الشكل القطبي للأعداد المركبة

الشكل القطبي لعدد مركب

في دورة الجبر والهندسة 1، وفي درسها الخاص بـالأعداد المركبة، مُثِّل كل عدد مركب $z = a + bi$ بالنقطة $(a, b)$ من المستوى، وعُرِّف مقياسه $\abs{z}$ بأنه بُعد تلك النقطة عن الأصل، وبُرهن على أن الضرب في $i$ يدير كل نقطة بربع دورة. وبقي معلّقًا الضرب في عدد مركب كيفي، إذ لا يُقرأ أثره في الشكل الجبري: فالجزء الحقيقي لـ$(a + bi)(c + di)$ هو $ac - bd$، وهي عبارة لا تكشف أي هندسة. غير أن نقطة المستوى يمكن أن تُعيَّن أيضًا ببُعدها عن الأصل وبالاتجاه الذي تُرى فيه منه، كما في درس الإحداثيات القطبية. وإذا صحّ هذا في النقاط صحّ في الأعداد المركبة؛ وفي هذا الوصف الثاني، كما سيُبرهن، يصير الضرب شفّافًا.

ليكن $z = a + bi$ عددًا مركبًا غير معدوم. عمدة $z$ هي كل عدد حقيقي $\theta$ بحيث $a = \abs{z} \cos \theta$ و$b = \abs{z} \sin \theta$. وإذا كان $r = \abs{z}$ وكان $\theta$ عمدةً لـ$z$، فإن العبارة الآتية شكل قطبي، أو شكل مثلثي، لـ$z$.

لكل عدد مركب غير معدوم عمد. ذلك أنه، بمبرهنة الانتقال من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية، التي بُرهنت في درس الإحداثيات القطبية، للنقطة $(a, b)$، المختلفة عن القطب، تمثيل قطبي $(r, \theta)$ مع $r > 0$، ونصف قطرها $r = \sqrt{a^2 + b^2}$، أي مقياس $z$؛ فتدلّ المساواتان $a = r \cos \theta$ و$b = r \sin \theta$ حينئذ على أن الزاوية القطبية $\theta$ عمدة لـ$z$. فعمدة $z$ إذن هي الزاوية التي تصنعها مع نصف المحور الحقيقي الموجب القطعةُ المستقيمة الواصلة بين الأصل و$z$، مقيسةً بالراديان. أما الصفر فلا عمدة له: فالمساواة $0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ تتحقق لكل $\theta$، ولا تميّزه أي زاوية. وللدلالة على أي عمدة من عمد $z$ يُكتب $\arg z$، ويُقرأ «عمدة $z$».

تنصّ المبرهنة الآتية على أن المقياس والعمدة، بخلاف الإحداثيات القطبية ذات نصف القطر السالب، يعيّنان العدد المركب دون لبس، بصرف النظر عن الدورات الكاملة. وعليها يتوقف كل حساب بالأشكال القطبية: فللبرهنة على تساوي عددين مركبين يكفي أن تُقارن مقاييسهما وعمدهما.

ويترتب على ذلك أنه إذا كان $\theta$ عمدة لـ$z$، فإن عمد $z$ هي بالضبط الأعداد $\theta + 2k\pi$، حيث $k$ عدد صحيح: فعمدتان للعدد المركب نفسه تختلفان دائمًا بدورات كاملة. فالمساواة $\arg z = \theta$ تعني إذن أن $\theta$ إحدى عمد $z$، ولا تحدّد الباقية. ويجدر التنبيه كذلك إلى أن المبرهنة تشترط $r > 0$: فالعبارة $-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$ ليست شكلًا قطبيًا، لأن $-2$ ليس مقياسًا؛ ولمّا كان $-\cos \theta = \cos(\theta + \pi)$ و$-\sin \theta = \sin(\theta + \pi)$، فإن العدد نفسه يُكتب في الشكل القطبي على الصورة $2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right)$.

العمدة الرئيسية

بين عمد عدد مركب غير معدوم توجد عمدة واحدة بالضبط في الفترة $\ioc{-\pi}{\pi}$، لأن طول هذه الفترة $2\pi$ وهي تحوي ممثّلًا وحيدًا من كل عائلة $\theta + 2k\pi$. وتسمّى هذه العمدة العمدة الرئيسية لـ$z$، وتُكتب $\operatorname{Arg} z$ وتُقرأ «العمدة الرئيسية لـ$z$». وبمبرهنة درس الإحداثيات القطبية، مع وضع $a$ و$b$ موضع $x$ و$y$، تُحسب بقوس الظل من درس الدوال المثلثية العكسية، الذي لا يرى إلا الربعين الأول والرابع ويجب تصحيحه في الربعين الآخرين:

للأعداد المركبة الواقعة على المحورين أشكال قطبية يحسن التعرف عليها فورًا. فالأعداد الحقيقية الموجبة عمدتها الرئيسية $0$، والسالبة $\pi$؛ والأعداد التخيلية البحتة $bi$ مع $b > 0$ عمدتها الرئيسية $\frac{\pi}{2}$، ومع $b < 0$ هي $-\frac{\pi}{2}$. فمثلًا:

الفترة $\ioc{-\pi}{\pi}$ اصطلاح، هو اصطلاح درس الإحداثيات القطبية نفسه؛ وتستعمل نصوص أخرى $\ico{0}{2\pi}$. وما لا يتوقف على الاصطلاح هو مجموعة كل العمد، ولذلك تُصاغ مبرهنات هذا الدرس بعمد كيفية، إلا حيث يُصرَّح بخلاف ذلك.