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डी मॉयवर सूत्र और सम्मिश्र संख्याओं की घातें

सारांश

यह पाठ डी मॉयवर सूत्र सिद्ध करता है, जिसके अनुसार किसी सम्मिश्र संख्या की पूर्णांक घातांक nn वाली घात का, जहाँ संख्या का मापांक 11 और कोणांक θ\theta है, कोणांक nθn\theta होता है, और उसे पाँच दिशाओं में लागू करता है। यह गुणनफलों का प्रसार किए बिना बड़े घातांक वाली घातें परिकलित करता है और निर्णय करता है कि कोई घात कब वास्तविक होती है या कब उसका मान 11 होता है; सूत्र की तुलना द्विपद प्रमेय से करके अपवर्त्य कोणों के सूत्र फिर से प्राप्त करता है; कोज्या और ज्या की घातों को अपवर्त्य कोणों की कोज्याओं के योगों के रूप में व्यक्त करता है, जिस संक्रिया को रैखिकीकरण कहते हैं; समांतर श्रेढ़ी में ज्याओं और कोज्याओं के योगों को सम्मिश्र संख्याओं के एक गुणोत्तर योग के रूप में परिकलित करता है, और द्विपद गुणांकों के योगों को 1+i1 + i की घातों के वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में प्राप्त करता है।

अधिगम उद्देश्य

  1. किसी भी पूर्णांक घातांक के लिए डी मॉयवर सूत्र सिद्ध करना और किसी सम्मिश्र संख्या की घातों की ज्यामितीय व्याख्या करना।
  2. ध्रुवीय रूप द्वारा सम्मिश्र संख्याओं की घातें परिकलित करना और निर्धारित करना कि वे कब वास्तविक होती हैं या कब 11 के बराबर होती हैं।
  3. अपवर्त्य कोणों के सूत्र निगमित करना और ज्या तथा कोज्या की घातों का रैखिकीकरण करना।
  4. त्रिकोणमितीय योगों और द्विपद गुणांकों के योगों को सम्मिश्र संख्याओं के योगों और घातों के वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में परिकलित करना।

डी मॉयवर सूत्र

सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप वाले पाठ में प्रत्येक शून्येतर सम्मिश्र संख्या को z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) के रूप में लिखा गया, जहाँ r=∣z∣r = \abs{z} उसका मापांक है और θ\theta उसके कोणांकों में से एक है, और योग की ज्या और कोज्या के सूत्रों से सिद्ध किया गया कि किसी गुणनफल में मापांक गुणा होते हैं और कोणांक जुड़ते हैं। मापांक 11 वाली दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए गुणनफल की वह प्रमेय इस प्रकार लिखी जाती है:

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

यदि दोनों गुणनखंड बराबर हों, तो गुणनफल एक वर्ग है, जिसका कोणांक 2θ2\theta है; यदि उसी गुणनखंड से फिर गुणा किया जाए, तो एक घन प्राप्त होता है, जिसका कोणांक 3θ3\theta है। गुणनफल को दोहराने पर कोणांक स्वयं में उतनी बार जुड़ता है जितने गुणनखंड हैं, इसलिए किसी घात तक उठाना एक कोण को एक पूर्णांक से गुणा करने में बदल जाता है। यह तथ्य, जिसका उपयोग अब्राहम डी मॉयवर ने अठारहवीं शताब्दी के आरंभ में एक तुल्य रूप में किया और जिसे ऑयलर ने 1748 में उसके वर्तमान रूप में लिखा, इस पाठ का विषय है।

प्रमेयडी मॉयवर सूत्र

प्रत्येक वास्तविक संख्या θ\theta और प्रत्येक पूर्णांक nn के लिए निम्नलिखित समता सत्य है।

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

उपपत्ति तीन स्थितियों में बँटती है: घातांक 00, आगमन द्वारा प्राकृत घातांक, और प्रतिलोम द्वारा ऋणात्मक घातांक। गणितीय आगमन का सिद्धांत उस रूप में प्रयुक्त होता है जिसमें वह बीजगणित और ज्यामिति I पाठ्यक्रम के योग, श्रेढ़ियाँ और आगमन वाले पाठ में है, और पूर्णांक घातांक वाली घातें सम्मिश्र संख्याओं वाले पाठ की हैं, जहाँ z0=1z^0 = 1 और z−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m} हैं। आकृति त्रिज्या 11 वाले वृत्त पर उपपत्ति का अनुसरण करती है, एक छोटे कोण θ\theta और n=3n = 3 के साथ।

प्रमाण

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    n=0n = 0 के लिए, बाएँ पक्ष का मान परिभाषा से 11 है, और दाएँ पक्ष का भी, क्योंकि cos⁡0=1\cos 0 = 1 और sin⁡0=0\sin 0 = 0।

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    n=1n = 1 के लिए समता स्पष्ट है। आगमन परिकल्पना: मान लीजिए कि यह किसी प्राकृत संख्या nn के लिए सत्य है।

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    एक अधिक घातांक वाली घात उससे एक कम घातांक वाली घात और स्वयं उस संख्या का गुणनफल है, और एक कम घातांक वाली घात को आगमन परिकल्पना से प्रतिस्थापित किया जाता है।

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    गुणनफल का प्रसार करने पर वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग योग और अंतर के सूत्रों वाले पाठ के योग की कोज्या और ज्या के सूत्रों के दाएँ पक्ष हैं: यह ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल की प्रमेय है। n+1n + 1 के लिए सूत्र प्राप्त होता है, और गणितीय आगमन के सिद्धांत से यह प्रत्येक प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    गुणनफल की प्रमेय से, cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta को cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) से गुणा करने पर cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1 प्राप्त होता है: अतः दूसरा गुणनखंड पहले का प्रतिलोम है। चूँकि कोज्या सम फलन है और ज्या विषम फलन, प्रतिलोम संयुग्मी है।

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    यदि n=−mn = -m, जहाँ mm एक प्राकृत संख्या है, तो घातांक के नियमों से घातांक −m-m वाली घात प्रतिलोम की mmवीं घात है। प्राकृत स्थिति को कोण −θ-\theta पर लागू किया जाता है।

यह सूत्र सभी शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित होता है, क्योंकि किसी गुणनफल की घात घातों का गुणनफल होती है, ऋणात्मक घातांकों के लिए भी: किसी गुणनफल का प्रतिलोम प्रतिलोमों का गुणनफल होता है।

प्रमेयध्रुवीय रूप में घातें

यदि z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या है, तो प्रत्येक पूर्णांक nn के लिए zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right) सत्य है: znz^n का मापांक rnr^n है, और nθn\theta, znz^n का एक कोणांक है। वास्तविक गुणनखंड को मापांक 11 वाले गुणनखंड से अलग किया जाता है और इस दूसरे गुणनखंड पर डी मॉयवर सूत्र लागू किया जाता है। आकृति उपपत्ति का अनुसरण 11 से कुछ बड़े मापांक वाली एक सम्मिश्र संख्या और n=3n = 3 के साथ करती है, और z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) तथा उसकी पहली तीन घातों पर समाप्त होती है।

प्रमाण

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    किसी गुणनफल की घात घातों का गुणनफल होती है: प्राकृत घातांकों के लिए गुणन की क्रमविनिमेयता और साहचर्यता से, और ऋणात्मक घातांकों के लिए इसलिए कि किसी गुणनफल का प्रतिलोम प्रतिलोमों का गुणनफल होता है।

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    दूसरे गुणनखंड पर डी मॉयवर सूत्र लागू किया जाता है, जो प्रत्येक पूर्णांक nn के लिए मान्य है।

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    चूँकि r>0r > 0, घात rnr^n एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, ऋणात्मक nn के लिए भी। ध्रुवीय रूप में समता की प्रमेय से, प्राप्त व्यंजक znz^n का एक ध्रुवीय रूप है: उसका मापांक rnr^n है, और nθn\theta उसके कोणांकों में से एक है।

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    z=3+iz = \sqrt{3} + i के साथ, घातों के मापांक 22, 44 और 88 हैं और कोणांक π6\frac{\pi}{6}, π3\frac{\pi}{3} और π2\frac{\pi}{2}: घन एक विशुद्ध काल्पनिक संख्या है।

इससे यह निकलता है कि घातों z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots के मापांक सार्व अनुपात rr वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं और कोणांक सार्व अंतर θ\theta वाली समांतर श्रेढ़ी में, उस अर्थ में जो पाठ्यक्रम I के संकलनों और श्रेढ़ियों वाले पाठ में है। यदि r=1r = 1, तो वे सभी त्रिज्या 11 वाले वृत्त पर हैं, और प्रत्येक, एक कम घातांक वाली घात के सापेक्ष, कोण θ\theta से घूमी हुई है; यदि r>1r > 1, तो वे घूमती हैं और मूल बिंदु से दूर जाती हैं; यदि r<1r < 1, तो वे घूमती हैं और उसके निकट आती हैं। इसके अतिरिक्त, चूँकि zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k और zz से गुणन कोण θ\theta का एक घूर्णन है जो अनुपात rr वाले एक तनन के साथ संघटित है, शीर्षों 00, zkz^k और zk+1z^{k + 1} वाले सभी त्रिभुज शीर्षों 00, 11 और zz वाले त्रिभुज के समरूप हैं, जैसा कि ध्रुवीय रूप वाले पाठ में सिद्ध किया गया।

उदाहरणघातों का सर्पिल

मान लीजिए zz वह सम्मिश्र संख्या है जिसका मापांक 1110\frac{11}{10} है, जो 11 से कुछ बड़ा है, और कोणांक π4\frac{\pi}{4} है। हम आठवीं घात तक उसकी कुछ घातें परिकलित करते हैं और उस वक्र का वर्णन करते हैं जिस पर वे स्थित हैं।

प्रमाण

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    ध्रुवीय रूप में और बीजीय रूप में यह संख्या निम्नलिखित है।

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    ध्रुवीय रूप में घातों की प्रमेय से, वर्ग का कोणांक π2\frac{\pi}{2} है: यह एक विशुद्ध काल्पनिक संख्या है।

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    चौथी घात का कोणांक π\pi है: यह एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या है।

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    आठवीं घात का कोणांक 2π2\pi है: एक पूरे चक्कर के बाद यह धनात्मक वास्तविक अर्ध-अक्ष पर लौट आती है, मूल बिंदु से 22 से कुछ अधिक दूरी पर।

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    गुणनफल के मापांक की प्रमेय से, दो क्रमागत घातों के बीच की दूरी भी सार्व अनुपात 1110\frac{11}{10} वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी में बढ़ती है। ये बिंदु उस वक्र पर हैं जिसका समीकरण ध्रुवीय निर्देशांकों में, जिनका अध्ययन ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय वक्र वाले पाठ में किया गया, r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}} है: एक सर्पिल, जिसे लघुगणकीय कहा जाता है, और जो, जैसा कि अवकल गणित से सिद्ध होता है, मूल बिंदु से होकर जाने वाली प्रत्येक रेखा को सदा एक ही कोण पर काटता है।