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Topos Uranos
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Radici n-esime di un numero complesso e radici dell’unità

Riepilogo

Questa lezione risolve nei numeri complessi l’equazione zn=wz^n = w. Con la forma polare e la formula di De Moivre dimostra che ogni complesso non nullo ha esattamente nn radici nn-esime, che hanno lo stesso modulo e argomenti separati da 2πn\frac{2\pi}{n}, in modo che formano un poligono regolare centrato nell’origine. Studia poi le radici dell’unità: sono le potenze di una sola di esse, si moltiplicano come si sommano i resti della divisione per nn, le loro potenze di esponente mm hanno somma nn o 00 a seconda che nn divida mm o no, e fattorizzano il polinomio zn−1z^n - 1. Caratterizza con il massimo comune divisore le radici primitive, le cui potenze percorrono tutte le radici, e ottiene, raggruppando radici coniugate, la fattorizzazione reale di xn−1x^n - 1 e di xn+1x^n + 1 in fattori lineari e quadratici, con la quale ricompare il valore di cos⁡2π5\cos \frac{2\pi}{5}.

Obiettivi di apprendimento

  1. Trovare le nn radici nn-esime di un complesso non nullo con la forma polare, dimostrare che sono esattamente nn e descriverle come i vertici di un poligono regolare.
  2. Operare con le radici dell’unità come potenze di una di esse, calcolare le somme delle loro potenze e fattorizzare il polinomio zn−1z^n - 1.
  3. Decidere quali radici dell’unità sono primitive mediante il massimo comune divisore, e dimostrare il criterio con l’identità di Bézout.
  4. Fattorizzare nei reali i polinomi xn−1x^n - 1 e xn+1x^n + 1 raggruppando radici coniugate, e applicare le radici dell’unità a problemi di distanze, di valori trigonometrici e di equazioni.

Le radici nn-esime di un complesso

Nella lezione del corso Algebra e Geometria I sui numeri complessi si è risolta l’equazione z3=1z^3 = 1 fattorizzando una differenza di cubi, e si è annunciato che le radici di indice nn di un complesso qualsiasi avrebbero richiesto la forma polare. Il metodo della fattorizzazione non si generalizza: per l’equazione z5=1+iz^5 = 1 + i non c’è alcun fattore in vista. La forma polare, studiata nella lezione sulla forma polare dei numeri complessi, trasforma invece l’equazione in due condizioni reali, una tra i moduli e l’altra tra gli argomenti, perché, per la formula dimostrata nella lezione sulla formula di De Moivre, elevare un complesso alla potenza nn eleva il suo modulo alla potenza nn e ne moltiplica l’argomento per nn.

Siano ww un numero complesso e nn un naturale. Un complesso zz è una radice nn-esima di ww quando zn=wz^n = w. Le radici seconde si chiamano radici quadrate, e le terze, radici cubiche.

L’unico complesso la cui potenza nn-esima è 00 è lo stesso 00, perché un prodotto di complessi si annulla solo se si annulla qualcuno dei suoi fattori; il caso interessante è, quindi, w≠0w \neq 0. Si scrive allora ww in forma polare, w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi), con R=∣w∣>0R = \abs{w} > 0 e φ\varphi uno qualsiasi dei suoi argomenti. Il simbolo Rn\sqrt[n]{R} conserva il senso che ha nella lezione del corso I sulle potenze a esponente razionale e radicali: designa la radice principale del reale positivo RR, l’unico reale positivo la cui potenza nn-esima è RR. Il radicale è riservato alla radice principale di un reale non negativo e, come in quella lezione, alla radice reale di indice dispari di un reale negativo, come −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2; applicato a un altro complesso, sarà usato solo con l’avvertenza esplicita che designa una qualsiasi delle sue radici, perché, come si vedrà subito, nessuna delle sue nn radici si distingue dalle altre, e sceglierne una per convenzione infrange le regole dei radicali: se si chiamasse radice quadrata di −1-1 il numero ii, il prodotto di questa radice per sé stessa sarebbe −1-1, e non la radice quadrata di (−1)(−1)=1(-1)(-1) = 1.

Infine, si usa il teorema dell’uguaglianza in forma polare, dimostrato in quella stessa lezione: due complessi non nulli sono uguali se e solo se hanno lo stesso modulo e i loro argomenti differiscono per un multiplo intero di 2π2\pi.

TeoremaRadici nn-esime

Siano w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi) un complesso non nullo, con R=∣w∣R = \abs{w}, e nn un naturale. L’equazione zn=wz^n = w ha esattamente nn soluzioni distinte, che sono i complessi zkz_k qui sotto, per k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n - 1. Tutte hanno modulo Rn\sqrt[n]{R}, e l’argomento di ciascuna supera quello della radice che la precede di 2πn\frac{2\pi}{n}.

zk=Rn(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn)z_k = \sqrt[n]{R} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right)

Si cerca la soluzione in forma polare e si uguagliano le forme polari di znz^n e di ww. La figura accompagna la dimostrazione con w=−8=8(cos⁡π+isin⁡π)w = -8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi) e n=3n = 3, le cui radici cubiche hanno modulo 22.

Dimostrazione

  1. z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)→zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \rightarrow \resaltar{z^n} = \dato{m}{\resaltar{r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)}}

    Una soluzione non può essere nulla, perché 0n=0≠w0^n = 0 \neq w. La scriviamo in forma polare, con r>0r > 0, e la eleviamo alla potenza nn con la formula di De Moivre.

  2. zn=w↔rn=R∧nθ=φ+2kπ,k∈Z\resaltar{z^n = w} \leftrightarrow \dato{c}{\resaltar{r^n = R \wedge n\theta = \varphi + 2k\pi}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Per il teorema dell’uguaglianza in forma polare, l’equazione zn=wz^n = w equivale a due condizioni reali: i moduli sono uguali e gli argomenti differiscono per un multiplo intero di 2π2\pi.

  3. r=Rn,θk=φ+2kπn,k∈Zr = \resaltar{\sqrt[n]{R}}, \qquad \dato{t}{\theta_k = \resaltar{\frac{\varphi + 2k\pi}{n}}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Il reale positivo la cui potenza nn-esima è RR è unico, la radice principale, e l’argomento resta determinato dall’intero kk. Viceversa, ogni complesso con quel modulo e quell’argomento è soluzione, perché soddisfa le due condizioni. Con w=−8w = -8 e n=3n = 3, risultano r=2r = 2 e θ=π+2kπ3\theta = \frac{\pi + 2k\pi}{3}.

  4. θqn+j=φ+2(qn+j)πn=θj+2qπ→zqn+j=zj\theta_{qn + j} = \resaltar{\frac{\varphi + 2(qn + j)\pi}{n}} = \resaltar{\theta_j + 2q\pi} \rightarrow z_{qn + j} = z_j

    Gli interi kk sono infiniti, ma le soluzioni no. Per la divisione con resto, ogni intero si scrive come k=qn+jk = qn + j, con qq intero e 0≤j≤n−10 \leq j \leq n - 1; l’argomento θk\theta_k supera allora θj\theta_j di un multiplo intero di 2π2\pi, e le due soluzioni coincidono. Nella figura, z3=z0z_3 = z_0.

  5. 0<θl−θj=2(l−j)πn<2π→zl≠zj0 < \theta_l - \theta_j = \resaltar{\frac{2(l - j)\pi}{n}} < 2\pi \rightarrow \resaltar{z_l \neq z_j}

    Le soluzioni z0,z1,…,zn−1z_0, z_1, \ldots, z_{n - 1} sono distinte tra loro: se 0≤j<l≤n−10 \leq j < l \leq n - 1, i loro argomenti differiscono per un numero compreso strettamente tra 00 e 2π2\pi, che non è un multiplo intero di 2π2\pi. Ci sono, quindi, esattamente nn soluzioni. Con w=−8w = -8, sono 1+i31 + i\sqrt{3}, −2-2 e 1−i31 - i\sqrt{3}.

In pratica, la prima radice ha per argomento φn\frac{\varphi}{n}, e ciascuna delle altre si ottiene sommando 2πn\frac{2\pi}{n} all’argomento di quella che la precede. Cambiare l’argomento φ\varphi di ww con un altro, φ+2π\varphi + 2\pi, non cambia l’insieme delle radici, solo la loro numerazione: quella che prima era z1z_1 si chiama ora z0z_0. Per n=2n = 2, gli argomenti delle due radici differiscono per π\pi, in modo che sono opposte, z1=−z0z_1 = -z_0; è il doppio segno che compare nella radice quadrata di un complesso, calcolata nella lezione del corso I sui numeri complessi uguagliando parti reali e immaginarie. Il numero delle radici concorda, inoltre, con quanto si sa dei polinomi: per il lemma delle radici distinte della lezione del corso I sull’algebra dei polinomi, la cui dimostrazione vale senza modifiche nei complessi, il polinomio zn−wz^n - w, di grado nn, non può avere più di nn radici distinte; il teorema mostra che le ha tutte.

Il poligono regolare delle radici

Le nn radici hanno lo stesso modulo, in modo che stanno sulla circonferenza di centro 00 e raggio Rn\sqrt[n]{R}, e i loro argomenti sono ugualmente distanziati. Il teorema che segue esprime questa disposizione con il prodotto di complessi, che in forma polare moltiplica i moduli e somma gli argomenti, come si è dimostrato nella lezione sulla forma polare.

TeoremaIl poligono delle radici

Siano ww un complesso non nullo, con R=∣w∣R = \abs{w}, e n≥3n \geq 3 un naturale. Ogni radice nn-esima di ww si ottiene da quella che la precede moltiplicandola per il numero ω\omega qui sotto, il che equivale a ruotarla di un angolo di 2πn\frac{2\pi}{n} attorno all’origine; le nn radici sono i vertici di un poligono regolare di nn lati inscritto nella circonferenza di centro 00 e raggio Rn\sqrt[n]{R}, e il suo lato misura 2Rnsin⁡πn2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}.

zk+1=zk ω,ω=cos⁡2πn+isin⁡2πnz_{k + 1} = z_k \, \omega, \qquad \omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}

La figura accompagna la dimostrazione con w=64iw = 64i, le cui radici cubiche, quarte e seste stanno su circonferenze di raggi 643=4\sqrt[3]{64} = 4, 644=22\sqrt[4]{64} = 2\sqrt{2} e 646=2\sqrt[6]{64} = 2.

Dimostrazione

  1. zk ω=Rn(cos⁡(θk+2πn)+isin⁡(θk+2πn))=zk+1z_k \, \omega = \sqrt[n]{R} \left( \cos \resaltar{\left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right)} + i \sin \left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right) \right) = \dato{g}{\resaltar{z_{k + 1}}}

    Poiché ∣ω∣=1\abs{\omega} = 1, il prodotto zkωz_k \omega ha il modulo di zkz_k e il suo argomento aumentato di 2πn\frac{2\pi}{n}: è la radice che viene dopo. Per induzione su kk, ogni radice è la prima moltiplicata per una potenza di ω\omega, zk=z0ωkz_k = z_0 \omega^k.

  2. ∣uω−vω∣=∣(u−v)ω∣=∣u−v∣∣ω∣=∣u−v∣\abs{u\omega - v\omega} = \abs{\resaltar{(u - v)\omega}} = \abs{u - v} \abs{\omega} = \dato{d}{\resaltar{\abs{u - v}}}

    Moltiplicare per ω\omega è, quindi, ruotare di un angolo di 2πn\frac{2\pi}{n} attorno all’origine, e questa rotazione conserva le distanze, perché il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli.

  3. ∣zk+2−zk+1∣=∣zk+1ω−zkω∣=∣zk+1−zk∣\abs{z_{k + 2} - z_{k + 1}} = \abs{\resaltar{z_{k + 1} \omega - z_k \omega}} = \resaltar{\abs{z_{k + 1} - z_k}}

    La rotazione porta ogni lato del poligono su quello che viene dopo, in modo che tutti i lati misurano lo stesso.

  4. zn−1ω=z0ωn−1ω=z0ωn=z0z_{n - 1} \omega = z_0 \resaltar{\omega^{n - 1} \omega} = z_0 \omega^n = \resaltar{z_0}

    Il poligono si chiude, perché ωn=1\omega^n = 1: la rotazione porta l’ultimo vertice sul primo. Gli nn vertici stanno sulla circonferenza e i lati sono uguali. Inoltre, la rotazione porta il triangolo di vertici zkz_k, zk+1z_{k + 1} e zk+2z_{k + 2} su quello di vertici zk+1z_{k + 1}, zk+2z_{k + 2} e zk+3z_{k + 3} conservando i tre lati, e per il teorema del coseno un angolo di un triangolo resta determinato dai suoi tre lati: gli angoli del poligono, che sono quelli di questi triangoli nel vertice centrale, sono uguali, e il poligono è regolare.

  5. ∣z1−z0∣=∣z0∣∣ω−1∣=2Rnsin⁡πn\abs{z_1 - z_0} = \abs{z_0} \resaltar{\abs{\omega - 1}} = \resaltar{2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}}

    Il lato si calcola nel triangolo di vertici 00, z0z_0 e z1z_1. Per la formula di bisezione, ∣ω−1∣2=2−2cos⁡2πn=4sin⁡2πn\abs{\omega - 1}^2 = 2 - 2\cos \frac{2\pi}{n} = 4\sin^2 \frac{\pi}{n}, e il seno di πn\frac{\pi}{n} è positivo. Per le radici seste di 64i64i, il lato vale 2⋅2⋅12=22 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2, uguale al raggio, come in ogni esagono regolare.

Per n=2n = 2, il poligono degenera in un diametro, i cui estremi sono le due radici opposte, e per n=1n = 1 c’è una sola radice, lo stesso ww. Che le radici formino un poligono regolare spiega perché nessuna si distingue dalle altre: la rotazione di 2πn\frac{2\pi}{n} le permuta senza alterare la figura.