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La formula di De Moivre e le potenze dei complessi

Riepilogo

Questa lezione dimostra la formula di De Moivre, secondo la quale la potenza di esponente intero nn di un complesso di modulo 11 e argomento θ\theta ha argomento nθn\theta, e la applica in cinque direzioni. Calcola potenze di esponente elevato senza sviluppare prodotti e decide quando una potenza è reale o vale 11; ritrova le formule degli angoli multipli confrontando la formula con il binomio di Newton; esprime le potenze del coseno e del seno come somme di coseni di angoli multipli, operazione che si chiama linearizzazione; calcola le somme di seni e di coseni in progressione aritmetica come una somma geometrica di complessi, e ottiene somme di coefficienti binomiali come parti reale e immaginaria delle potenze di 1+i1 + i.

Obiettivi di apprendimento

  1. Dimostrare la formula di De Moivre per ogni esponente intero e interpretare geometricamente le potenze di un complesso.
  2. Calcolare potenze di complessi mediante la forma polare e determinare quando sono reali o uguali a 11.
  3. Dedurre le formule degli angoli multipli e linearizzare le potenze del seno e del coseno.
  4. Calcolare somme trigonometriche e somme di coefficienti binomiali come parti reale e immaginaria di somme e di potenze di complessi.

La formula di De Moivre

Nella lezione sulla forma polare dei numeri complessi si è scritto ogni complesso non nullo come z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right), dove r=∣z∣r = \abs{z} è il suo modulo e θ\theta è uno dei suoi argomenti, e si è dimostrato, con le formule del seno e del coseno di una somma, che in un prodotto i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano. Per due complessi di modulo 11, quel teorema del prodotto si scrive così:

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Se i due fattori sono uguali, il prodotto è un quadrato, di argomento 2θ2\theta; se lo si moltiplica ancora per lo stesso fattore, si ottiene un cubo, di argomento 3θ3\theta. Ripetendo il prodotto, l’argomento si somma a sé stesso tante volte quanti sono i fattori, sicché elevare a potenza si riduce a moltiplicare un angolo per un intero. Questo fatto, che Abraham de Moivre impiegò in forma equivalente all’inizio del Settecento e che Eulero scrisse nella sua forma attuale nel 1748, è l’oggetto della lezione.

TeoremaFormula di De Moivre

Per ogni numero reale θ\theta e ogni intero nn vale l’uguaglianza che segue.

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

La dimostrazione tratta tre casi: l’esponente 00, gli esponenti naturali, per induzione, e gli esponenti negativi, mediante l’inverso. Si usa il principio di induzione nella forma della lezione del corso Algebra e Geometria I su sommatorie, progressioni e induzione, e le potenze di esponente intero della lezione sui numeri complessi, dove z0=1z^0 = 1 e z−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m}. La figura segue la dimostrazione sulla circonferenza di raggio 11, con un angolo θ\theta piccolo e n=3n = 3.

Dimostrazione

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    Per n=0n = 0, il primo membro vale 11 per definizione, e anche il secondo, perché cos⁡0=1\cos 0 = 1 e sin⁡0=0\sin 0 = 0.

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    Per n=1n = 1, l’uguaglianza è evidente. Ipotesi di induzione: supponiamo che valga per un naturale nn.

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    La potenza che viene dopo è il prodotto di quella appena vista per la base, e quest’ultima si sostituisce con l’ipotesi di induzione.

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    Sviluppando il prodotto, la parte reale e la parte immaginaria sono i secondi membri delle formule del coseno e del seno di una somma, della lezione sulle formule di addizione e sottrazione: è il teorema del prodotto e del quoziente in forma polare. Si ottiene la formula per n+1n + 1, e per il principio di induzione essa vale per ogni naturale.

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    Per il teorema del prodotto, cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta moltiplicato per cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) dà cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1: il secondo fattore è dunque l’inverso del primo. Poiché il coseno è pari e il seno è dispari, l’inverso è il coniugato.

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    Se n=−mn = -m, con mm naturale, la potenza di esponente −m-m è la potenza mm-esima dell’inverso, per le proprietà delle potenze. Si applica il caso naturale all’angolo −θ-\theta.

La formula si estende a tutti i complessi non nulli, perché la potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze, anche per esponenti negativi: l’inverso di un prodotto è il prodotto degli inversi.

TeoremaPotenze in forma polare

Se z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) è un complesso non nullo, allora per ogni intero nn vale zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right): il modulo di znz^n è rnr^n, e nθn\theta è un argomento di znz^n. Si separa il fattore reale dal fattore di modulo 11 e si applica a quest’ultimo la formula di De Moivre. La figura segue la dimostrazione con un complesso di modulo un po’ maggiore di 11 e n=3n = 3, e termina con z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) e le sue prime tre potenze.

Dimostrazione

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    La potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze: per esponenti naturali, per la commutatività e l’associatività del prodotto, e per esponenti negativi perché l’inverso di un prodotto è il prodotto degli inversi.

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    Al secondo fattore si applica la formula di De Moivre, valida per ogni intero nn.

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    Poiché r>0r > 0, la potenza rnr^n è un reale positivo, anche per nn negativo. Per il teorema dell’uguaglianza in forma polare, l’espressione ottenuta è una forma polare di znz^n: il suo modulo è rnr^n, e nθn\theta è uno dei suoi argomenti.

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    Con z=3+iz = \sqrt{3} + i, le potenze hanno moduli 22, 44 e 88 e argomenti π6\frac{\pi}{6}, π3\frac{\pi}{3} e π2\frac{\pi}{2}: il cubo è un immaginario puro.

Ne segue che le potenze z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots hanno moduli in progressione geometrica di ragione rr e argomenti in progressione aritmetica di differenza θ\theta, nel senso della lezione del corso I sulle sommatorie e le progressioni. Se r=1r = 1, stanno tutte sulla circonferenza di raggio 11, ciascuna ruotata di un angolo θ\theta rispetto a quella che la precede; se r>1r > 1, ruotano e si allontanano dall’origine; se r<1r < 1, ruotano e si avvicinano a essa. Inoltre, poiché zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k e il prodotto per zz è una rotazione di angolo θ\theta composta con una dilatazione di rapporto rr, tutti i triangoli di vertici 00, zkz^k e zk+1z^{k + 1} sono simili a quello di vertici 00, 11 e zz, come si è dimostrato nella lezione sulla forma polare.

EsempioLa spirale delle potenze

Sia zz il complesso di modulo 1110\frac{11}{10}, un po’ maggiore di 11, e argomento π4\frac{\pi}{4}. Calcoliamo alcune delle sue potenze fino all’ottava e descriviamo la curva su cui si trovano.

Dimostrazione

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    In forma polare e in forma algebrica, il numero è quello che segue.

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    Per il teorema delle potenze in forma polare, il quadrato ha argomento π2\frac{\pi}{2}: è un immaginario puro.

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    La quarta potenza ha argomento π\pi: è un reale negativo.

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    L’ottava potenza ha argomento 2π2\pi: dopo un giro completo torna sul semiasse reale positivo, a una distanza dall’origine un po’ maggiore di 22.

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    Anche la distanza fra due potenze consecutive cresce in progressione geometrica di ragione 1110\frac{11}{10}, per il teorema del modulo di un prodotto. I punti stanno sulla curva che, in coordinate polari, studiate nella lezione sulle coordinate polari e curve polari, ha equazione r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}}: una spirale, detta logaritmica, che, come si dimostra con il calcolo differenziale, taglia ogni retta per l’origine sempre con lo stesso angolo.