सम्मिश्र संख्या के n-वें मूल और 1 के मूल

प्रमाण

1. 1
   $$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \rightarrow \resaltar{z^n} = \dato{m}{\resaltar{r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)}}$$

   कोई हल शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि $0^n = 0 \neq w$। हम उसे ध्रुवीय रूप में लिखते हैं, जहाँ $r > 0$, और डी मॉयवर सूत्र से उसे घात $n$ तक उठाते हैं।

2. 2
   $$\resaltar{z^n = w} \leftrightarrow \dato{c}{\resaltar{r^n = R \wedge n\theta = \varphi + 2k\pi}}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   ध्रुवीय रूप में समता की प्रमेय से, समीकरण $z^n = w$ दो वास्तविक शर्तों के तुल्य है: मापांक बराबर हैं और कोणांकों का अंतर $2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज है।

3. 3
   $$r = \resaltar{\sqrt[n]{R}}, \qquad \dato{t}{\theta_k = \resaltar{\frac{\varphi + 2k\pi}{n}}}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   वह धनात्मक वास्तविक संख्या जिसकी $n$वीं घात $R$ है, अद्वितीय है, अर्थात् मुख्य मूल, और कोणांक पूर्णांक $k$ से निर्धारित होता है। विलोमतः, उस मापांक और उस कोणांक वाली प्रत्येक सम्मिश्र संख्या हल है, क्योंकि वह दोनों शर्तें पूरी करती है। $w = -8$ और $n = 3$ के साथ, $r = 2$ और $\theta = \frac{\pi + 2k\pi}{3}$ प्राप्त होते हैं।

4. 4
   $$\theta_{qn + j} = \resaltar{\frac{\varphi + 2(qn + j)\pi}{n}} = \resaltar{\theta_j + 2q\pi} \rightarrow z_{qn + j} = z_j$$

   पूर्णांक $k$ अनंत हैं, पर हल नहीं। शेषफल सहित विभाजन से, प्रत्येक पूर्णांक को $k = qn + j$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $q$ पूर्णांक है और $0 \leq j \leq n - 1$; तब कोणांक $\theta_k$, $\theta_j$ से $2\pi$ के एक पूर्णांक गुणज जितना अधिक है, और दोनों हल एक ही हैं। आकृति में, $z_3 = z_0$।

5. 5
   $$0 < \theta_l - \theta_j = \resaltar{\frac{2(l - j)\pi}{n}} < 2\pi \rightarrow \resaltar{z_l \neq z_j}$$

   हल $z_0, z_1, \ldots, z_{n - 1}$ परस्पर अलग हैं: यदि $0 \leq j < l \leq n - 1$, तो उनके कोणांकों का अंतर एक ऐसी संख्या है जो कड़ाई से $0$ और $2\pi$ के बीच है, और जो $2\pi$ का पूर्णांक गुणज नहीं है। अतः ठीक $n$ हल हैं। $w = -8$ के साथ, वे $1 + i\sqrt{3}$, $-2$ और $1 - i\sqrt{3}$ हैं।

प्रमाण

1. 1
   $$z_k \, \omega = \sqrt[n]{R} \left( \cos \resaltar{\left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right)} + i \sin \left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right) \right) = \dato{g}{\resaltar{z_{k + 1}}}$$

   चूँकि $\abs{\omega} = 1$, गुणनफल $z_k \omega$ का मापांक $z_k$ के मापांक के बराबर है और उसका कोणांक $\frac{2\pi}{n}$ बढ़ जाता है: यह उसके बाद वाला मूल है। $k$ पर आगमन से, प्रत्येक मूल पहले मूल और $\omega$ की एक घात का गुणनफल है, $z_k = z_0 \omega^k$।

2. 2
   $$\abs{u\omega - v\omega} = \abs{\resaltar{(u - v)\omega}} = \abs{u - v} \abs{\omega} = \dato{d}{\resaltar{\abs{u - v}}}$$

   अतः $\omega$ से गुणा करना मूल बिंदु के चारों ओर कोण $\frac{2\pi}{n}$ से घुमाना है, और यह घूर्णन दूरियों को संरक्षित रखता है, क्योंकि गुणनफल का मापांक मापांकों का गुणनफल होता है।

3. 3
   $$\abs{z_{k + 2} - z_{k + 1}} = \abs{\resaltar{z_{k + 1} \omega - z_k \omega}} = \resaltar{\abs{z_{k + 1} - z_k}}$$

   घूर्णन बहुभुज की प्रत्येक भुजा को उसके बाद वाली भुजा पर ले जाता है, इसलिए सभी भुजाओं की लंबाई बराबर है।

4. 4
   $$z_{n - 1} \omega = z_0 \resaltar{\omega^{n - 1} \omega} = z_0 \omega^n = \resaltar{z_0}$$

   बहुभुज बंद होता है, क्योंकि $\omega^n = 1$: घूर्णन अंतिम शीर्ष को पहले शीर्ष पर ले जाता है। $n$ शीर्ष वृत्त पर हैं और भुजाएँ बराबर हैं। इसके अतिरिक्त, घूर्णन शीर्षों $z_k$, $z_{k + 1}$ और $z_{k + 2}$ वाले त्रिभुज को शीर्षों $z_{k + 1}$, $z_{k + 2}$ और $z_{k + 3}$ वाले त्रिभुज पर ले जाता है और तीनों भुजाओं को संरक्षित रखता है, और कोज्या नियम से त्रिभुज का कोई कोण उसकी तीन भुजाओं से निर्धारित होता है: बहुभुज के कोण, जो उन त्रिभुजों के बीच वाले शीर्ष पर के कोण हैं, बराबर हैं, और बहुभुज सम है।

5. 5
   $$\abs{z_1 - z_0} = \abs{z_0} \resaltar{\abs{\omega - 1}} = \resaltar{2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}}$$

   भुजा का परिकलन शीर्षों $0$, $z_0$ और $z_1$ वाले त्रिभुज में किया जाता है। अर्ध कोण के सूत्र से, $\abs{\omega - 1}^2 = 2 - 2\cos \frac{2\pi}{n} = 4\sin^2 \frac{\pi}{n}$, और $\frac{\pi}{n}$ की ज्या धनात्मक है। $64i$ के छठे मूलों के लिए भुजा का मान $2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$ है, जो त्रिज्या के बराबर है, जैसा कि प्रत्येक सम षट्भुज में होता है।