Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Комплексная экспонента и формула Эйлера

Краткое содержание

В этом уроке определяется экспонента комплексного числа. Отправной точкой служат два наблюдения: комплексное число cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta превращает суммы углов в произведения, как степень превращает суммы показателей в произведения, а ряд для экспоненты, вычисленный в мнимой точке, распадается на ряды для косинуса и синуса. Оба наблюдения ведут к формуле Эйлера, eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta, и к определению ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right). В уроке доказывается, что комплексная экспонента переводит суммы в произведения, что её модуль равен eae^a, а аргумент равен bb, что она нигде не обращается в нуль и что она периодична с периодом 2πi2\pi i; всякое комплексное число записывается в показательной форме reiθr e^{i\theta}; косинус и синус выражаются через экспоненты, продолжаются на всю плоскость, и в них обнаруживаются гиперболические функции. Урок завершается комплексным логарифмом, имеющим бесконечно много значений, и степенями с комплексным показателем, среди которых iii^i оказывается действительным числом.

Цели обучения

  1. Объяснять, почему свойства степеней и ряд для экспоненты ведут к формуле Эйлера, отличать это эвристическое вычисление от доказательства и распространять определение экспоненты на любой комплексный показатель.
  2. Доказывать свойства комплексной экспоненты (экспонента суммы, модуль, аргумент и периодичность) и выполнять действия с показательной формой комплексных чисел.
  3. Выражать косинус и синус через экспоненты, продолжать их на комплексные числа, определять, какие тригонометрические тождества остаются верными в C\mathbb{C}, и связывать их с гиперболическими функциями.
  4. Решать уравнение ew=ze^w = z, определять главное значение логарифма, вычислять степени с комплексным показателем и объяснять, почему они имеют, вообще говоря, бесконечно много значений.

Формула Эйлера

В уроке о тригонометрической форме комплексного числа было доказано, что при умножении двух комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются. Для комплексных чисел с модулем 11 теорема утверждает, что

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Если обозначить через E(θ)E(\theta) комплексное число cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, то приведённое выше равенство запишется как E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta), и, кроме того, E(0)=1E(0) = 1. Но превращение сумм в произведения есть характерное свойство степеней, ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y, изученное в уроке курса «Алгебра и геометрия I» о показательной функции; а формула Муавра, E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta), доказанная в уроке о формуле Муавра, есть закон (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx}. Следовательно, всё говорит о том, что E(θ)E(\theta) есть степень с показателем, пропорциональным θ\theta. Какая именно, показывает ряд для экспоненты.

Ряд для экспоненты с мнимым показателем

В уроке курса I о числе e было доказано, что ee есть сумма ряда из величин, обратных факториалам. В более общем виде, для всякого действительного xx выполняются три приводимых ниже равенства, в которых суммы бесконечного числа слагаемых означают, как и там, значение, к которому приближаются частичные суммы:

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

Эти три ряда принимаются здесь без доказательства: они получаются с помощью теоремы Тейлора, которая изучается в курсе «Математический анализ II», где, кроме того, доказывается, что они сходятся для всякого действительного xx; сходимость первого из них для всякого комплексного xx относится к теории рядов и теории функций комплексного переменного. Ряд для экспоненты использует только сложение, умножение и деление, которые имеют смысл в C\mathbb{C}, и его можно вычислить при x=iθx = i\theta. Однако символ eiθe^{i\theta} пока не имеет никакого смысла: степень с мнимым показателем не является ни произведением равных множителей, ни значением действительной экспоненты. Поэтому вычисление в примере ниже не доказывает, что eiθe^{i\theta} чему-то равно, а лишь служит мотивировкой: оно показывает, что сумма ряда в точке iθi\theta равна cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, так что, если ряд должен и дальше определять экспоненту для мнимых показателей, другого выбора нет.

ПримерРяд для экспоненты в мнимой точке

Пусть θ\theta есть действительное число. Подставим x=iθx = i\theta в ряд для экспоненты и отделим члены с чётными номерами от членов с нечётными номерами, пользуясь циклом степеней ii из урока курса I о комплексных числах. На рисунке при θ=π\theta = \pi частичные суммы SnS_n изображены ломаной: каждый член получается из члена с номером на единицу меньше поворотом на четверть оборота и умножением на θk\frac{\theta}{k}.

Решение

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    Заменяем в ряде xx на iθi\theta, пока не давая его сумме никакого названия. Первые две частичные суммы равны S0=1S_0 = 1 и S1=1+iθS_1 = 1 + i\theta.

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    Степени ii с чётным показателем равны (−1)m(-1)^m, поскольку i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m; степени с нечётным показателем получаются умножением на ii. Члены с чётными номерами действительны, а члены с нечётными номерами чисто мнимые.

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    В частичной сумме S2N+1S_{2N + 1}, содержащей конечное число членов, собираем вместе, с одной стороны, члены с чётными номерами, а с другой, члены с нечётными номерами и выносим множитель ii из вторых: получаются частичные суммы рядов для косинуса и синуса.

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    Две действительные суммы приближаются к косинусу и синусу θ\theta в силу принятых рядов; а S2NS_{2N} отличается от S2N+1S_{2N + 1} на член, который стремится к 00. Сумма ряда есть комплексное число с модулем 11 и аргументом θ\theta.

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    При θ=π\theta = \pi ломаная частичных сумм закручивается в спираль и приближается к −1-1: сумма S12S_{12} отстоит от −1-1 меньше чем на одну тысячную.

Приведённое выше вычисление, опирающееся на принятые ряды, определяет сумму ряда; но доказать, что эта сумма есть «ee в степени iθi\theta», оно не может, поскольку это выражение заранее не имеет смысла. Поэтому оно принимается за определение.

Мнимая экспонента

Для всякого действительного числа θ\theta мнимой экспонентой eiθe^{i\theta} называется комплексное число с модулем 11 и аргументом θ\theta, задаваемое формулой Эйлера, которую Леонард Эйлер опубликовал в 1748 году.
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

При θ=0\theta = 0 получается ei0=1e^{i0} = 1, как того требуют свойства степеней. Свойства тригонометрической формы и формула Муавра переводятся теперь в свойства степеней, которые уже не нужно запоминать как правила об углах.

ТеоремаМнимая экспонента

Для любых действительных θ\theta, α\alpha и β\beta и любого целого nn комплексное число eiθe^{i\theta} имеет модуль 11; выполняются равенства eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} и (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}; обратным к eiθe^{i\theta} является сопряжённое к нему число e−iθe^{-i\theta}, и eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} тогда и только тогда, когда разность α−β\alpha - \beta есть целое кратное 2π2\pi. Каждое утверждение есть перевод результата уже изученных уроков. На рисунке показана точка eiθe^{i\theta}, которая обходит окружность радиуса 11 против часовой стрелки по мере возрастания θ\theta.

Доказательство

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    Модуль равен 11 в силу основного тождества из урока об основных тригонометрических тождествах: точка eiθe^{i\theta} есть точка окружности радиуса 11, соответствующая углу θ\theta.

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    Правило произведения есть теорема о произведении в тригонометрической форме при модулях, равных 11: аргументы складываются.

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    Степень даёт формула Муавра, верная для всякого целого nn.

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    Поскольку косинус чётен, а синус нечётен, e−iθe^{-i\theta} есть число, сопряжённое к eiθe^{i\theta}, то есть симметричное ему относительно действительной оси; а по свойству произведения при β=−α\beta = -\alpha оно является также обратным к нему.

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    По равенству комплексных чисел в тригонометрической форме два комплексных числа с модулем 11 совпадают тогда и только тогда, когда их аргументы отличаются на целое кратное 2π2\pi: после полного оборота точка вновь проходит через то же место.

Тождество Эйлера

При θ=π\theta = \pi формула Эйлера даёт eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1, то есть:

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

Это равенство, называемое тождеством Эйлера, объединяет в одном соотношении числа 00 и 11, нейтральные элементы сложения и умножения, мнимую единицу ii и две фундаментальные постоянные анализа, ee и π\pi. Точно так же eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i, e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i и e2πi=1e^{2\pi i} = 1. В частности, поскольку i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}}, степени ii равны in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}}: цикл с периодом 44 из урока курса I о комплексных числах есть периодичность мнимой экспоненты, потому что четыре четверти оборота в сумме дают 2π2\pi.