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Topos Uranos
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L’esponenziale complesso e la formula di Eulero

Riepilogo

Questa lezione definisce l’esponenziale di un numero complesso. Muove da due osservazioni: il complesso cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta converte le somme di angoli in prodotti, come una potenza converte le somme di esponenti in prodotti, e la serie esponenziale, calcolata in un numero immaginario, si separa nelle serie del coseno e del seno. Entrambe conducono alla formula di Eulero, eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta, e alla definizione ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right). La lezione dimostra che l’esponenziale complesso trasforma le somme in prodotti, che il suo modulo è eae^a e il suo argomento bb, che non si annulla mai e che è periodico di periodo 2πi2\pi i; scrive ogni complesso nella forma esponenziale reiθr e^{i\theta}; esprime il coseno e il seno mediante esponenziali, li estende a tutto il piano e scopre in essi le funzioni iperboliche. Termina con il logaritmo complesso, che ha infiniti valori, e con le potenze a esponente complesso, tra le quali iii^i risulta essere un numero reale.

Obiettivi di apprendimento

  1. Spiegare perché la legge degli esponenti e la serie esponenziale conducono alla formula di Eulero, distinguere quel calcolo euristico da una dimostrazione ed estendere la definizione dell’esponenziale a ogni esponente complesso.
  2. Dimostrare le proprietà dell’esponenziale complesso (esponenziale di una somma, modulo, argomento e periodicità) e operare con la forma esponenziale dei complessi.
  3. Esprimere il coseno e il seno mediante esponenziali, estenderli ai complessi, decidere quali identità trigonometriche restano valide in C\mathbb{C} e metterli in relazione con le funzioni iperboliche.
  4. Risolvere l’equazione ew=ze^w = z, definire il logaritmo principale, calcolare potenze a esponente complesso e spiegare perché hanno, in generale, infiniti valori.

La formula di Eulero

Nella lezione sulla forma polare dei numeri complessi si è dimostrato che, moltiplicando due complessi, i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano. Per i complessi di modulo 11, il teorema dice che

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Se si indica con E(θ)E(\theta) il complesso cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, l’uguaglianza appena scritta diventa E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta), e inoltre E(0)=1E(0) = 1. Ora, convertire le somme in prodotti è la proprietà caratteristica delle potenze, ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y, studiata nella lezione del corso Algebra e Geometria I sulla funzione esponenziale; e la formula di De Moivre, E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta), dimostrata nella lezione sulla formula di De Moivre, è la legge (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx}. Tutto suggerisce, dunque, che E(θ)E(\theta) sia una potenza di esponente proporzionale a θ\theta. La serie esponenziale indica quale.

La serie esponenziale con esponente immaginario

Nella lezione del corso I sul numero e si è dimostrato che ee è la somma della serie dei reciproci dei fattoriali. Più in generale, per ogni reale xx valgono le tre uguaglianze qui sotto, nelle quali le somme di infiniti termini indicano, come in quella lezione, il valore a cui si avvicinano le somme parziali:

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

Queste tre serie si ammettono qui senza dimostrazione: si ottengono con il teorema di Taylor, che si studia nel corso di Analisi II, dove si prova inoltre che convergono per ogni reale xx; la convergenza della prima per ogni complesso xx appartiene allo studio delle serie e della variabile complessa. La serie esponenziale impiega solo somme, prodotti e divisioni, che hanno senso in C\mathbb{C}, e può essere calcolata in x=iθx = i\theta. Ora, il simbolo eiθe^{i\theta} non ha ancora alcun significato: una potenza di esponente immaginario non è un prodotto di fattori uguali, né il valore dell’esponenziale reale. Il calcolo dell’esempio che segue non è, dunque, una dimostrazione che eiθe^{i\theta} valga qualcosa, ma una motivazione: mostra che la somma della serie in iθi\theta è cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, sicché, se la serie deve continuare a definire l’esponenziale per esponenti immaginari, non c’è altra scelta possibile.

EsempioLa serie esponenziale in un numero immaginario

Sia θ\theta reale. Sostituiamo x=iθx = i\theta nella serie esponenziale e separiamo i termini di indice pari da quelli di indice dispari, con il ciclo delle potenze di ii della lezione del corso I sui numeri complessi. La figura disegna, per θ=π\theta = \pi, le somme parziali SnS_n come una spezzata: ogni termine è quello che lo precede ruotato di un quarto di giro e moltiplicato per θk\frac{\theta}{k}.

Soluzione

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    Sostituiamo xx con iθi\theta nella serie, senza dare ancora alcun nome alla sua somma. Le prime due somme parziali sono S0=1S_0 = 1 e S1=1+iθS_1 = 1 + i\theta.

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    Le potenze di esponente pari di ii sono (−1)m(-1)^m, perché i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m; quelle di esponente dispari si ottengono moltiplicando per ii. I termini di indice pari sono reali e quelli di indice dispari, immaginari puri.

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    Nella somma parziale S2N+1S_{2N + 1}, che ha un numero finito di termini, riuniamo quelli di indice pari da un lato e quelli di indice dispari dall’altro, e raccogliamo il fattore ii nei secondi: risultano le somme parziali delle serie del coseno e del seno.

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    Le due somme reali si avvicinano al coseno e al seno di θ\theta, per le serie ammesse; e S2NS_{2N} differisce da S2N+1S_{2N + 1} per un termine che si avvicina a 00. La somma della serie è il complesso di modulo 11 e argomento θ\theta.

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    Con θ=π\theta = \pi, la spezzata delle somme parziali gira a spirale e si avvicina a −1-1: la somma S12S_{12} dista da −1-1 meno di un millesimo.

Il calcolo appena svolto, che poggia sulle serie ammesse, determina la somma della serie; ciò che non può fare è dimostrare che quella somma sia «ee elevato a iθi\theta», perché questa espressione non ha un senso già stabilito. La si adotta, dunque, come definizione.

L’esponenziale immaginario

Per ogni numero reale θ\theta, l’esponenziale immaginario eiθe^{i\theta} è il complesso di modulo 11 e argomento θ\theta dato dalla formula di Eulero, che Leonhard Euler pubblicò nel 1748.
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

Con θ=0\theta = 0 risulta ei0=1e^{i0} = 1, come esige la legge degli esponenti. Le proprietà della forma polare e la formula di De Moivre si traducono ora nelle leggi delle potenze, che non occorre più ricordare come regole sugli angoli.

TeoremaL’esponenziale immaginario

Per tutti i reali θ\theta, α\alpha e β\beta e ogni intero nn, il complesso eiθe^{i\theta} ha modulo 11; valgono eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} e (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}; l’inverso di eiθe^{i\theta} è il suo coniugato e−iθe^{-i\theta}, e eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} se e solo se α−β\alpha - \beta è un multiplo intero di 2π2\pi. Ogni affermazione è la traduzione di un risultato delle lezioni già viste. La figura mostra il punto eiθe^{i\theta}, che percorre la circonferenza di raggio 11 in senso antiorario man mano che θ\theta cresce.

Dimostrazione

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    Il modulo è 11 per l’identità pitagorica della lezione sulle identità trigonometriche fondamentali: il punto eiθe^{i\theta} è il punto della circonferenza di raggio 11 che corrisponde all’angolo θ\theta.

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    La regola del prodotto è il teorema del prodotto in forma polare con moduli uguali a 11: gli argomenti si sommano.

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    La potenza è la formula di De Moivre, valida per ogni intero nn.

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    Poiché il coseno è pari e il seno dispari, e−iθe^{-i\theta} è il coniugato di eiθe^{i\theta}, il suo simmetrico rispetto all’asse reale; e per la legge del prodotto, con β=−α\beta = -\alpha, è anche il suo inverso.

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Per l’uguaglianza dei complessi in forma polare, due complessi di modulo 11 coincidono se e solo se i loro argomenti differiscono per un multiplo intero di 2π2\pi: dopo un giro, il punto torna nello stesso luogo.

L’identità di Eulero

Con θ=π\theta = \pi, la formula di Eulero dà eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1, cioè:

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

Questa uguaglianza, detta identità di Eulero, riunisce in una sola relazione i numeri 00 e 11, elementi neutri della somma e del prodotto, l’unità immaginaria ii e le due costanti fondamentali dell’analisi, ee e π\pi. Allo stesso modo, eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i, e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i e e2πi=1e^{2\pi i} = 1. In particolare, poiché i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}}, le potenze di ii sono in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}}: il ciclo di periodo 44 della lezione del corso I sui numeri complessi è la periodicità dell’esponenziale immaginario, perché quattro quarti di giro fanno 2π2\pi.