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Topos Uranos
Français

La formule de Moivre et les puissances des complexes

Résumé

Cette leçon démontre la formule de Moivre, selon laquelle la puissance d’exposant entier nn d’un complexe de module 11 et d’argument θ\theta a pour argument nθn\theta, et l’applique dans cinq directions. Elle calcule des puissances d’exposant élevé sans développer de produits et détermine quand une puissance est réelle ou vaut 11 ; elle retrouve les formules des angles multiples en comparant la formule avec la formule du binôme de Newton ; elle exprime les puissances du cosinus et du sinus comme des sommes de cosinus d’angles multiples, opération qu’on appelle linéarisation ; elle calcule les sommes de sinus et de cosinus en progression arithmétique comme une somme géométrique de complexes, et elle obtient des sommes de coefficients binomiaux comme parties réelle et imaginaire des puissances de 1+i1 + i.

Objectifs d’apprentissage

  1. Démontrer la formule de Moivre pour tout exposant entier et interpréter géométriquement les puissances d’un complexe.
  2. Calculer des puissances de complexes au moyen de la forme polaire et déterminer quand elles sont réelles ou égales à 11.
  3. Retrouver les formules des angles multiples et linéariser les puissances du sinus et du cosinus.
  4. Calculer des sommes trigonométriques et des sommes de coefficients binomiaux comme parties réelle et imaginaire de sommes et de puissances de complexes.

La formule de Moivre

Dans la leçon sur la forme polaire des nombres complexes, tout complexe non nul a été écrit sous la forme z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right), où r=∣z∣r = \abs{z} est son module et θ\theta l’un de ses arguments, et il a été démontré, à l’aide des formules du sinus et du cosinus d’une somme, que dans un produit les modules se multiplient et les arguments s’additionnent. Pour deux complexes de module 11, ce théorème du produit s’écrit ainsi :

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Si les deux facteurs sont égaux, le produit est un carré, d’argument 2θ2\theta ; si on le multiplie encore une fois par le même facteur, on obtient un cube, d’argument 3θ3\theta. Quand on répète le produit, l’argument s’ajoute à lui-même autant de fois qu’il y a de facteurs, de sorte qu’élever à une puissance se ramène à multiplier un angle par un entier. Ce fait, qu’Abraham de Moivre employa sous une forme équivalente au début du XVIIIe siècle et qu’Euler écrivit sous sa forme actuelle en 1748, est l’objet de cette leçon.

ThéorèmeFormule de Moivre

Pour tout nombre réel θ\theta et tout entier nn, l’égalité ci-dessous est vérifiée.

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

La démonstration traite trois cas : l’exposant 00, les exposants naturels, par récurrence, et les exposants négatifs, au moyen de l’inverse. Elle utilise le principe de récurrence sous la forme de la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les sommes, les suites arithmétiques et géométriques et la récurrence, et les puissances d’exposant entier de la leçon sur les nombres complexes, où z0=1z^0 = 1 et z−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m}. La figure accompagne la démonstration sur le cercle de rayon 11, avec un petit angle θ\theta et n=3n = 3.

Démonstration

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    Pour n=0n = 0, le premier membre vaut 11 par définition, et le second aussi, car cos⁡0=1\cos 0 = 1 et sin⁡0=0\sin 0 = 0.

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    Pour n=1n = 1, l’égalité est évidente. Hypothèse de récurrence : nous supposons qu’elle est vraie pour un entier naturel nn.

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    La puissance d’après est le produit de celle d’avant par la base, et celle d’avant est remplacée grâce à l’hypothèse de récurrence.

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    En développant le produit, la partie réelle et la partie imaginaire sont les seconds membres des formules du cosinus et du sinus d’une somme, de la leçon sur les formules d’addition : c’est le théorème du produit et du quotient sous forme polaire. Nous obtenons la formule pour n+1n + 1, et par le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel.

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    Par le théorème du produit, cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta multiplié par cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) donne cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1 : le second facteur est donc l’inverse du premier. Comme le cosinus est pair et le sinus impair, l’inverse est le conjugué.

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    Si n=−mn = -m, avec mm naturel, la puissance d’exposant −m-m est la puissance mm-ième de l’inverse, d’après les règles de calcul sur les puissances. Nous appliquons le cas naturel à l’angle −θ-\theta.

La formule s’étend à tous les complexes non nuls, car la puissance d’un produit est le produit des puissances, aussi pour les exposants négatifs : l’inverse d’un produit est le produit des inverses.

ThéorèmePuissances sous forme polaire

Si z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) est un complexe non nul, alors pour tout entier nn on a zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right) : le module de znz^n est rnr^n, et nθn\theta est un argument de znz^n. Le facteur réel est séparé du facteur de module 11, et la formule de Moivre est appliquée à ce dernier. La figure accompagne la démonstration avec un complexe de module un peu supérieur à 11 et n=3n = 3, et se termine avec z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) et ses trois premières puissances.

Démonstration

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    La puissance d’un produit est le produit des puissances : pour les exposants naturels, par la commutativité et l’associativité du produit, et pour les exposants négatifs parce que l’inverse d’un produit est le produit des inverses.

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    Au second facteur nous appliquons la formule de Moivre, valable pour tout entier nn.

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    Comme r>0r > 0, la puissance rnr^n est un réel strictement positif, aussi pour nn négatif. Par le théorème d’égalité sous forme polaire, l’expression obtenue est une forme polaire de znz^n : son module est rnr^n, et nθn\theta est l’un de ses arguments.

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    Avec z=3+iz = \sqrt{3} + i, les puissances ont pour modules 22, 44 et 88 et pour arguments π6\frac{\pi}{6}, π3\frac{\pi}{3} et π2\frac{\pi}{2} : le cube est un imaginaire pur.

Il en résulte que les puissances z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots ont des modules en progression géométrique de raison rr et des arguments en progression arithmétique de raison θ\theta, au sens de la leçon du cours I sur les sommes et les suites. Si r=1r = 1, elles sont toutes sur le cercle de rayon 11, chacune tournée d’un angle θ\theta par rapport à celle d’avant ; si r>1r > 1, elles tournent et s’éloignent de l’origine ; si r<1r < 1, elles tournent et s’en rapprochent. De plus, comme zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k et que le produit par zz est une rotation d’angle θ\theta composée avec une homothétie de rapport rr, tous les triangles de sommets 00, zkz^k et zk+1z^{k + 1} sont semblables à celui de sommets 00, 11 et zz, comme il a été démontré dans la leçon sur la forme polaire.

ExempleLa spirale des puissances

Soit zz le complexe de module 1110\frac{11}{10}, un peu supérieur à 11, et d’argument π4\frac{\pi}{4}. Nous calculons quelques-unes de ses puissances jusqu’à la huitième et décrivons la courbe sur laquelle elles se trouvent.

Démonstration

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    Sous forme polaire et sous forme algébrique, le nombre s’écrit comme ci-contre.

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    Par le théorème des puissances sous forme polaire, le carré a pour argument π2\frac{\pi}{2} : c’est un imaginaire pur.

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    La puissance quatrième a pour argument π\pi : c’est un réel strictement négatif.

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    La puissance huitième a pour argument 2π2\pi : après un tour complet, elle revient sur le demi-axe réel positif, à une distance de l’origine un peu supérieure à 22.

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    La distance entre deux puissances consécutives croît elle aussi en progression géométrique de raison 1110\frac{11}{10}, par le théorème du module d’un produit. Les points sont sur la courbe qui, en coordonnées polaires, étudiées dans la leçon sur les coordonnées polaires et les courbes polaires, a pour équation r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}} : une spirale, dite logarithmique, qui, comme on le démontre avec le calcul différentiel, coupe chaque droite passant par l’origine toujours sous le même angle.