Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Корни n-й степени из комплексного числа и корни из единицы

Краткое содержание

В этом уроке в комплексных числах решается уравнение zn=wz^n = w. С помощью тригонометрической формы и формулы Муавра доказывается, что всякое ненулевое комплексное число имеет ровно nn корней nn-й степени, которые имеют общий модуль и аргументы, отстоящие друг от друга на 2πn\frac{2\pi}{n}, так что они образуют правильный многоугольник с центром в начале координат. Затем изучаются корни из единицы: они являются степенями одного из них, перемножаются так, как складываются остатки от деления на nn, суммы их степеней с показателем mm равны nn или 00 в зависимости от того, делит ли nn число mm или нет, и они раскладывают на множители многочлен zn−1z^n - 1. С помощью наибольшего общего делителя характеризуются первообразные корни, степени которых пробегают все корни, и, группируя сопряжённые корни, урок получает разложение над полем действительных чисел многочленов xn−1x^n - 1 и xn+1x^n + 1 на линейные и квадратные множители, при котором вновь появляется значение cos⁡2π5\cos \frac{2\pi}{5}.

Цели обучения

  1. Находить nn корней nn-й степени из ненулевого комплексного числа с помощью тригонометрической формы, доказывать, что их ровно nn, и описывать их как вершины правильного многоугольника.
  2. Выполнять действия с корнями из единицы как со степенями одного из них, вычислять суммы их степеней и раскладывать на множители многочлен zn−1z^n - 1.
  3. Определять с помощью наибольшего общего делителя, какие корни из единицы являются первообразными, и доказывать этот признак с помощью соотношения Безу.
  4. Раскладывать над полем действительных чисел многочлены xn−1x^n - 1 и xn+1x^n + 1, группируя сопряжённые корни, и применять корни из единицы к задачам о расстояниях, о значениях тригонометрических функций и об уравнениях.

Корни nn-й степени из комплексного числа

В уроке курса «Алгебра и геометрия I» о комплексных числах уравнение z3=1z^3 = 1 было решено разложением разности кубов на множители, и было объявлено, что корни степени nn из произвольного комплексного числа потребуют тригонометрической формы. Метод разложения на множители не обобщается: для уравнения z5=1+iz^5 = 1 + i никакого множителя не видно. Тригонометрическая форма, изученная в уроке о тригонометрической форме комплексного числа, напротив, превращает уравнение в два действительных условия, одно на модули и другое на аргументы, потому что, по формуле, доказанной в уроке о формуле Муавра, возведение комплексного числа в степень nn возводит его модуль в степень nn и умножает его аргумент на nn.

Пусть ww есть комплексное число и nn есть натуральное число. Комплексное число zz называется корнем nn-й степени из ww, если zn=wz^n = w. Корни второй степени называются квадратными корнями, а корни третьей степени называются кубическими корнями.

Единственное комплексное число, nn-я степень которого равна 00, есть само 00, потому что произведение комплексных чисел обращается в нуль, только если обращается в нуль какой-либо из множителей; поэтому интересен случай w≠0w \neq 0. Запишем тогда ww в тригонометрической форме, w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi), где R=∣w∣>0R = \abs{w} > 0, а φ\varphi есть любой из его аргументов. Символ Rn\sqrt[n]{R} сохраняет тот смысл, который он имеет в уроке курса I о степенях с рациональным показателем и радикалах: он обозначает арифметический корень из положительного действительного числа RR, то есть единственное положительное действительное число, nn-я степень которого равна RR. Знак радикала сохраняется за арифметическим корнем из неотрицательного действительного числа и, как в том уроке, за действительным корнем нечётной степени из отрицательного действительного числа, например −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2; применительно к другому комплексному числу он будет использоваться только с явной оговоркой, что обозначает какой-либо из его корней, потому что, как вскоре будет видно, ни один из его nn корней не выделяется среди остальных, а выбор одного из них по соглашению нарушает правила действий с радикалами: если бы квадратным корнем из −1-1 назвали число ii, то произведение этого корня на себя было бы равно −1-1, а не квадратному корню из (−1)(−1)=1(-1)(-1) = 1.

Наконец, используется теорема о равенстве в тригонометрической форме, доказанная в том же уроке: два ненулевых комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них одинаковый модуль, а их аргументы отличаются на целое кратное 2π2\pi.

ТеоремаКорни nn-й степени

Пусть w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi) есть ненулевое комплексное число, причём R=∣w∣R = \abs{w}, и nn есть натуральное число. Уравнение zn=wz^n = w имеет ровно nn различных решений, а именно комплексные числа zkz_k, приведённые ниже, для k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n - 1. Все они имеют модуль Rn\sqrt[n]{R}, и аргумент каждого из них больше аргумента предыдущего на 2πn\frac{2\pi}{n}.

zk=Rn(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn)z_k = \sqrt[n]{R} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right)

Решение ищется в тригонометрической форме, и приравниваются тригонометрические формы чисел znz^n и ww. Рисунок сопровождает доказательство на примере w=−8=8(cos⁡π+isin⁡π)w = -8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi) и n=3n = 3; кубические корни из этого числа имеют модуль 22.

Доказательство

  1. z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)→zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \rightarrow \resaltar{z^n} = \dato{m}{\resaltar{r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)}}

    Решение не может быть нулевым, потому что 0n=0≠w0^n = 0 \neq w. Запишем его в тригонометрической форме, где r>0r > 0, и возведём в степень nn по формуле Муавра.

  2. zn=w↔rn=R∧nθ=φ+2kπ,k∈Z\resaltar{z^n = w} \leftrightarrow \dato{c}{\resaltar{r^n = R \wedge n\theta = \varphi + 2k\pi}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    По теореме о равенстве в тригонометрической форме уравнение zn=wz^n = w равносильно двум действительным условиям: модули равны, а аргументы отличаются на целое кратное 2π2\pi.

  3. r=Rn,θk=φ+2kπn,k∈Zr = \resaltar{\sqrt[n]{R}}, \qquad \dato{t}{\theta_k = \resaltar{\frac{\varphi + 2k\pi}{n}}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Положительное действительное число, nn-я степень которого равна RR, единственно, это арифметический корень, а аргумент определяется целым числом kk. Обратно, всякое комплексное число с таким модулем и таким аргументом является решением, потому что удовлетворяет обоим условиям. При w=−8w = -8 и n=3n = 3 получаем r=2r = 2 и θ=π+2kπ3\theta = \frac{\pi + 2k\pi}{3}.

  4. θqn+j=φ+2(qn+j)πn=θj+2qπ→zqn+j=zj\theta_{qn + j} = \resaltar{\frac{\varphi + 2(qn + j)\pi}{n}} = \resaltar{\theta_j + 2q\pi} \rightarrow z_{qn + j} = z_j

    Целых чисел kk бесконечно много, а решений нет. По теореме о делении с остатком всякое целое число записывается как k=qn+jk = qn + j, где qq целое и 0≤j≤n−10 \leq j \leq n - 1; тогда аргумент θk\theta_k превосходит θj\theta_j на целое кратное 2π2\pi, и оба решения совпадают. На рисунке z3=z0z_3 = z_0.

  5. 0<θl−θj=2(l−j)πn<2π→zl≠zj0 < \theta_l - \theta_j = \resaltar{\frac{2(l - j)\pi}{n}} < 2\pi \rightarrow \resaltar{z_l \neq z_j}

    Решения z0,z1,…,zn−1z_0, z_1, \ldots, z_{n - 1} попарно различны: если 0≤j<l≤n−10 \leq j < l \leq n - 1, то их аргументы отличаются на число, лежащее строго между 00 и 2π2\pi, которое не является целым кратным 2π2\pi. Следовательно, решений ровно nn. При w=−8w = -8 это числа 1+i31 + i\sqrt{3}, −2-2 и 1−i31 - i\sqrt{3}.

На практике первый корень имеет аргумент φn\frac{\varphi}{n}, а каждый из остальных получается прибавлением 2πn\frac{2\pi}{n} к аргументу предыдущего. Замена аргумента φ\varphi числа ww другим аргументом, φ+2π\varphi + 2\pi, не меняет множества корней, а меняет лишь их нумерацию: то, что прежде было z1z_1, теперь называется z0z_0. При n=2n = 2 аргументы двух корней отличаются на π\pi, так что корни противоположны, z1=−z0z_1 = -z_0; это и есть двойной знак, который появляется в квадратном корне из комплексного числа, вычисленном в уроке курса I о комплексных числах приравниванием действительных и мнимых частей. Кроме того, число корней согласуется с тем, что известно о многочленах: по лемме о различных корнях из урока курса I об алгебре многочленов, доказательство которой без изменений проходит в комплексных числах, многочлен zn−wz^n - w степени nn не может иметь более nn различных корней; теорема показывает, что он имеет их все.

Правильный многоугольник корней

Все nn корней имеют одинаковый модуль, так что лежат на окружности с центром 00 и радиусом Rn\sqrt[n]{R}, а их аргументы расположены через равные промежутки. Приведённая ниже теорема выражает это расположение через произведение комплексных чисел, которое в тригонометрической форме перемножает модули и складывает аргументы, как было доказано в уроке о тригонометрической форме.

ТеоремаМногоугольник корней

Пусть ww есть ненулевое комплексное число, причём R=∣w∣R = \abs{w}, и n≥3n \geq 3 есть натуральное число. Каждый корень nn-й степени из ww получается из предыдущего умножением на приведённое ниже число ω\omega, что равносильно его повороту на угол 2πn\frac{2\pi}{n} вокруг начала координат; все nn корней являются вершинами правильного nn-угольника, вписанного в окружность с центром 00 и радиусом Rn\sqrt[n]{R}, и его сторона равна 2Rnsin⁡πn2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}.

zk+1=zk ω,ω=cos⁡2πn+isin⁡2πnz_{k + 1} = z_k \, \omega, \qquad \omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}

Рисунок сопровождает доказательство на примере w=64iw = 64i; кубические корни, корни четвёртой и шестой степени из этого числа лежат на окружностях радиусов 643=4\sqrt[3]{64} = 4, 644=22\sqrt[4]{64} = 2\sqrt{2} и 646=2\sqrt[6]{64} = 2.

Доказательство

  1. zk ω=Rn(cos⁡(θk+2πn)+isin⁡(θk+2πn))=zk+1z_k \, \omega = \sqrt[n]{R} \left( \cos \resaltar{\left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right)} + i \sin \left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right) \right) = \dato{g}{\resaltar{z_{k + 1}}}

    Так как ∣ω∣=1\abs{\omega} = 1, произведение zkωz_k \omega имеет модуль числа zkz_k и его аргумент, увеличенный на 2πn\frac{2\pi}{n}: это очередной корень. По индукции по kk каждый корень есть первый корень, умноженный на степень числа ω\omega, zk=z0ωkz_k = z_0 \omega^k.

  2. ∣uω−vω∣=∣(u−v)ω∣=∣u−v∣∣ω∣=∣u−v∣\abs{u\omega - v\omega} = \abs{\resaltar{(u - v)\omega}} = \abs{u - v} \abs{\omega} = \dato{d}{\resaltar{\abs{u - v}}}

    Следовательно, умножение на ω\omega есть поворот на угол 2πn\frac{2\pi}{n} вокруг начала координат, и этот поворот сохраняет расстояния, потому что модуль произведения равен произведению модулей.

  3. ∣zk+2−zk+1∣=∣zk+1ω−zkω∣=∣zk+1−zk∣\abs{z_{k + 2} - z_{k + 1}} = \abs{\resaltar{z_{k + 1} \omega - z_k \omega}} = \resaltar{\abs{z_{k + 1} - z_k}}

    Поворот переводит каждую сторону многоугольника в очередную, так что все стороны имеют одну и ту же длину.

  4. zn−1ω=z0ωn−1ω=z0ωn=z0z_{n - 1} \omega = z_0 \resaltar{\omega^{n - 1} \omega} = z_0 \omega^n = \resaltar{z_0}

    Многоугольник замыкается, потому что ωn=1\omega^n = 1: поворот переводит последнюю вершину в первую. Все nn вершин лежат на окружности, и стороны равны. Кроме того, поворот переводит треугольник с вершинами zkz_k, zk+1z_{k + 1} и zk+2z_{k + 2} в треугольник с вершинами zk+1z_{k + 1}, zk+2z_{k + 2} и zk+3z_{k + 3}, сохраняя три стороны, а по теореме косинусов угол треугольника определяется тремя его сторонами: углы многоугольника, то есть углы этих треугольников при средней вершине, равны, и многоугольник правильный.

  5. ∣z1−z0∣=∣z0∣∣ω−1∣=2Rnsin⁡πn\abs{z_1 - z_0} = \abs{z_0} \resaltar{\abs{\omega - 1}} = \resaltar{2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}}

    Сторона вычисляется в треугольнике с вершинами 00, z0z_0 и z1z_1. По формуле половинного угла ∣ω−1∣2=2−2cos⁡2πn=4sin⁡2πn\abs{\omega - 1}^2 = 2 - 2\cos \frac{2\pi}{n} = 4\sin^2 \frac{\pi}{n}, а синус числа πn\frac{\pi}{n} положителен. Для корней шестой степени из 64i64i сторона равна 2⋅2⋅12=22 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2, то есть радиусу, как во всяком правильном шестиугольнике.

При n=2n = 2 многоугольник вырождается в диаметр, концы которого суть два противоположных корня, а при n=1n = 1 корень всего один, само число ww. То, что корни образуют правильный многоугольник, объясняет, почему ни один из них не выделяется среди остальных: поворот на 2πn\frac{2\pi}{n} переставляет их, не меняя фигуры.