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Topos Uranos
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La forme polaire des nombres complexes

Résumé

Cette leçon écrit tout nombre complexe non nul au moyen de son module et d’un argument, l’angle polaire du point qui le représente, et obtient ainsi sa forme polaire ou trigonométrique, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right). Elle décrit tous les arguments d’un complexe, définit l’argument principal et le calcule avec l’arc tangente corrigé selon le quadrant, et démontre quand deux formes polaires représentent le même nombre. Avec les formules d’addition, elle démontre le théorème central : quand on multiplie deux complexes, leurs modules se multiplient et leurs arguments s’additionnent, et quand on les divise, les modules se divisent et les arguments se soustraient ; on en déduit l’argument du conjugué et celui de l’inverse, et l’on remarque que l’argument principal d’un produit n’est la somme des arguments principaux qu’à un tour près. Enfin, elle interprète le produit par un complexe comme une rotation composée avec une homothétie, qui généralise le quart de tour du produit par ii, et démontre que les triangles de sommets 00, 11, ww et 00, zz, zwzw sont semblables.

Objectifs d’apprentissage

  1. Écrire un complexe non nul sous forme polaire, calculer son argument principal selon le quadrant et décider quand deux formes polaires représentent le même nombre.
  2. Démontrer avec les formules d’addition que dans un produit les modules se multiplient et les arguments s’additionnent, et en déduire les règles du quotient, du conjugué et de l’inverse.
  3. Interpréter le produit par un complexe comme une rotation composée avec une homothétie, et démontrer la similitude des triangles de sommets 00, 11, ww et 00, zz, zwzw.
  4. Appliquer la forme polaire à des valeurs exactes de rapports trigonométriques, à des identités entre arcs tangentes, à des équations en zz et son conjugué et à des lieux géométriques définis par des arguments.

La forme polaire d’un nombre complexe

Dans la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les nombres complexes, on a représenté chaque complexe z=a+biz = a + bi par le point (a,b)(a, b) du plan, on a défini son module ∣z∣\abs{z} comme la distance de ce point à l’origine et on a démontré que le produit par ii fait tourner chaque point d’un quart de tour. Le produit par un complexe quelconque est resté en suspens, car son effet ne se lit pas sur la forme algébrique : la partie réelle de (a+bi)(c+di)(a + bi)(c + di) est ac−bdac - bd, expression qui ne révèle aucune géométrie. Or un point du plan peut aussi être désigné par sa distance à l’origine et par la direction dans laquelle on le voit depuis celle-ci, comme dans la leçon sur les coordonnées polaires. S’il en est ainsi pour les points, il en est ainsi pour les complexes ; et dans cette seconde description, comme on le démontrera, le produit devient transparent.

Soit z=a+biz = a + bi un complexe non nul. Un argument de zz est tout nombre réel θ\theta tel que a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta et b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta. Si r=∣z∣r = \abs{z} et θ\theta est un argument de zz, l’expression ci-dessous est une forme polaire, ou forme trigonométrique, de zz.
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

Tout complexe non nul a des arguments. En effet, d’après le théorème du passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires, démontré dans la leçon sur les coordonnées polaires, le point (a,b)(a, b), distinct du pôle, a une représentation polaire (r,θ)(r, \theta) avec r>0r > 0, et son rayon est r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}, c’est-à-dire le module de zz ; les égalités a=rcos⁡θa = r \cos \theta et b=rsin⁡θb = r \sin \theta disent alors que l’angle polaire θ\theta est un argument de zz. Un argument de zz est donc l’angle que fait avec le demi-axe réel positif le segment qui joint l’origine à zz, mesuré en radians. Le zéro, en revanche, n’a pas d’argument : l’égalité 0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) est vraie pour tout θ\theta, et aucun angle ne le distingue. Pour désigner l’un quelconque des arguments de zz, on écrit arg⁡z\arg z, qui se lit « argument de zz ».

Le théorème qui suit dit que le module et l’argument, à la différence des coordonnées polaires de rayon négatif, déterminent le complexe sans ambiguïté, à des tours complets près. Tout calcul avec des formes polaires en dépend : pour démontrer que deux complexes sont égaux, il suffira de comparer leurs modules et leurs arguments.

ThéorèmeÉgalité sous forme polaire

Soient rr, r1r_1 et r2r_2 des réels strictement positifs, et θ\theta, θ1\theta_1 et θ2\theta_2 des nombres réels. Le complexe r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) a pour module rr et pour argument θ\theta. De plus, les complexes r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) et r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) sont égaux si et seulement si r1=r2r_1 = r_2 et θ1−θ2=2kπ\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi pour un certain entier kk. On utilise l’identité pythagoricienne, la périodicité du sinus et du cosinus et la caractérisation des angles coterminaux de la leçon sur les angles et leur mesure : deux angles donnent le même point du cercle trigonométrique exactement quand ils diffèrent d’un multiple entier de 2π2\pi.

Démonstration

  1. ∣z∣2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2\abs{z}^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2}

    Soit z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), avec r>0r > 0. Sa partie réelle est rcos⁡θr \cos \theta et sa partie imaginaire, rsin⁡θr \sin \theta ; d’après l’identité pythagoricienne, le carré de son module est r2r^2.

  2. ∣z∣=r,rcos⁡θ=∣z∣cos⁡θ,rsin⁡θ=∣z∣sin⁡θ\dato{m}{\resaltar{\abs{z} = r}}, \qquad r \cos \theta = \resaltar{\abs{z} \cos \theta}, \qquad r \sin \theta = \abs{z} \sin \theta

    Les nombres ∣z∣\abs{z} et rr sont strictement positifs et ont le même carré ; ils sont donc égaux, et les parties de zz sont celles qu’exige la définition : θ\theta est un argument de zz. Toute expression de cette forme avec r>0r > 0 est donc une forme polaire.

  3. r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)→r1=r2r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \rightarrow \dato{r}{\resaltar{r_1 = r_2}}

    Si les complexes de module r1r_1 et r2r_2 sont égaux, ils ont le même module, et d’après l’étape qui précède leurs modules sont r1r_1 et r2r_2.

  4. cos⁡θ1=cos⁡θ2∧sin⁡θ1=sin⁡θ2↔θ1−θ2=2kπ\resaltar{\cos \theta_1 = \cos \theta_2 \wedge \sin \theta_1 = \sin \theta_2} \leftrightarrow \resaltar{\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi}

    Nous égalons les parties réelles et les parties imaginaires et nous divisons par r1=r2r_1 = r_2, qui n’est pas nul : les angles θ1\theta_1 et θ2\theta_2 donnent le même point du cercle trigonométrique, de sorte qu’ils sont coterminaux.

  5. cos⁡(θ2+2kπ)=cos⁡θ2,sin⁡(θ2+2kπ)=sin⁡θ2\cos(\resaltar{\theta_2 + 2k\pi}) = \resaltar{\cos \theta_2}, \qquad \sin(\theta_2 + 2k\pi) = \sin \theta_2

    Réciproquement, si r1=r2r_1 = r_2 et θ1=θ2+2kπ\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi, par la périodicité du sinus et du cosinus les deux expressions ont les mêmes parties, et les complexes sont égaux.

Il s’ensuit que, si θ\theta est un argument de zz, les arguments de zz sont exactement les nombres θ+2kπ\theta + 2k\pi, avec kk entier : deux arguments d’un même complexe diffèrent toujours de tours complets. L’égalité arg⁡z=θ\arg z = \theta signifie donc que θ\theta est l’un des arguments de zz, et ne fixe pas les autres. Il convient de remarquer, en outre, que le théorème exige r>0r > 0 : l’expression −2(cos⁡π3+isin⁡π3)-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) n’est pas une forme polaire, car −2-2 n’est pas un module ; comme −cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos \theta = \cos(\theta + \pi) et −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin \theta = \sin(\theta + \pi), le même nombre s’écrit sous forme polaire 2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right).

L’argument principal

Parmi les arguments d’un complexe non nul, il y en a exactement un dans l’intervalle (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, car cet intervalle a pour longueur 2π2\pi et contient un unique représentant de chaque famille θ+2kπ\theta + 2k\pi. Cet argument s’appelle l’argument principal de zz, s’écrit Arg⁡z\operatorname{Arg} z et se lit « argument principal de zz ». D’après le théorème de la leçon sur les coordonnées polaires, avec aa et bb dans le rôle de xx et yy, on le calcule avec l’arc tangente de la leçon sur les fonctions trigonométriques réciproques, qui ne voit que le premier et le quatrième quadrant et doit être corrigé dans les deux autres :

Arg⁡z={arctan⁡baa>0arctan⁡ba+πa<0∧b≥0arctan⁡ba−πa<0∧b<0π2a=0∧b>0−π2a=0∧b<0\operatorname{Arg} z = \begin{cases} \arctan \frac{b}{a} & a > 0 \\ \arctan \frac{b}{a} + \pi & a < 0 \wedge b \geq 0 \\ \arctan \frac{b}{a} - \pi & a < 0 \wedge b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b < 0 \end{cases}
ExempleLa forme polaire d’un complexe du deuxième quadrant

Nous écrivons sous forme polaire le complexe z=−3+iz = -\sqrt{3} + i et nous décrivons tous ses arguments. La figure suit le calcul dans le plan complexe.

Démonstration

  1. ∣z∣=(−3)2+12=4=2\abs{z} = \sqrt{\resaltar{\left( -\sqrt{3} \right)^2 + 1^2}} = \sqrt{4} = \dato{m}{\resaltar{2}}

    Le module est la distance du point (−3,1)\left( -\sqrt{3}, 1 \right) à l’origine.

  2. arctan⁡1−3=arctan⁡(−33)=−π6\arctan \frac{1}{-\sqrt{3}} = \resaltar{\arctan\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} = \dato{a}{\resaltar{-\frac{\pi}{6}}}

    L’arc tangente du quotient de la partie imaginaire par la partie réelle donne un angle du quatrième quadrant : c’est l’argument du point opposé, 3−i\sqrt{3} - i, et non celui de zz.

  3. Arg⁡z=−π6+π=5π6\operatorname{Arg} z = \resaltar{-\frac{\pi}{6} + \pi} = \dato{t}{\resaltar{\frac{5\pi}{6}}}

    Comme la partie réelle est strictement négative et la partie imaginaire strictement positive, le point est dans le deuxième quadrant, et la formule ajoute π\pi.

  4. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+12i)=−3+iz = 2\left( \resaltar{\cos \frac{5\pi}{6}} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( \resaltar{-\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i

    Nous vérifions la forme polaire avec les valeurs du cosinus et du sinus de 5π6\frac{5\pi}{6}, que nous obtenons à partir de celles de π6\frac{\pi}{6} par la symétrie de l’angle supplémentaire.

  5. arg⁡z=5π6+2kπ,k∈Z\arg z = \resaltar{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}, \qquad k \in \mathbb{Z}

    Les autres arguments diffèrent de l’argument principal de tours complets : par exemple, −7π6-\frac{7\pi}{6} et 17π6\frac{17\pi}{6} sont aussi des arguments de zz, mais ils ne sont pas dans (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}.

Les complexes situés sur les axes ont des formes polaires qu’il convient de reconnaître immédiatement. Les réels strictement positifs ont pour argument principal 00, et les réels strictement négatifs, π\pi ; les imaginaires purs bibi avec b>0b > 0 ont pour argument principal π2\frac{\pi}{2}, et avec b<0b < 0, −π2-\frac{\pi}{2}. Ainsi, par exemple :

−1=cos⁡π+isin⁡π,i=cos⁡π2+isin⁡π2,−2i=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))-1 = \cos \pi + i \sin \pi, \qquad i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}, \qquad -2i = 2\left( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

L’intervalle (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} est une convention, la même que dans la leçon sur les coordonnées polaires ; d’autres textes utilisent [0,2π)\ico{0}{2\pi}. Ce qui ne dépend pas de la convention, c’est l’ensemble de tous les arguments, et c’est pourquoi les théorèmes de cette leçon s’énoncent avec des arguments quelconques, sauf mention expresse du contraire.