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Topos Uranos
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La forma polare dei numeri complessi

Riepilogo

Questa lezione scrive ogni numero complesso non nullo mediante il suo modulo e un argomento, l’angolo polare del punto che lo rappresenta, e ottiene così la sua forma polare o trigonometrica, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right). Descrive tutti gli argomenti di un complesso, definisce l’argomento principale e lo calcola con l’arcotangente corretto secondo il quadrante, e dimostra quando due forme polari rappresentano lo stesso numero. Con le formule di addizione e sottrazione dimostra il teorema centrale: moltiplicando due complessi i loro moduli si moltiplicano e i loro argomenti si sommano, e dividendoli i moduli si dividono e gli argomenti si sottraggono; da esso si deducono l’argomento del coniugato e quello dell’inverso, e si avverte che l’argomento principale di un prodotto è la somma degli argomenti principali solo a meno di un giro. Infine, interpreta il prodotto per un complesso come una rotazione composta con una dilatazione, che generalizza il quarto di giro del prodotto per ii, e dimostra che i triangoli di vertici 00, 11, ww e 00, zz, zwzw sono simili.

Obiettivi di apprendimento

  1. Scrivere un complesso non nullo in forma polare, calcolarne l’argomento principale secondo il quadrante e decidere quando due forme polari rappresentano lo stesso numero.
  2. Dimostrare con le formule di addizione e sottrazione che in un prodotto i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano, e dedurre le regole del quoziente, del coniugato e dell’inverso.
  3. Interpretare il prodotto per un complesso come una rotazione composta con una dilatazione, e dimostrare la similitudine dei triangoli di vertici 00, 11, ww e 00, zz, zwzw.
  4. Applicare la forma polare a valori esatti di rapporti trigonometrici, a identità tra arcotangenti, a equazioni in zz e nel suo coniugato e a luoghi geometrici definiti da argomenti.

La forma polare di un numero complesso

Nella lezione del corso Algebra e Geometria I sui numeri complessi si è rappresentato ogni complesso z=a+biz = a + bi come il punto (a,b)(a, b) del piano, se ne è definito il modulo ∣z∣\abs{z} come la distanza di quel punto dall’origine e si è dimostrato che il prodotto per ii ruota ogni punto di un quarto di giro. È rimasto in sospeso il prodotto per un complesso qualsiasi, il cui effetto non si legge nella forma algebrica: la parte reale di (a+bi)(c+di)(a + bi)(c + di) è ac−bdac - bd, espressione che non rivela alcuna geometria. Ora, un punto del piano può essere individuato anche dalla sua distanza dall’origine e dalla direzione in cui lo si vede da essa, come nella lezione sulle coordinate polari. Se ciò vale per i punti, vale per i complessi; e in questa seconda descrizione, come si dimostrerà, il prodotto diventa trasparente.

Sia z=a+biz = a + bi un complesso non nullo. Un argomento di zz è ogni numero reale θ\theta tale che a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta e b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta. Se r=∣z∣r = \abs{z} e θ\theta è un argomento di zz, l’espressione qui sotto è una forma polare, o forma trigonometrica, di zz.
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

Ogni complesso non nullo ha argomenti. Infatti, per il teorema del passaggio dalle coordinate cartesiane alle polari, dimostrato nella lezione sulle coordinate polari, il punto (a,b)(a, b), distinto dal polo, ha una rappresentazione polare (r,θ)(r, \theta) con r>0r > 0, e il suo raggio è r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}, cioè il modulo di zz; le uguaglianze a=rcos⁡θa = r \cos \theta e b=rsin⁡θb = r \sin \theta dicono allora che l’angolo polare θ\theta è un argomento di zz. Un argomento di zz è quindi l’angolo che forma con il semiasse reale positivo il segmento che unisce l’origine a zz, misurato in radianti. Lo zero, invece, non ha argomento: l’uguaglianza 0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) vale per ogni θ\theta, e nessun angolo lo distingue. Per indicare uno qualsiasi degli argomenti di zz si scrive arg⁡z\arg z, che si legge «argomento di zz».

Il teorema che segue afferma che il modulo e l’argomento, a differenza delle coordinate polari con raggio negativo, determinano il complesso senza ambiguità, a meno di giri completi. Da esso dipende ogni calcolo con forme polari: per dimostrare che due complessi sono uguali basterà confrontarne i moduli e gli argomenti.

TeoremaUguaglianza in forma polare

Siano rr, r1r_1 e r2r_2 reali positivi, e θ\theta, θ1\theta_1 e θ2\theta_2 numeri reali. Il complesso r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) ha modulo rr e argomento θ\theta. Inoltre, i complessi r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) e r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) sono uguali se e solo se r1=r2r_1 = r_2 e θ1−θ2=2kπ\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi per qualche intero kk. Si usano l’identità pitagorica, la periodicità del seno e del coseno e la caratterizzazione degli angoli coterminali della lezione sugli angoli e la loro misura: due angoli danno lo stesso punto della circonferenza goniometrica esattamente quando differiscono per un multiplo intero di 2π2\pi.

Dimostrazione

  1. ∣z∣2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2\abs{z}^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2}

    Sia z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), con r>0r > 0. La sua parte reale è rcos⁡θr \cos \theta e la sua parte immaginaria rsin⁡θr \sin \theta; per l’identità pitagorica, il quadrato del suo modulo è r2r^2.

  2. ∣z∣=r,rcos⁡θ=∣z∣cos⁡θ,rsin⁡θ=∣z∣sin⁡θ\dato{m}{\resaltar{\abs{z} = r}}, \qquad r \cos \theta = \resaltar{\abs{z} \cos \theta}, \qquad r \sin \theta = \abs{z} \sin \theta

    I numeri ∣z∣\abs{z} e rr sono positivi e hanno lo stesso quadrato; quindi sono uguali, e le parti reale e immaginaria di zz sono quelle che la definizione richiede: θ\theta è un argomento di zz. Ogni espressione di questa forma con r>0r > 0 è quindi una forma polare.

  3. r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)→r1=r2r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \rightarrow \dato{r}{\resaltar{r_1 = r_2}}

    Se i complessi di modulo r1r_1 e r2r_2 sono uguali, hanno lo stesso modulo, e per il passo appena visto i loro moduli sono r1r_1 e r2r_2.

  4. cos⁡θ1=cos⁡θ2∧sin⁡θ1=sin⁡θ2↔θ1−θ2=2kπ\resaltar{\cos \theta_1 = \cos \theta_2 \wedge \sin \theta_1 = \sin \theta_2} \leftrightarrow \resaltar{\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi}

    Uguagliamo le parti reali e le parti immaginarie e dividiamo per r1=r2r_1 = r_2, che non è nullo: gli angoli θ1\theta_1 e θ2\theta_2 danno lo stesso punto della circonferenza goniometrica, sicché sono coterminali.

  5. cos⁡(θ2+2kπ)=cos⁡θ2,sin⁡(θ2+2kπ)=sin⁡θ2\cos(\resaltar{\theta_2 + 2k\pi}) = \resaltar{\cos \theta_2}, \qquad \sin(\theta_2 + 2k\pi) = \sin \theta_2

    Viceversa, se r1=r2r_1 = r_2 e θ1=θ2+2kπ\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi, per la periodicità del seno e del coseno le due espressioni hanno le stesse parti reale e immaginaria, e i complessi sono uguali.

Ne segue che, se θ\theta è un argomento di zz, gli argomenti di zz sono esattamente i numeri θ+2kπ\theta + 2k\pi, con kk intero: due argomenti di uno stesso complesso differiscono sempre per giri completi. L’uguaglianza arg⁡z=θ\arg z = \theta significa quindi che θ\theta è uno degli argomenti di zz, e non fissa gli altri. Conviene osservare, inoltre, che il teorema richiede r>0r > 0: l’espressione −2(cos⁡π3+isin⁡π3)-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) non è una forma polare, perché −2-2 non è un modulo; poiché −cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos \theta = \cos(\theta + \pi) e −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin \theta = \sin(\theta + \pi), lo stesso numero si scrive in forma polare come 2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right).

L’argomento principale

Tra gli argomenti di un complesso non nullo ce n’è esattamente uno nell’intervallo (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, perché tale intervallo ha lunghezza 2π2\pi e contiene un unico rappresentante di ciascuna famiglia θ+2kπ\theta + 2k\pi. Tale argomento si chiama argomento principale di zz, si scrive Arg⁡z\operatorname{Arg} z e si legge «argomento principale di zz». Per il teorema della lezione sulle coordinate polari, con aa e bb nel ruolo di xx e yy, lo si calcola con l’arcotangente della lezione sulle funzioni trigonometriche inverse, che vede solo il primo e il quarto quadrante e va corretto negli altri due:

Arg⁡z={arctan⁡baa>0arctan⁡ba+πa<0∧b≥0arctan⁡ba−πa<0∧b<0π2a=0∧b>0−π2a=0∧b<0\operatorname{Arg} z = \begin{cases} \arctan \frac{b}{a} & a > 0 \\ \arctan \frac{b}{a} + \pi & a < 0 \wedge b \geq 0 \\ \arctan \frac{b}{a} - \pi & a < 0 \wedge b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b < 0 \end{cases}
EsempioLa forma polare di un complesso del secondo quadrante

Scriviamo in forma polare il complesso z=−3+iz = -\sqrt{3} + i e descriviamo tutti i suoi argomenti. La figura segue il calcolo nel piano complesso.

Dimostrazione

  1. ∣z∣=(−3)2+12=4=2\abs{z} = \sqrt{\resaltar{\left( -\sqrt{3} \right)^2 + 1^2}} = \sqrt{4} = \dato{m}{\resaltar{2}}

    Il modulo è la distanza del punto (−3,1)\left( -\sqrt{3}, 1 \right) dall’origine.

  2. arctan⁡1−3=arctan⁡(−33)=−π6\arctan \frac{1}{-\sqrt{3}} = \resaltar{\arctan\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} = \dato{a}{\resaltar{-\frac{\pi}{6}}}

    L’arcotangente del quoziente tra la parte immaginaria e la parte reale dà un angolo del quarto quadrante: è l’argomento del punto opposto, 3−i\sqrt{3} - i, e non quello di zz.

  3. Arg⁡z=−π6+π=5π6\operatorname{Arg} z = \resaltar{-\frac{\pi}{6} + \pi} = \dato{t}{\resaltar{\frac{5\pi}{6}}}

    Poiché la parte reale è negativa e l’immaginaria è positiva, il punto sta nel secondo quadrante, e la formula aggiunge π\pi.

  4. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+12i)=−3+iz = 2\left( \resaltar{\cos \frac{5\pi}{6}} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( \resaltar{-\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i

    Verifichiamo la forma polare con i valori del coseno e del seno di 5π6\frac{5\pi}{6}, che si ottengono da quelli di π6\frac{\pi}{6} per la simmetria dell’angolo supplementare.

  5. arg⁡z=5π6+2kπ,k∈Z\arg z = \resaltar{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}, \qquad k \in \mathbb{Z}

    Gli altri argomenti differiscono dal principale per giri completi: per esempio, anche −7π6-\frac{7\pi}{6} e 17π6\frac{17\pi}{6} sono argomenti di zz, ma non stanno in (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}.

I complessi situati sugli assi hanno forme polari che conviene riconoscere subito. I reali positivi hanno argomento principale 00, e i negativi π\pi; gli immaginari puri bibi con b>0b > 0 hanno argomento principale π2\frac{\pi}{2}, e con b<0b < 0, −π2-\frac{\pi}{2}. Così, per esempio:

−1=cos⁡π+isin⁡π,i=cos⁡π2+isin⁡π2,−2i=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))-1 = \cos \pi + i \sin \pi, \qquad i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}, \qquad -2i = 2\left( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

L’intervallo (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} è una convenzione, la stessa della lezione sulle coordinate polari; altri testi usano [0,2π)\ico{0}{2\pi}. Ciò che non dipende dalla convenzione è l’insieme di tutti gli argomenti, e per questo i teoremi di questa lezione si enunciano con argomenti qualsiasi, salvo quando si dica espressamente il contrario.