Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Формула Муавра и степени комплексных чисел

Краткое содержание

В этом уроке доказывается формула Муавра, согласно которой степень с целым показателем nn комплексного числа с модулем 11 и аргументом θ\theta имеет аргумент nθn\theta, и она применяется в пяти направлениях. Урок вычисляет степени с большим показателем, не раскрывая произведений, и выясняет, когда степень действительна или равна 11; получает заново формулы кратных углов, сравнивая формулу Муавра с биномом Ньютона; выражает степени косинуса и синуса через суммы косинусов кратных углов, и эта операция называется линеаризацией; вычисляет суммы синусов и косинусов, аргументы которых образуют арифметическую прогрессию, как геометрическую сумму комплексных чисел; и получает суммы биномиальных коэффициентов как действительную и мнимую части степеней числа 1+i1 + i.

Цели обучения

  1. Доказывать формулу Муавра для любого целого показателя и истолковывать геометрически степени комплексного числа.
  2. Вычислять степени комплексных чисел с помощью тригонометрической формы и определять, когда они действительны или равны 11.
  3. Выводить формулы кратных углов и линеаризовать степени синуса и косинуса.
  4. Вычислять тригонометрические суммы и суммы биномиальных коэффициентов как действительную и мнимую части сумм и степеней комплексных чисел.

Формула Муавра

В уроке о тригонометрической форме комплексного числа каждое ненулевое комплексное число было записано в виде z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right), где r=∣z∣r = \abs{z} есть его модуль, а θ\theta есть один из его аргументов, и было доказано с помощью формул синуса и косинуса суммы, что при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. Для двух комплексных чисел с модулем 11 эта теорема о произведении записывается так:

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Если оба множителя равны, произведение есть квадрат с аргументом 2θ2\theta; если ещё раз умножить на тот же множитель, получится куб с аргументом 3θ3\theta. При повторении умножения аргумент прибавляется к самому себе столько раз, сколько имеется множителей, так что возведение в степень сводится к умножению угла на целое число. Этот факт, которым Абрахам де Муавр пользовался в равносильной форме в начале XVIII века и который Эйлер записал в современном виде в 1748 году, и составляет предмет урока.

ТеоремаФормула Муавра

Для всякого действительного числа θ\theta и всякого целого nn выполняется такое равенство.

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

Доказательство проводится в три приёма: показатель 00, натуральные показатели, по индукции, и отрицательные показатели, через обратное число. Используется принцип математической индукции в той форме, которую он имеет в уроке курса «Алгебра и геометрия I» о суммах, прогрессиях и индукции, а также степени с целым показателем из урока о комплексных числах, где z0=1z^0 = 1 и z−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m}. Рисунок сопровождает доказательство на окружности радиуса 11, с малым углом θ\theta и n=3n = 3.

Доказательство

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    При n=0n = 0 левая часть равна 11 по определению, и правая тоже, поскольку cos⁡0=1\cos 0 = 1 и sin⁡0=0\sin 0 = 0.

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    При n=1n = 1 равенство очевидно. Предположение индукции: допустим, что оно выполняется для некоторого натурального nn.

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    Степень с показателем на единицу больше есть произведение исходной степени на основание, а исходная степень заменяется по предположению индукции.

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    После раскрытия скобок действительная и мнимая части оказываются правыми частями формул косинуса и синуса суммы из урока о формулах сложения: это теорема о произведении и частном в тригонометрической форме. Получается формула для n+1n + 1, и по принципу математической индукции она верна для всякого натурального показателя.

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    По теореме о произведении число cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, умноженное на cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta), даёт cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1: значит, второй множитель обратен первому. Поскольку косинус чётен, а синус нечётен, обратное число совпадает с сопряжённым.

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    Если n=−mn = -m, где mm натуральное, то степень с показателем −m-m есть степень с показателем mm обратного числа, по свойствам степеней. Применяется случай натурального показателя к углу −θ-\theta.

Формула распространяется на все ненулевые комплексные числа, поскольку степень произведения равна произведению степеней, в том числе при отрицательных показателях: число, обратное произведению, равно произведению обратных.

ТеоремаСтепени в тригонометрической форме

Если z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) есть ненулевое комплексное число, то для всякого целого nn выполняется zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right): модуль числа znz^n равен rnr^n, а nθn\theta есть аргумент числа znz^n. Действительный множитель отделяется от множителя с модулем 11, и к последнему применяется формула Муавра. Рисунок сопровождает доказательство для комплексного числа с модулем немного больше 11 и n=3n = 3 и завершается числом z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) и тремя его первыми степенями.

Доказательство

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    Степень произведения равна произведению степеней: при натуральных показателях в силу коммутативности и ассоциативности умножения, а при отрицательных потому, что число, обратное произведению, равно произведению обратных.

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    Ко второму множителю применяется формула Муавра, верная для всякого целого nn.

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    Так как r>0r > 0, степень rnr^n есть положительное действительное число, в том числе при отрицательном nn. По теореме о равенстве в тригонометрической форме полученное выражение есть тригонометрическая форма числа znz^n: его модуль равен rnr^n, а nθn\theta есть один из его аргументов.

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    При z=3+iz = \sqrt{3} + i степени имеют модули 22, 44 и 88 и аргументы π6\frac{\pi}{6}, π3\frac{\pi}{3} и π2\frac{\pi}{2}: куб есть чисто мнимое число.

Из этого следует, что степени z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots имеют модули, образующие геометрическую прогрессию со знаменателем rr, и аргументы, образующие арифметическую прогрессию с разностью θ\theta, в смысле урока курса I о суммах и прогрессиях. Если r=1r = 1, все они лежат на окружности радиуса 11, и каждая повёрнута на угол θ\theta относительно степени с показателем на единицу меньше; если r>1r > 1, они поворачиваются и удаляются от начала координат; если r<1r < 1, поворачиваются и приближаются к нему. Кроме того, поскольку zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k, а умножение на zz есть поворот на угол θ\theta в композиции с растяжением с коэффициентом rr, все треугольники с вершинами 00, zkz^k и zk+1z^{k + 1} подобны треугольнику с вершинами 00, 11 и zz, как было доказано в уроке о тригонометрической форме.

ПримерСпираль степеней

Пусть zz есть комплексное число с модулем 1110\frac{11}{10}, немного больше 11, и аргументом π4\frac{\pi}{4}. Вычислим некоторые его степени вплоть до восьмой и опишем кривую, на которой они располагаются.

Доказательство

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    В тригонометрической и в алгебраической форме это число таково.

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    По теореме о степенях в тригонометрической форме квадрат имеет аргумент π2\frac{\pi}{2}: это чисто мнимое число.

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    Четвёртая степень имеет аргумент π\pi: это отрицательное действительное число.

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    Восьмая степень имеет аргумент 2π2\pi: после полного оборота она возвращается на положительную действительную полуось, на расстояние от начала координат немного больше 22.

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    Расстояние между двумя соседними степенями также растёт в геометрической прогрессии со знаменателем 1110\frac{11}{10}, по теореме о модуле произведения. Точки лежат на кривой, которая в полярных координатах, изученных в уроке о полярных координатах и кривых в полярных координатах, имеет уравнение r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}}: это спираль, называемая логарифмической, которая, как доказывается средствами дифференциального исчисления, пересекает каждую прямую, проходящую через начало координат, всегда под одним и тем же углом.