انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الجذور النونية لعدد مركب وجذور الواحد

ملخص

يحلّ هذا الدرس في الأعداد المركبة المعادلة zn=wz^n = w. وبالشكل القطبي وصيغة دي موافر يبرهن أن لكل عدد مركب غير منعدم جذورًا عددها nn بالضبط من الرتبة nn، لها المقياس نفسه وعُمَدها متباعدة بمقدار 2πn\frac{2\pi}{n}، بحيث تشكّل مضلعًا منتظمًا مركزه الأصل. ثم يدرس جذور الواحد: فهي قوى جذر واحد منها، وتُضرب كما تُجمع بواقي القسمة على nn، ومجموع قواها ذات الأس mm يساوي nn أو 00 بحسب ما إذا كان nn يقسم mm أو لا، وهي تحلّل كثيرة الحدود zn−1z^n - 1. ويميّز بالقاسم المشترك الأكبر الجذور البدائية، التي تمرّ قواها على جميع الجذور، ويحصل، بتجميع الجذور المترافقة، على التحليل الحقيقي لـ xn−1x^n - 1 ولـ xn+1x^n + 1 إلى عوامل خطية وتربيعية، فتعود معه قيمة cos⁡2π5\cos \frac{2\pi}{5} إلى الظهور.

أهداف التعلم

  1. إيجاد الجذور التي عددها nn من الرتبة nn لعدد مركب غير منعدم بالشكل القطبي، والبرهان على أن عددها nn بالضبط، ووصفها بأنها رؤوس مضلع منتظم.
  2. إجراء العمليات على جذور الواحد بوصفها قوى أحدها، وحساب مجاميع قواها، وتحليل كثيرة الحدود zn−1z^n - 1.
  3. تحديد أيّ جذور الواحد بدائية بواسطة القاسم المشترك الأكبر، والبرهان على المعيار بمتطابقة بيزو.
  4. تحليل كثيرتي الحدود xn−1x^n - 1 وxn+1x^n + 1 في مجموعة الأعداد الحقيقية بتجميع الجذور المترافقة، وتطبيق جذور الواحد على مسائل في المسافات وفي القيم المثلثية وفي المعادلات.

الجذور من الرتبة nn لعدد مركب

في دورة الجبر والهندسة 1، وفي درسها الخاص بـالأعداد المركبة، حُلّت المعادلة z3=1z^3 = 1 بتحليل فرق مكعبين، وأُعلن أن الجذور ذات الدليل nn لعدد مركب ما ستتطلب الشكل القطبي. وطريقة التحليل لا تُعمَّم: ففي المعادلة z5=1+iz^5 = 1 + i لا يظهر أي عامل. أما الشكل القطبي، الذي دُرس في درس الشكل القطبي للأعداد المركبة، فيحوّل المعادلة إلى شرطين حقيقيين، أحدهما على المقاييس والآخر على العُمَد، لأنه، بالصيغة المبرهنة في درس صيغة دي موافر، رفع عدد مركب إلى القوة nn يرفع مقياسه إلى القوة nn ويضرب عمدته في nn.

ليكن ww عددًا مركبًا وnn عددًا طبيعيًا. يكون العدد المركب zz جذرًا من الرتبة nn للعدد ww إذا كان zn=wz^n = w. وتسمّى الجذور من الرتبة الثانية جذورًا تربيعية، ومن الرتبة الثالثة جذورًا تكعيبية.

العدد المركب الوحيد الذي قوته ذات الرتبة nn تساوي 00 هو 00 نفسه، لأن جداء أعداد مركبة لا ينعدم إلا إذا انعدم أحد عوامله؛ فالحالة المهمة إذن هي w≠0w \neq 0. يُكتب عندئذ ww بالشكل القطبي، w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi)، مع R=∣w∣>0R = \abs{w} > 0 وφ\varphi أيّ عمدة من عُمَده. ويحتفظ الرمز Rn\sqrt[n]{R} بالمعنى الذي له في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالقوى ذات الأسس النسبية والجذور: فهو يدل على الجذر الرئيسي للعدد الحقيقي الموجب RR، أي العدد الحقيقي الموجب الوحيد الذي قوته ذات الرتبة nn تساوي RR. ويُخصَّص رمز الجذر للجذر الرئيسي لعدد حقيقي غير سالب، وكما في ذلك الدرس، للجذر الحقيقي ذي الدليل الفردي لعدد حقيقي سالب، مثل −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2؛ وإذا طُبّق على عدد مركب آخر فلن يُستعمل إلا مع تنبيه صريح إلى أنه يدل على أيّ جذر من جذوره، لأنه، كما سيتبيّن حالًا، لا يتميّز أيّ من جذوره التي عددها nn عن الباقية، واختيار أحدها اصطلاحًا يُخلّ بقوانين الجذور: فلو سُمّي جذرًا تربيعيًا لـ −1-1 العدد ii، لكان جداء هذا الجذر في نفسه −1-1، لا الجذر التربيعي لـ (−1)(−1)=1(-1)(-1) = 1.

وأخيرًا تُستعمل مبرهنة التساوي في الشكل القطبي، المبرهنة في ذلك الدرس نفسه: يتساوى عددان مركبان غير منعدمين إذا وفقط إذا كان لهما المقياس نفسه وكان الفرق بين عمدتيهما مضاعفًا صحيحًا لـ 2π2\pi.

مبرهنةالجذور من الرتبة nn

ليكن w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi) عددًا مركبًا غير منعدم، مع R=∣w∣R = \abs{w}، وnn عددًا طبيعيًا. للمعادلة zn=wz^n = w حلول مختلفة عددها nn بالضبط، هي الأعداد المركبة zkz_k الآتية، من أجل k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n - 1. ولجميعها المقياس Rn\sqrt[n]{R}، وعمدة كل منها تزيد على عمدة الذي قبله بمقدار 2πn\frac{2\pi}{n}.

zk=Rn(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn)z_k = \sqrt[n]{R} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right)

يُبحث عن الحل بالشكل القطبي وتُساوى الصيغتان القطبيتان لـ znz^n ولـ ww. ويتتبّع الرسم البرهان مع w=−8=8(cos⁡π+isin⁡π)w = -8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi) وn=3n = 3، وجذوره التكعيبية مقياسها 22.

البرهان

  1. z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)→zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \rightarrow \resaltar{z^n} = \dato{m}{\resaltar{r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)}}

    لا يمكن أن يكون الحل منعدمًا، لأن 0n=0≠w0^n = 0 \neq w. نكتبه بالشكل القطبي، مع r>0r > 0، ونرفعه إلى القوة nn بصيغة دي موافر.

  2. zn=w↔rn=R∧nθ=φ+2kπ,k∈Z\resaltar{z^n = w} \leftrightarrow \dato{c}{\resaltar{r^n = R \wedge n\theta = \varphi + 2k\pi}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    بمبرهنة التساوي في الشكل القطبي، تكافئ المعادلة zn=wz^n = w شرطين حقيقيين: المقياسان متساويان والفرق بين العمدتين مضاعف صحيح لـ 2π2\pi.

  3. r=Rn,θk=φ+2kπn,k∈Zr = \resaltar{\sqrt[n]{R}}, \qquad \dato{t}{\theta_k = \resaltar{\frac{\varphi + 2k\pi}{n}}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    العدد الحقيقي الموجب الذي قوته ذات الرتبة nn تساوي RR وحيد، وهو الجذر الرئيسي، والعمدة يحدّدها العدد الصحيح kk. وبالعكس، كل عدد مركب له هذا المقياس وهذه العمدة حلٌّ، لأنه يحقق الشرطين. ومع w=−8w = -8 وn=3n = 3، نحصل على r=2r = 2 وθ=π+2kπ3\theta = \frac{\pi + 2k\pi}{3}.

  4. θqn+j=φ+2(qn+j)πn=θj+2qπ→zqn+j=zj\theta_{qn + j} = \resaltar{\frac{\varphi + 2(qn + j)\pi}{n}} = \resaltar{\theta_j + 2q\pi} \rightarrow z_{qn + j} = z_j

    الأعداد الصحيحة kk لا نهائية، أما الحلول فلا. فبالقسمة الإقليدية، يُكتب كل عدد صحيح على الصورة k=qn+jk = qn + j، مع qq صحيح و0≤j≤n−10 \leq j \leq n - 1؛ فتزيد العمدة θk\theta_k حينئذ على θj\theta_j بمضاعف صحيح لـ 2π2\pi، ويتطابق الحلان. وفي الرسم، z3=z0z_3 = z_0.

  5. 0<θl−θj=2(l−j)πn<2π→zl≠zj0 < \theta_l - \theta_j = \resaltar{\frac{2(l - j)\pi}{n}} < 2\pi \rightarrow \resaltar{z_l \neq z_j}

    الحلول z0,z1,…,zn−1z_0, z_1, \ldots, z_{n - 1} مختلفة فيما بينها: إذا كان 0≤j<l≤n−10 \leq j < l \leq n - 1، فإن الفرق بين عمدتيهما عدد واقع تمامًا بين 00 و2π2\pi، وليس مضاعفًا صحيحًا لـ 2π2\pi. ومن ثمّ فعدد الحلول nn بالضبط. ومع w=−8w = -8، هي 1+i31 + i\sqrt{3} و−2-2 و1−i31 - i\sqrt{3}.

عمليًا، عمدة الجذر الأول φn\frac{\varphi}{n}، وكل جذر من الجذور الباقية يُحصل عليه بإضافة 2πn\frac{2\pi}{n} إلى عمدة الجذر الذي قبله. وتغيير العمدة φ\varphi للعدد ww إلى عمدة أخرى، φ+2π\varphi + 2\pi، لا يغيّر مجموعة الجذور، بل ترقيمها فقط: ما كان z1z_1 يصبح اسمه z0z_0. ومن أجل n=2n = 2، يختلف عمدتا الجذرين بمقدار π\pi، بحيث يكونان متعاكسين، z1=−z0z_1 = -z_0؛ وهذه هي الإشارة المزدوجة التي تظهر في الجذر التربيعي لعدد مركب، المحسوب في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بالأعداد المركبة بمساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية. ثم إن عدد الجذور يتفق مع ما هو معروف عن كثيرات الحدود: فبتوطئة الجذور المختلفة من درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـجبر كثيرات الحدود، التي يصحّ برهانها دون تغيير في الأعداد المركبة، لا يمكن أن يكون لكثيرة الحدود zn−wz^n - w، من الدرجة nn، أكثر من nn جذرًا مختلفًا؛ والمبرهنة تبيّن أن لها هذه الجذور كلها.

المضلع المنتظم للجذور

للجذور التي عددها nn المقياس نفسه، فهي تقع على الدائرة التي مركزها 00 ونصف قطرها Rn\sqrt[n]{R}، وعُمَدها متساوية التباعد. وتعبّر المبرهنة الآتية عن هذا الترتيب بجداء الأعداد المركبة، الذي يضرب في الشكل القطبي المقاييس ويجمع العُمَد، كما بُرهن في درس الشكل القطبي.

مبرهنةمضلع الجذور

ليكن ww عددًا مركبًا غير منعدم، مع R=∣w∣R = \abs{w}، وn≥3n \geq 3 عددًا طبيعيًا. كل جذر من الرتبة nn للعدد ww يُحصل عليه من الجذر الذي قبله بضربه في العدد ω\omega الآتي، وهذا يكافئ تدويره بزاوية 2πn\frac{2\pi}{n} حول الأصل؛ والجذور التي عددها nn هي رؤوس مضلع منتظم عدد أضلاعه nn محاط بالدائرة التي مركزها 00 ونصف قطرها Rn\sqrt[n]{R}، وطول ضلعه 2Rnsin⁡πn2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}.

zk+1=zk ω,ω=cos⁡2πn+isin⁡2πnz_{k + 1} = z_k \, \omega, \qquad \omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}

يتتبّع الرسم البرهان مع w=64iw = 64i، وجذوره التكعيبية والرباعية والسداسية تقع على دوائر أنصاف أقطارها 643=4\sqrt[3]{64} = 4 و644=22\sqrt[4]{64} = 2\sqrt{2} و646=2\sqrt[6]{64} = 2.

البرهان

  1. zk ω=Rn(cos⁡(θk+2πn)+isin⁡(θk+2πn))=zk+1z_k \, \omega = \sqrt[n]{R} \left( \cos \resaltar{\left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right)} + i \sin \left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right) \right) = \dato{g}{\resaltar{z_{k + 1}}}

    بما أن ∣ω∣=1\abs{\omega} = 1، فإن للجداء zkωz_k \omega مقياس zkz_k وعمدته مزيدة بمقدار 2πn\frac{2\pi}{n}: إنه الجذر اللاحق. وبالاستقراء على kk، كل جذر هو الجذر الأول مضروبًا في قوة لـ ω\omega، zk=z0ωkz_k = z_0 \omega^k.

  2. ∣uω−vω∣=∣(u−v)ω∣=∣u−v∣∣ω∣=∣u−v∣\abs{u\omega - v\omega} = \abs{\resaltar{(u - v)\omega}} = \abs{u - v} \abs{\omega} = \dato{d}{\resaltar{\abs{u - v}}}

    فالضرب في ω\omega هو إذن تدوير بزاوية 2πn\frac{2\pi}{n} حول الأصل، وهذا الدوران يحافظ على المسافات، لأن مقياس الجداء هو جداء المقاييس.

  3. ∣zk+2−zk+1∣=∣zk+1ω−zkω∣=∣zk+1−zk∣\abs{z_{k + 2} - z_{k + 1}} = \abs{\resaltar{z_{k + 1} \omega - z_k \omega}} = \resaltar{\abs{z_{k + 1} - z_k}}

    ينقل الدوران كل ضلع من أضلاع المضلع إلى الضلع اللاحق، بحيث تتساوى أطوال جميع الأضلاع.

  4. zn−1ω=z0ωn−1ω=z0ωn=z0z_{n - 1} \omega = z_0 \resaltar{\omega^{n - 1} \omega} = z_0 \omega^n = \resaltar{z_0}

    ينغلق المضلع، لأن ωn=1\omega^n = 1: ينقل الدوران الرأس الأخير إلى الأول. والرؤوس التي عددها nn تقع على الدائرة والأضلاع متساوية. وفضلًا عن ذلك، ينقل الدوران المثلث الذي رؤوسه zkz_k وzk+1z_{k + 1} وzk+2z_{k + 2} إلى المثلث الذي رؤوسه zk+1z_{k + 1} وzk+2z_{k + 2} وzk+3z_{k + 3} مع الحفاظ على الأضلاع الثلاثة، وبقانون جيوب التمام تتحدّد زاوية المثلث بأضلاعه الثلاثة: فزوايا المضلع، وهي زوايا هذه المثلثات عند الرأس الأوسط، متساوية، والمضلع منتظم.

  5. ∣z1−z0∣=∣z0∣∣ω−1∣=2Rnsin⁡πn\abs{z_1 - z_0} = \abs{z_0} \resaltar{\abs{\omega - 1}} = \resaltar{2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}}

    يُحسب الضلع في المثلث الذي رؤوسه 00 وz0z_0 وz1z_1. وبصيغة نصف الزاوية، ∣ω−1∣2=2−2cos⁡2πn=4sin⁡2πn\abs{\omega - 1}^2 = 2 - 2\cos \frac{2\pi}{n} = 4\sin^2 \frac{\pi}{n}، وجيب πn\frac{\pi}{n} موجب. ومن أجل الجذور السداسية لـ 64i64i، يساوي الضلع 2⋅2⋅12=22 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2، مثل نصف القطر، كما في كل سداسي منتظم.

من أجل n=2n = 2، يتحوّل المضلع إلى قطر، طرفاه الجذران المتعاكسان، ومن أجل n=1n = 1 يوجد جذر واحد فقط، هو ww نفسه. وكون الجذور تشكّل مضلعًا منتظمًا يفسّر لماذا لا يتميّز أيّ منها عن البقية: فالدوران بزاوية 2πn\frac{2\pi}{n} يبدّل مواضعها دون أن يغيّر الشكل.