  4. Описывать окружности с помощью модуля, доказывать теорему об окружности Аполлония и применять эти средства в классических задачах, таких как задачи Наполеона и ван Обеля.

Точки, расстояния и центры

Начиная с урока курса «Алгебра и геометрия I» о комплексных числах, каждое комплексное число z=a+biz = a + bi отождествляется с точкой (a,b)(a, b) плоскости, а разность z−wz - w есть вектор, идущий из точки ww в точку zz; по теореме Пифагора расстояние между этими точками равно ∣z−w∣\abs{z - w}. В этом уроке точка зрения меняется на обратную: изучаются не числа с помощью плоскости, а плоскость с помощью чисел. Фигура описывается комплексными числами своих точек, а геометрическое свойство описывается равенством между ними.

Главное средство есть комплексная экспонента из урока о комплексной экспоненте и формуле Эйлера. Для всякого действительного φ\varphi число eiφe^{i\varphi} есть точка окружности радиуса 11, аргумент которой равен φ\varphi, и оно обладает перечисленными ниже свойствами; последнее из них вытекает из того, что cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi и sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi:

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

Согласно уроку о тригонометрической форме комплексного числа, всякое ненулевое комплексное число записывается в виде z=reiθz = re^{i\theta}, где r=∣z∣r = \abs{z} и θ\theta есть аргумент числа zz; при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, при делении модули делятся, а аргументы вычитаются. В частности, умножение zz на eiφe^{i\varphi} сохраняет его модуль и увеличивает его аргумент на φ\varphi: оно поворачивает точку zz на угол φ\varphi вокруг начала координат, против часовой стрелки при φ>0\varphi > 0. Умножение на i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}}, изученное в уроке курса I о комплексных числах как поворот на четверть оборота, есть случай φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2}.

Точки отрезка тоже описываются комплексными числами. Согласно уроку курса I о векторах на плоскости, точки прямой, проходящей через z1z_1 и z2z_2, суть точки вида z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1), где tt действительное, а точкам соединяющего их отрезка соответствуют значения 0≤t≤10 \leq t \leq 1.

ЛеммаСередина отрезка и центроид в комплексных числах

Середина отрезка с концами z1z_1 и z2z_2 есть полусумма m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2}. Три медианы треугольника с вершинами z1z_1, z2z_2 и z3z_3 проходят через точку g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}, называемую центроидом, которая лежит на каждой медиане на двух третях пути от вершины к середине противоположной стороны. Лемма была доказана с помощью векторов в решённой задаче о медианах из урока курса I о векторах на плоскости; приводимое ниже доказательство переводит её на язык комплексных чисел. Рисунок сопровождает его с вершинами z1=−2−iz_1 = -2 - i, z2=3−iz_2 = 3 - i и z3=2iz_3 = 2i.

Доказательство

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    Точка отрезка, соответствующая значению t=12t = \frac{1}{2}, есть полусумма концов.

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    Она равноудалена от обоих концов, поскольку два вектора, соединяющие её с ними, равны: это середина отрезка.

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    На медиане, соединяющей z3z_3 с серединой противоположной стороны, значению t=23t = \frac{2}{3} соответствует такая точка.

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    Полученное выражение симметрично относительно трёх вершин; если это так, то то же вычисление с любой из двух других медиан даёт ту же точку, и все три проходят через gg. Для вершин рисунка g=13g = \frac{1}{3}.

Итак, середина отрезка есть среднее двух комплексных чисел, а центроид есть среднее трёх.