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Topos Uranos
日本語

複素数の極形式

要約

この課は、0 でない各複素数を、その絶対値と一つの偏角、すなわちその数を表す点の極座標における偏角によって書き表し、こうしてその極形式、または三角形式、z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) を得る。複素数のすべての偏角を記述し、偏角の主値を定義して、象限に応じて補正した逆正接によってそれを計算し、二つの極形式が同じ数を表すのはどのような場合かを証明する。加法定理を用いて中心となる定理を証明する。二つの複素数を掛けると、絶対値は掛け合わされ、偏角は加えられ、割ると、絶対値は割られ、偏角は引かれる。この定理から共役複素数の偏角と逆数の偏角が導かれ、積の偏角の主値は、偏角の主値の和と一回転の違いを除いてしか一致しないことが注意される。最後に、複素数を掛けることを回転と拡大の合成として解釈し、これが ii を掛けることによる四分の一回転を一般化することを見たうえで、頂点が 00、11、ww の三角形と 00、zz、zwzw の三角形が相似であることを証明する。

学習目標

  1. 0 でない複素数を極形式で書き、象限に応じてその偏角の主値を計算し、二つの極形式が同じ数を表すのはどのような場合かを判定する。
  2. 加法定理を用いて、積では絶対値が掛け合わされ偏角が加えられることを証明し、商、共役複素数、逆数についての規則を導く。
  3. 複素数を掛けることを回転と拡大の合成として解釈し、頂点が 00、11、ww の三角形と 00、zz、zwzw の三角形の相似を証明する。
  4. 極形式を、三角比の正確な値、逆正接の間の等式、zz とその共役複素数を含む方程式、偏角によって定義される軌跡に応用する。

複素数の極形式

コース 代数と幾何 I の複素数の課では、各複素数 z=a+biz = a + bi を平面の点 (a,b)(a, b) として表し、その絶対値 ∣z∣\abs{z} をその点と原点との距離として定義し、ii を掛けると各点が四分の一回転することを証明した。任意の複素数を掛ける場合は未解決のまま残った。その効果は代数形式からは読み取れないからである。実際、(a+bi)(c+di)(a + bi)(c + di) の実部は ac−bdac - bd であり、この式はどのような幾何も明らかにしない。ところで、平面の点は、原点からの距離と、原点から見たその点の方向によっても指定できる。極座標の課でそうしたとおりである。点についてそうであるなら、複素数についてもそうである。そして、この第二の記述では、証明するとおり、積が透明になる。

z=a+biz = a + bi を 0 でない複素数とする。zz の偏角とは、実数 θ\theta であって、a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta かつ b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta を満たすもののことである。r=∣z∣r = \abs{z} とし、θ\theta が zz の偏角であるとき、下に示す式を zz の極形式、または三角形式という。
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

0 でない複素数はすべて偏角をもつ。実際、極座標の課で証明した、直交座標から極座標への移行の定理により、点 (a,b)(a, b)（極とは異なる）は極座標表示 (r,θ)(r, \theta)（ただし r>0r > 0）をもち、その動径は r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}、すなわち zz の絶対値である。このとき等式 a=rcos⁡θa = r \cos \theta と b=rsin⁡θb = r \sin \theta は、偏角 θ\theta が zz の偏角であることを述べている。したがって、zz の偏角とは、原点と zz を結ぶ線分が正の実軸となす角を弧度法で測ったものである。これに対して 0 は偏角をもたない。等式 0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) はすべての θ\theta について成り立ち、どの角もそれを区別しないからである。zz の偏角のどれか一つを表すには arg⁡z\arg z と書き、「zz の偏角」と読む。

下に示す定理は、絶対値と偏角が、動径が負の極座標とは異なり、一回転の整数倍の違いを除いて複素数を曖昧さなく定めることを述べる。極形式によるあらゆる計算はこの定理に依存する。二つの複素数が等しいことを示すには、それらの絶対値と偏角を比べれば十分となる。

定理極形式における相等

rr、r1r_1、r2r_2 を正の実数とし、θ\theta、θ1\theta_1、θ2\theta_2 を実数とする。複素数 r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) は絶対値 rr、偏角 θ\theta をもつ。さらに、複素数 r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) と r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) が等しいのは、r1=r2r_1 = r_2 かつ θ1−θ2=2kπ\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi（kk はある整数）であるとき、またそのときに限る。 ピタゴラスの恒等式、正弦と余弦の周期性、および角とその大きさの課における動径が一致する角の特徴づけを用いる。二つの角が単位円の同じ点を与えるのは、それらが 2π2\pi の整数倍だけ異なるとき、またそのときに限る。

証明

  1. ∣z∣2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2\abs{z}^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2}

    z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)（ただし r>0r > 0）とする。その実部は rcos⁡θr \cos \theta、虚部は rsin⁡θr \sin \theta である。ピタゴラスの恒等式により、その絶対値の 2 乗は r2r^2 である。

  2. ∣z∣=r,rcos⁡θ=∣z∣cos⁡θ,rsin⁡θ=∣z∣sin⁡θ\dato{m}{\resaltar{\abs{z} = r}}, \qquad r \cos \theta = \resaltar{\abs{z} \cos \theta}, \qquad r \sin \theta = \abs{z} \sin \theta

    数 ∣z∣\abs{z} と rr は正で、2 乗が等しい。したがって両者は等しく、zz の実部と虚部は定義が要求するとおりのものである。つまり、θ\theta は zz の偏角である。ゆえに、この形の式で r>0r > 0 であるものはすべて極形式である。

  3. r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)→r1=r2r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \rightarrow \dato{r}{\resaltar{r_1 = r_2}}

    絶対値が r1r_1 と r2r_2 の複素数が等しければ、それらの絶対値は等しく、すぐ上で示したことにより、その絶対値は r1r_1 と r2r_2 である。

  4. cos⁡θ1=cos⁡θ2∧sin⁡θ1=sin⁡θ2↔θ1−θ2=2kπ\resaltar{\cos \theta_1 = \cos \theta_2 \wedge \sin \theta_1 = \sin \theta_2} \leftrightarrow \resaltar{\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi}

    実部どうし、虚部どうしを等しいとおき、0 でない r1=r2r_1 = r_2 で割る。角 θ1\theta_1 と θ2\theta_2 は単位円の同じ点を与えるので、動径が一致する角である。

  5. cos⁡(θ2+2kπ)=cos⁡θ2,sin⁡(θ2+2kπ)=sin⁡θ2\cos(\resaltar{\theta_2 + 2k\pi}) = \resaltar{\cos \theta_2}, \qquad \sin(\theta_2 + 2k\pi) = \sin \theta_2

    逆に、r1=r2r_1 = r_2 かつ θ1=θ2+2kπ\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi ならば、正弦と余弦の周期性により二つの式は同じ実部と虚部をもち、二つの複素数は等しい。

このことから、θ\theta が zz の偏角ならば、zz の偏角はちょうど数 θ+2kπ\theta + 2k\pi（kk は整数）であることがわかる。同じ複素数の二つの偏角は、つねに一回転の整数倍だけ異なる。したがって、等式 arg⁡z=θ\arg z = \theta は、θ\theta が zz の偏角の一つであることを意味し、ほかの偏角を定めはしない。さらに、定理は r>0r > 0 を要求することに注意しておく。式 −2(cos⁡π3+isin⁡π3)-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) は極形式ではない。−2-2 は絶対値ではありえないからである。−cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos \theta = \cos(\theta + \pi) かつ −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin \theta = \sin(\theta + \pi) であるから、同じ数は極形式で 2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) と書かれる。

偏角の主値

0 でない複素数の偏角のうち、区間 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} に属するものはちょうど一つある。この区間は長さが 2π2\pi で、各族 θ+2kπ\theta + 2k\pi の代表をただ一つ含むからである。この偏角を zz の偏角の主値といい、Arg⁡z\operatorname{Arg} z と書いて「zz の偏角の主値」と読む。極座標の課の定理により、aa と bb を xx と yy の役割に置いて、逆三角関数の課の逆正接で計算する。逆正接は第 1 象限と第 4 象限しか見ないので、ほかの二つの象限では補正しなければならない。

Arg⁡z={arctan⁡baa>0arctan⁡ba+πa<0∧b≥0arctan⁡ba−πa<0∧b<0π2a=0∧b>0−π2a=0∧b<0\operatorname{Arg} z = \begin{cases} \arctan \frac{b}{a} & a > 0 \\ \arctan \frac{b}{a} + \pi & a < 0 \wedge b \geq 0 \\ \arctan \frac{b}{a} - \pi & a < 0 \wedge b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b < 0 \end{cases}
例第 2 象限の複素数の極形式

複素数 z=−3+iz = -\sqrt{3} + i を極形式で書き、そのすべての偏角を記述する。図は複素平面上でこの計算をたどる。

証明

  1. ∣z∣=(−3)2+12=4=2\abs{z} = \sqrt{\resaltar{\left( -\sqrt{3} \right)^2 + 1^2}} = \sqrt{4} = \dato{m}{\resaltar{2}}

    絶対値は、点 (−3,1)\left( -\sqrt{3}, 1 \right) と原点との距離である。

  2. arctan⁡1−3=arctan⁡(−33)=−π6\arctan \frac{1}{-\sqrt{3}} = \resaltar{\arctan\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} = \dato{a}{\resaltar{-\frac{\pi}{6}}}

    虚部を実部で割った商の逆正接は第 4 象限の角を与える。それは反対側の点 3−i\sqrt{3} - i の偏角であり、zz の偏角ではない。

  3. Arg⁡z=−π6+π=5π6\operatorname{Arg} z = \resaltar{-\frac{\pi}{6} + \pi} = \dato{t}{\resaltar{\frac{5\pi}{6}}}

    実部が負で虚部が正であるから、点は第 2 象限にあり、公式は π\pi を加える。

  4. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+12i)=−3+iz = 2\left( \resaltar{\cos \frac{5\pi}{6}} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( \resaltar{-\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i

    極形式を、5π6\frac{5\pi}{6} の余弦と正弦の値で確かめる。これらの値は、π6\frac{\pi}{6} の値から補角の対称性によって得られる。

  5. arg⁡z=5π6+2kπ,k∈Z\arg z = \resaltar{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}, \qquad k \in \mathbb{Z}

    ほかの偏角は主値と一回転の整数倍だけ異なる。たとえば −7π6-\frac{7\pi}{6} と 17π6\frac{17\pi}{6} も zz の偏角であるが、(−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} には属さない。

軸上にある複素数の極形式は、すぐに見分けられるようにしておくとよい。正の実数は偏角の主値 00 をもち、負の実数は π\pi をもつ。純虚数 bibi は、b>0b > 0 のとき偏角の主値 π2\frac{\pi}{2} をもち、b<0b < 0 のとき −π2-\frac{\pi}{2} をもつ。たとえば次のとおりである。

−1=cos⁡π+isin⁡π,i=cos⁡π2+isin⁡π2,−2i=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))-1 = \cos \pi + i \sin \pi, \qquad i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}, \qquad -2i = 2\left( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

区間 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} は一つの約束であり、極座標の課と同じものである。ほかの教科書では [0,2π)\ico{0}{2\pi} を用いる。約束によらないのはすべての偏角の集合であり、そのため、この課の定理は、特に明記しない限り、任意の偏角について述べる。