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Topos Uranos
日本語

ド・モアブルの公式と複素数の累乗

要約

この課ではド・モアブルの公式を証明する。この公式によれば、複素数の整数乗（指数は nn、複素数の絶対値は 11、偏角は θ\theta）の偏角は nθn\theta である。さらにこの公式を五つの方向に応用する。積を展開せずに大きな指数の累乗を計算し、累乗が実数になるのはいつか、また 11 に等しくなるのはいつかを判定する。この公式を二項定理と比べて多倍角の公式を導き直す。余弦と正弦の累乗を多倍角の余弦の和として表す。この操作を線形化という。角が等差数列をなす正弦の和と余弦の和を、複素数の等比数列の和として計算する。そして二項係数のいくつかの和を、1+i1 + i の累乗の実部と虚部として求める。

学習目標

  1. 任意の整数の指数についてド・モアブルの公式を証明し、複素数の累乗を幾何学的に解釈する。
  2. 極形式を用いて複素数の累乗を計算し、それが実数になるのはいつか、また 11 に等しくなるのはいつかを決定する。
  3. 多倍角の公式を導き、正弦と余弦の累乗を線形化する。
  4. 三角関数の和と二項係数の和を、複素数の和と累乗の実部と虚部として計算する。

ド・モアブルの公式

複素数の極形式の課では、零でないすべての複素数を z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) と書いた。ここで r=∣z∣r = \abs{z} はその絶対値、θ\theta はその偏角の一つである。そして、和の正弦と余弦の公式を用いて、積では絶対値が掛け合わされ偏角が加えられることを証明した。絶対値が 11 の二つの複素数に対しては、この積の定理は次のように書ける。

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

二つの因数が等しければ、積は平方であり、その偏角は 2θ2\theta である。もう一度同じ因数を掛けると立方が得られ、その偏角は 3θ3\theta である。積を繰り返すと、偏角は因数の個数と同じ回数だけ自分自身に加えられる。したがって累乗は角に整数を掛けることに帰着する。この事実がこの課の主題である。アブラーム・ド・モアブルは十八世紀の初めにこれを同値な形で用い、オイラーは 1748 年にこれを現在の形で書いた。

定理ド・モアブルの公式

すべての実数 θ\theta とすべての整数 nn について、次の等式が成り立つ。

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

証明は三つに分かれる。指数 00 の場合、自然数の指数の場合（帰納法による）、負の指数の場合（逆数による）である。数学的帰納法の原理は、コース 代数と幾何 I の総和・数列・帰納法の課における形で用い、整数の指数の累乗は複素数の課のものを用いる。そこでは z0=1z^0 = 1、z−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m} である。図は半径 11 の円の上で証明をたどる。角 θ\theta は小さくとり、n=3n = 3 とする。

証明

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    n=0n = 0 のとき、左辺は定義により 11 に等しく、右辺も同様である。cos⁡0=1\cos 0 = 1 かつ sin⁡0=0\sin 0 = 0 だからである。

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    n=1n = 1 のとき、等式は明らかである。帰納法の仮定：ある自然数 nn について成り立つと仮定する。

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    指数が一つ大きい累乗は、もとの累乗と底との積であり、もとの累乗は帰納法の仮定によって置き換えられる。

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    積を展開すると、実部と虚部は加法定理の課の和の余弦と正弦の公式の右辺になる。これは極形式における積と商の定理である。こうして n+1n + 1 の場合の公式が得られ、数学的帰納法の原理によりすべての自然数について成り立つ。

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    積の定理により、cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta に cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) を掛けると cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1 になる。したがって後者は前者の逆数である。余弦は偶関数、正弦は奇関数であるから、この逆数は共役複素数に等しい。

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    n=−mn = -m（ただし mm は自然数）ならば、指数法則により、指数 −m-m の累乗は逆数の mm 乗である。自然数の指数の場合を角 −θ-\theta に適用する。

この公式は零でないすべての複素数に拡張される。積の累乗は累乗の積に等しく、これは負の指数でも成り立つからである。実際、積の逆数は逆数の積に等しい。

定理極形式における累乗

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) が零でない複素数ならば、すべての整数 nn について zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right) が成り立つ。すなわち、znz^n の絶対値は rnr^n であり、nθn\theta は znz^n の偏角の一つである。 実数の因数を絶対値 11 の因数から切り離し、後者にド・モアブルの公式を適用する。図は絶対値が 11 より少し大きい複素数と n=3n = 3 で証明をたどり、最後に z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) とその最初の三つの累乗を示す。

証明

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    積の累乗は累乗の積に等しい。自然数の指数については乗法の交換法則と結合法則により、負の指数については積の逆数が逆数の積に等しいからである。

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    第二の因数にド・モアブルの公式を適用する。この公式はすべての整数 nn について成り立つ。

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    r>0r > 0 であるから、累乗 rnr^n は正の実数であり、nn が負のときも同様である。極形式における相等の定理により、得られた式は znz^n の極形式である。その絶対値は rnr^n であり、nθn\theta はその偏角の一つである。

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    z=3+iz = \sqrt{3} + i のとき、累乗の絶対値は 22、44、88、偏角は π6\frac{\pi}{6}、π3\frac{\pi}{3}、π2\frac{\pi}{2} である。立方は純虚数である。

したがって、累乗 z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots の絶対値は公比 rr の等比数列をなし、偏角は公差 θ\theta の等差数列をなす。これはコース I の総和と数列の課の意味においてである。r=1r = 1 ならば、すべての累乗は半径 11 の円の上にあり、それぞれは指数が一つ小さい累乗に対して角 θ\theta だけ回転している。r>1r > 1 ならば、回転しながら原点から遠ざかり、r<1r < 1 ならば、回転しながら原点に近づく。さらに、zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k であり、zz を掛けることは角 θ\theta の回転と比 rr の拡大との合成であるから、頂点が 00、zkz^k、zk+1z^{k + 1} であるすべての三角形は、頂点が 00、11、zz である三角形と相似である。これは極形式の課で証明したとおりである。

例累乗の螺旋

zz を、絶対値が 1110\frac{11}{10}（11 より少し大きい）、偏角が π4\frac{\pi}{4} の複素数とする。その累乗のいくつかを八乗まで計算し、それらが並ぶ曲線を記述する。

証明

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    極形式と代数形式で書くと、この数は次のとおりである。

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    極形式における累乗の定理により、平方の偏角は π2\frac{\pi}{2} である。すなわち純虚数である。

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    四乗の偏角は π\pi である。すなわち負の実数である。

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    八乗の偏角は 2π2\pi である。一回転したのち正の実軸に戻り、原点からの距離は 22 より少し大きい。

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    積の絶対値の定理により、隣り合う二つの累乗の距離も公比 1110\frac{11}{10} の等比数列で増加する。これらの点が乗る曲線は、極座標と極方程式の曲線の課で学んだ極座標では、方程式 r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}} をもつ。これは対数螺旋と呼ばれる螺旋であり、微分法で証明されるように、原点を通るどの直線とも常に同じ角で交わる。